向量的概念PPT课件

总结词
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
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高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。

02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述

01
A
01
B
01
课后作业
练习：
3.（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
是
不是
2．如图，D,E,F分别是各边的中点，写出图中与 相等的向量.
（无数个）
问题6:零向量可用 表示那么单位向量能否用 表示?
（不能）
问题7:单位向量是否一定相等?它的大小是否一定相等?
（不一定，一定）
问题8:零向量小于单位向量吗?
（不，向量不能比较大小）
问题:一组向量它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
01
问题:若两个向量相等,那么它们必须具备什么条件? （长度相等，方向相同）
A
F
C
E
B
D
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本章所要研究的向量。
如图中的小船，由A地向西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这里，如果仅指出“由A地航行15n mile”，而不指明“向西北方向”航行，那么小船就不一定到达B地了。
向量表示法：
定义：既有大小又有方向的量.
有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示. 有关向量的概念： 向量长度：向量的大小，亦称模. 零向量：长度为零的向量. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
（11个）
（存在）
01
向量及其表示方法.
两个特殊向量:零向量,单位向量.

(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？
课前小测
边长相等
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，
an，则这n个向量( D )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．有下列物理量：
①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
√
√
×
×
×
其中可以看成是向量的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
C
2
B
1
A
||＝ 22 − 12 = 3
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量
(1)作出向量， ，；
(2)求的模．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
了10 2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量， ，；
D
C
北
西
A
南
东
B
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走
b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字
母表示，例如： ， .
注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用Ԧ .
?
思考
(1)向量可以比较大小吗？
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段就是向量吗？
有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念

例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.向量的概念 (1)向量：具有大小和 方向 的量称为向量.只有大小和方 向，而无特定的位置的向量叫做 自由向量 . (2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向 量 相等 .
明目标、知重点
(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示 位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时 我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫 做 有向 线段.点A叫做有向线段的 始点 ，点B叫做有向线 段的 终点 .有向线段的方向表示向量的 方向 ，线段的长 度表示位移的 距离 ，位移的距离叫做向量的长度 .
明目标、知重点
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、 B、C、D 是否一定共线？ 答 点A、B、C、D不一定共线.
明目标、知重点
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若 向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递 性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b 相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这 是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b， b∥c⇒a∥c. 小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时， 一定要看清题目明目中标、是知“重点零向量”还是“非零向量”.

②要注意0和

的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
②错误，向量的模相等，大小未必相同，不一定是相等向量；
③错误，平行与模大小没有必然关系；
综上，正确答案选A.
题①
下列几个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量 ≠ ，则 和 的方向不同；
③若 ＞|| ，则 ＞ ；
④若向量 是单位向量，向量 也是单位向量，则它们共线；
与 不一定平行.
混淆向量相等、平行、模相等
坑②
给出下列几个说法：①若 || = ，则 = 0 ；②若|| = ||，则 = ；
③若 // ，则 || = ||.其中说法正确的有(
A. 0
B. 1
C. 2
)个.
D. 3
【错解】①②对，③错，选C
【正解】①错误，正确的写法应该是 = ；
定,任意两个相等的非零向量都能用同一个有向线段表示.
共线
向量
向量 = 就意
味着|| = ||并且它
们的方向相同，但是
|| = ||只能说明它
任何一组平行向量都能平移到同一条直线上，因此， 们的模相等，方向未
平行向量也叫做共线向量，同一直线上的向量平行.
必相同.
3
相等向量与共线向量
概念辨析
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段

