解直角三角形 2013.11.22

β
＝
h－a x
.h
＝
tanα
tanα－tanβ
a
αβ
h
x
仰角α 仰角β 高度 a
tanα＝hx, tanβ＝a＋x h h＝tabβta－nαtanα
数学模子
ι αx1 ax2 β
所 应测数据
用
对
象
侧
α.β.
倾 程度距离 a
器
皮
尺
ι αβ
ax
数目关系
tanα＝ ,tanβ＝
x1
x2
＝a·ttaannαα·＋ttaannββ
tanα＝ tanβ＝
ax
x
＝a·ttaannαβ·－ttaannβα
依据 道理
直角 三角 形的 边角 关系
2)测量底部可以到达的物体的高度
∴h1＝ a1 tan tan tan tan
h＝a2＋h1＝a2＋ a1 tan tan tan tan
依据 道理 矩形的性 质和直角 三角形的 边角关系
h1
β
h
a
αx
仰角α 仰角β 高度 a
tanα＝hx, tanβ＝h－x a
h＝tanαta－nαtanβ
tan
α
＝
h x
,
tan
矩形的性质和直 角三角形的边角
关系
数学模子
h1
α
h
β
x
所用 对象 皮尺 侧倾
器
αβ a
h x
应测数据
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β 高度
数目关系
tanα＝ h1 ,tanβ＝ a
x
x
h
＝

解直角三角形知识点一 解直角三角形的概念 直角三角形中各元素之间的关系：在 Rt D ABC 中， ÐC =90°,ÐA ,ÐB ,ÐC 所对的边分别是 a ,b ,c ，则它们之间存在如下关系： ①三边之间关系：_________________； ②锐角之间关系：_________________；③边角之间关系：__________________、__________________、_________________； 由直角三角形中已知的元素，求其他_______未知元素的过程，叫做解三角形。

知识点二 解直角三角形总结：有斜用弦，无弦用切，宁乘勿除，取原避中。

题型一 在直角三角形中解直角三角形 【例1】在ABC ∆中，︒=∠==30,2,2B AC AB ，求BAC ∠的度数.【例2】如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，52sin =A ，D 为AC 上一点，︒=∠45BDC ，6=DC ，求AD 的长。

【例3】如图,已知菱形ABCD 中,BC AE ⊥于点E ．若6,32sin ==AD B ,则菱形ABCD 的面积为（ ） 12:A512:B24:C54:D【过关练习】1.在直角三角形中，︒=∠90C ，6,26==a c ，解直角三角形.2. 在矩形ABCD 中，AC DE ⊥于E ，设α=∠ADE ，且53cos =α，4=AB ，则AD 的长为（ ）3.A316.B320.C516.D3. 如图，在ABC ∆中，，，︒=∠︒=∠3090B C AD 是BAC ∠的角平分线，与BC 相交于点D ，且34=AB ,求AD 的长．知识点三 解锐角和钝角三角形 添加辅助线构造直角三角形 （1）作高（非特殊角顶点） （2）割补 （3）做垂线题型二 利用三角函数值解锐角三角形和钝角三角形 【例1】已知在ABC ∆中，B A ∠∠,为锐角，且,29,2tan ,125tan cm AB B A ===求ABC ∆的面积。

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件解 法 步 骤Rt △ABC B c a A b C 两边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝ab ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，c ＝22b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝ac ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c一 边 一 角 一角边 和 一锐角锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝bcosA cosA锐角，对边 （如∠A ，a ）∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝asinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据原理侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1x ι，tan β＝2x ιι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β直角 三角形的边角 关系tan α＝xa +ιtan β＝xιι＝a ·tan α·tan βtan β－tan α2)测量底部可以到达的物体的高度数学模型 所用工具应测数据数量关系根据原理 皮尺 镜子目高a 1 水平距离a 2水平距离a 33a h＝21a a ，h ＝231a a a 反射 定律β α ax 1 x 2 ια β xaι镜子1a 2a 3a h皮尺 标杆标杆高a 1标杆影长a 2 物体影长a 31a h＝23a a ,h ＝231a a a 同一时刻物高与影长成正比皮尺 侧倾器侧倾器高a 1水平距离a 2 倾斜角αtan α＝21a a h ,h ＝a 1＋a 2tan α矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α俯角β 水平距离a 1tan α＝11a h , tan β＝12a hh ＝h 1＋h 2＝a 1（tan α＋tanβ）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1） 数学模型 所用工具应测数据数量关系根据 理论 皮尺 侧倾器仰角α 俯角β 高度atan α＝x h 1 ，tan β＝xa h ＝a ＋h 1＝a ＋tan αtan βa ＝a(1＋tan αtan β)矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度tan α＝a －h x , tan β＝x a∴x ＝a －h tan α＝atan β∴h ＝a －atan αtan β测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型 所用工具应测距离数量关系根据 原理h3a 2a1aα h 1a 2ah 1h 2hβα1ah 1h αβ x hxaα β皮尺侧倾器仰角α， 仰角β 水平距离a 1侧倾器高a 2 tan α＝xa h+11 tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝hx , tan β＝h －a x h ＝tan αtan α－tan βtan α＝hx , tan β＝h －a x 、h ＝tan αtan α－tan β仰角α 仰角β 高度atan α＝hx , tan β＝a ＋h xh ＝tan αtab β－tan αh A axα βh1haxαβ h1h2a1axαβ。

棋需要多长时间才能到达目的地？
A．0组
B.
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜角为450，则二楼的高度（相
对于底楼）是_______m. A
新知讲解
典例精析
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现 交会对接.“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运 行.如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表 面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km,
新知讲解
一 利用解直角三角形解决简单实际问题
互动探究
问题1 如图,当棋棋乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时, 它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹 角为30°,你知道缆车水平移动的距离是多少吗?
B
A
新知讲解
如图，在离地面高度为5m的C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成α角，则拉线AC的长为
A
①
D
②
B
C
分层教学 做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
1、2组
如图，在离地面高度为5m的C处引
拉线固定电线杆，拉线与地面成α角，
则拉线AC的长为
（用α的三
角函数值表示）．
3、4组
如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸 B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m 米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于
（用α的三角函数值表示）．
如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于