专题3 数列与集合新定义解答题1．（2020·北京首都师大二附高三模拟）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．（Ⅰ）当2q，2n =时，用列举法表示集合T ；（Ⅰ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；②100112020ii a==∑．证明：（Ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （Ⅰ）10021ii a=∑为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅰ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <． 【解析】（Ⅰ）解：当2q，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．{}3,4,5,6T =．（Ⅰ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾．因此有201i a A -∈．（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．∴10010010022111(201)4024040100791940ii i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．1001002222211200201(4001)(201)122006iii i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=∑∑，∴100211200201(4001)(791940)26i i a =⨯⨯+=+∑为定值．（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+-21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+-- 21(1)(1)n n q q q q--=-++⋯+-111(1)1n n q q q q---=---10=-<．s t ∴<．【押题点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，数列与集合的新定义及其综合运用 2．（2020·北京西城区一模）设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈ （1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数． 【解析】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A =；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1， 由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（2）知，100100m a b -=≤． 假设100b m >-，则1000b m -+>． 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤． 若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈． 故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个．【押题点】数列与集合的新定义，数列中的推理，反证法3．（2020·北京十五中高三一模）设有限数列12:,,,()n A a a a n *⋅⋅⋅∈N ，定义集合{}i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合．（Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅰ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅰ）已知有限等差数列122019:,,,A a a a ，判断5070,,3100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由． 【解析】（Ⅰ）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}4,10,12,28,30,36． （Ⅰ）先证明对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+≤<≤≤<≤．当i k =且j l ≠，因为i j k l a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j k l a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现1n -次， 所以()()21222nS n =-+++ ()()()()1212112212n n n n +-=-=---（Ⅰ）假设5070,,3100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,37,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,3722,100a i j d a i j d a i j d ①②③⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩②-①得，()()()221150-=3i j i j d ++， ③-①得，()()()33117-=100i j i j d ++，两式相除得，()()()()221133115000=21i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,i j i j i j N ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-21,0i j i j k k Z k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2019i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20192018214034i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12201820194034i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4034i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以5070,,3100不能同时属于数列A 的伴随集合M ． 【押题点】数列与集合的新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用 4．（2020·北京西城区二模）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅰ）求N 的最小值；（Ⅰ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-； （Ⅰ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅰ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100kI ≠∅．不妨设12n a a a <<<<．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=．这与题意不符，故20a >． 如果111k k a a +-+≤，那么()11kk k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、、1k -、1k +、、N ）”矛盾，故111k k a a +->+．所以421a a >+，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子． 令()110012199k a k =-+-，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I -∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N -∉=-+．（注：()1001199k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【押题点】数列与集合的综合应用，考查反证法的应用 5．（2020·北京朝阳区高三一模）设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤．若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．【解析】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ． （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥．若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥．同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1,2,4． 因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =．同理，有567816,32,64,128a a a a ====． 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200．但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ≥．当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A ．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉．否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -： 当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列．（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆．（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<．