向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，如文字描述、坐标表示、箭头表示等。
详细描述
向量可以用多种方式来表示。文字描述可以简单地描述向量的起点和终点。坐标表示法中，向量可以 表示为从原点到终点的一个有向线段，其分量可以用坐标表示。箭头表示法则用箭头的起点和终点来 表示向量，箭头的长度和方向分别代表向量的模和方向。
02
CATALOGUE
向量的运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则或三角形法则 。向量加法具有结合律和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c)且a+b=b+a。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是向量的一种运算，它通过乘以一个标量来改变向量的长度和方向。数乘具 有结合律和分配律，即(ka)b=k(a+b)且(k+l)a=ka+la。
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02
向量积的方向垂直于a和b所在的 平面，其方向由右手定则确定。
向量的向量积的性质
向量积满足交换律和 结合律，即 a×b=b×a和 (a×b)×c=a×(b×c) 。
向量积满足反身性， 即a×a=0。
向量积不满足分配律 ，即 a×(b+c)≠a×b+a×c 。
05
CATALOGUE
向量的混合积
向量的混合积的定义
详细描述
向量混合积可以用来判断三个向量的空间关 系，例如，当混合积为零时，三个向量共面 ；当混合积为负值时，三个向量构成右手系 ；当混合积为正值时，三个向量构成左手系

层
释 疑
平行向量；
作 业
难
·
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18
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
(4)对于向量 a、b、c，若 a∥b，且 b∥c，则 a∥c；
提
新
素
知
(5)若非零向量A→B与C→D是平行向量，则直线 AB 与直线 CD 平行； 养
合
作
课
探 究
(6)非零向量A→B与B→A是模相等的平行向量．
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
合 作
不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．
课
探
时
究
2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平
分 层
释
作
疑 难
均出手角度 θ＝43.242°，平均出手速度大小为 v＝28.35 m/s(如图乙)． 业
返 首 页
·
5
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合 作
甲
乙
课
探
时
究
问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接 分
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
·
17
向量的概念
情
课
景
堂
导
【例 1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．

如图所示，以下向量为平行（共线）向量：
Taps:(1)平行向量也可称作共线向量，两者没有区分．(2) 共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线并不 同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行并不 同．
判断正误
随堂练习
1.相等向量一定是共线向量
（√ ）
2.两个相等向量的起点与终点分别重合
思考一
在物理学中，位 移和矩离有何区 分？
思考二
年龄，身高，体重， 力，速度，面积，体 积等，这些量有什么 区分？
在以上这些量中，位移，速度，是既有 大小又有方向的量，而年龄，身高，体重， 面积等这些量则只有大小，没有方向。
01
向量： 既有大小又有方向的量称为向量
02 数量: 只有大小没有方向的量，称为数量
向量可用有向线段表示，此时有 向线段的方向就是向量的方向， 向量AB 的大小就是向量的长 度(或称模)， 向量的长度记 作AB_____.
(3)向量的表示
Taps: 1，用小写字母表示向量时，印刷用黑体字表示，如a,b,c. 书写则要在字母上方加箭头，如
a, b, c
2：当有向线段起点A与终点B重合时，AB 0
在物理学中，用“带有方向的线段”来表示位移，那么线段 和有方向的线段有什么不同？
线段只有
有向线段则有
如图所示，以A为起点，B为终点的
有向线段记作 AB ,线段AB的长度 即为有向线段AB 的长度，记作 AB
有向线段三要素： 确定了有向线段的起点，长度，方向，有向线段的终点就唯一确定了
我们可以用数轴上的点 表示实数，常见的函数可以用 图象法表示，那么向量如何表 示呢？
例 2. 如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，则与 AB 相 等的向量有________．

[锦囊·妙法] 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性；非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与 函数图象的移动混淆． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是与 a 同方向的单位向量．
5．[方法技能] (1)向量平行(共线)问题常用的结论 ①向量a，b(a≠0)共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa； ②向量a与b共线，则|a·b|＝|a||b|； ③向量a与b共线，则存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. (2)三点共线问题 只有当两个共线向量具有公共点时才能满足三点共线．
第1节 平面向量的概念及线性运算
1
课标要求 1.理解平面向量的意义和两个向量相等的 含义及向量的几何表示和基本要素； 2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其 几何意义； 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理 解两个向量共线的含义； 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义
命题方向
数学素养
1.平面向量的 数学抽象、逻
特训点1 特训点2 特训点3
特训点1 平面向量的有关概念(自主冲关类)
1．下列命题正确的是( C ) A．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b
[题组·冲关]
B．若|a|＞|b|，则a＞b D．若|a|＝0，则a＝0
解析：对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝ b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C.
2．向量的线性运算
向量
加法
求两个向量和的 运算