令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆．（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆．（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ， 从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==．（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆．（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/． 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾．所以假设不成立． 所以原命题得证．【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，集合的并集运算6．（2020·北京八中高三月考）已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m ． （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值． 【解析】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1， 2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()112312A S n n n =++++=+； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()112312A S n n n ≥++++=+，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立． 于是当()112A S n n =+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列． 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”；（Ⅰ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求．而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数． 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11．记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11．事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符． 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以a 11≤1010． 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意， 所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010． 【押题点】数列与集合的新定义的理解，等差数列的性质和求和公式7．（2020·北京密云区下学期一模）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）．记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）．如：1,212c a b =+，1,213d a b =-．（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值． 【解析】（1）由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：55n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：99n b n =-， 得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-， 则2,650c =，396,62020c =，得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--， 故2,649d =-．（2）证明：已知6a =．7b =，由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：66n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：77n b n =-，得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-，(*i N ∈，*)j N ∈．得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--，17i ，*i ∈N ，*)j N ∈． 所以若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+， 若*t M ∈，则存在u N ∈，6u ，*v N ∈，使67t u v =-， 因此，对于正整数t ，考虑集合0{|6M x x t u ==-，u N ∈，6}u ， 即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}t -． 下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为16t u -，2t u -，其中1u ，2u N ∈，126u u <．则这两个元素的差为7的倍数，即2112()(6)6()t u t u u u ---=-，所以120u u -=，与12u u <矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为06t u -，06u ，0u N ∈， 则存在s Z ∈，使067t u s -=，0u N ∈，06u ，即067t u s =+，0u N ∈，s Z ∈，由已证可知，若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+，而t M ∉，所以S 为负整数， 设V s =-，则*v N ∈，且067t u v =-，0u N ∈，06u ，*v N ∈， 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉，假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈． 则对于整数t ，存在n N ∈，m N ∈，u N ∈，6u ，*v N ∈，使6767t u v n m =-=+成立， 整理，得6()7()u n m v -=+， 又因为m N ∈，*v N ∈，所以7()06u n m v -=+>且u n -是7的倍数，因为u N ∈，6u ，所以6u n -，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉， 又由第二问，对于整数t M ∉，则*t M ∈， 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值， 又因为67t u v =-，u N ∈，*v N ∈，6u ， 所以(*)667129max max t M ==⨯-⨯=．【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，数列的综合应用 8．（2020·北京牛栏山一中高三月考）给定数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅．对，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；（2）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：121,,,n d d d -⋅⋅⋅是等比数列．（3）设121,,,n d d d -⋅⋅⋅是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列． 【解析】（1）1232,3,6d d d ===．（2）因为10a >，公比1q >，所以12,,,n a a a ⋅⋅⋅是递增数列． 因此，对，1,i i i i A a B a +==，于是对，111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-．因此，0i d ≠，且1i id q d +=()1,2,,2i n =⋅⋅⋅-，即121,,i d d d -⋅⋅⋅成等比数列． （3）设d 为121,,n d d d -⋅⋅⋅的公差． 对12i n ≤≤-，因为1,0i i B B d +≤>，所以111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=， 又因为{}11max ,i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=>≥． 从而121,,,n a a a -⋅⋅⋅是递增数列．因此()1,2,,1i i A a i n ==⋅⋅⋅-． 又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<<⋅⋅⋅<． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -==⋅⋅⋅==． 所以1.i i i n i a A B d a d ==+=+因此，对于1,2,,2i n =⋅⋅⋅-都有11i i i i a a d d d ++-=-=， 即121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列．【押题点】数列的单调性、最值，等差数列、等比数列的证明 9．（2020·北京高三东城区一模）已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ．（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由．（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值．【解析】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =．（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =， 则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同． 又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾．故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立．（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2tm b ≠，*t N ∈．若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立．其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和．若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈．当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++此时结论成立．当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++，此时结论成立．对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项．由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数列的递推公式的应用，数列的综合应用 10．（2020北京密云区一模）设数组1221(,,,)n G a a a +=，2n ≥，*i a N ∈(1221)i n =+,,,，数i a 称为数组G 的元素．对于数组G ，规定： ①数组G 中所有元素的和为1221(),n S G a a a +=+++；②变换f ，f 将数组G 变换成数组2112111()222n a a a f G ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭[],[],,[]，其中[]x 表示不超过x 的最大整数；③若数组1221(,,,)n M b b b +=，则当且仅当i i a b =(1221)i n =+,,,时，G M =．如果对数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n 个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G 具有性质P ．（Ⅰ）已知数组(1,1,1,1,1)A =，(1,4,7,10,13)B =，计算(A)f ，()f B ，并写出数组,A B 是否具有性质P ； （Ⅰ）已知数组G 具有性质P ，证明：()f G 也具有性质P ； （Ⅰ）证明：数组G 具有性质P 的充要条件是1221n a a a +===．【解析】（Ⅰ）()(1,1,1,1,1)f A =，()(1,2,4,5,7)f B =； 数组A 是具有性质P ，数组B 不具有性质P ． （Ⅰ）证明：当元素1221n a a a +,,,均为奇数时，因为1122i i a a ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1221i n =+,,,，所以2112111()(,,,)222n a a a f G ++++=． 对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212111,,,222ni i i a a a +++． 因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a ，存在一种分法：将其分为两组，每组n 个素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用12k i a +替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =），就可以得到对于212111,,,222n i i i a a a +++的一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等．所以此时()f G 也具有性质P ． 当元素1221n a a a +,,,均为偶数时，因为112222i i ia a a +⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1221i n =+,,,，所以2112()(,,,)222n a a a f G +=． 对()f G 中任意2n 个元素，不妨设为212,,,222n i i ia a a ．因为数组G 具有性质P ，所以对于122,,,n i i i a a a ，存在一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，使得各组内所有元素之和相等． 如果用2k i a 替换上述分法中的k i a （1,2,,2k n =），就可以得到对于212,,,222n i i i a a a 的一种分法：将其分为两组，每组n 个元素，显然各组内所有元素之和相等． 所以此时()f G 也具有性质P ．综上所述，由数组G 具有性质P 可得()f G 也具有性质P ． （Ⅰ）证明：（1）充分性：显然成立． （2）必要性：因为数组G 具有性质P ，所以对于数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法： 将2n 个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数， 所以()i S G a -均为偶数，从而元素(1221)i a i n =+,,,的奇偶性相同． 由（Ⅰ）可知，如果数组G 具有性质P ， 那么2112111()(,,,)222n a a a f G ++++=仍具有性质P ． 又因为，当(1221)i a i n =+,,,为奇数时，111[]22i i i a a a ++=≤≤，当且仅当1i a =时等号成立， 当(1221)i a i n =+,,,为偶数时，111[][]2222i i i i a a aa +=+=<≤， 由此得到()f G G =的充要条件是(1,1,1,1,1)G =． 易知2112122111121[][][]222n n a a a n a a a ++++++++++++≤≤，当且仅当12211n a a a +====时等号成立．即21(())()n S f G S G +≤≤，当且仅当12211n a a a +====时等号成立．令1G G =，1()k G f G +=，*k N ∈．假设对于任意的*k N ∈，有()k k f G G ≠，则(())()k k S f G S G <， 又1*a N ∈，1[]*2i a N +∈，得(())()1k k S f G S G -≤，即1()()1k k S G S G +-≤． 得21()()1S G S G -≤，…，1()()1k k S G S G --≤，所以1()()(1)()(1)k S G S G k S G k --=--≤，且()k S G 单调递减． 又因为()21k S G n +≥，矛盾． 所以存在0*k N ∈，有00()k k f G G =． 又由结论1，得此时0(1,1,1,1,1)k G =． 上述过程倒推回去， 因为数组0(1,2,,)k G k k =均具有性质P ，即数组k G 中元素(1221)i a i n =+,,,的奇偶性相同，可得数组k G 中的所有元素都相同， 所以，数组1G G =中的元素均相同，即1221n a a a +===．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数列的综合应用 11．（2020北京人大附中4月模拟）对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”．记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g ． (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”；(Ⅰ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值； (Ⅰ)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值．(注：对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．)【解析】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4． (Ⅰ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2nk =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=； 综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=．(Ⅰ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤． 综上所述：n n f g ≤．当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <．综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =． 【押题点】数列与集合的新定义的理解与应用 12．（2020北京适应性测试）设数阵111202122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆，其中12l e e e <<<，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、、l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、，以此类推，最后将1l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．（1）若01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（2）若01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,3S =，求()0S T A 的值；（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-． 【解析】（1）01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A 经过2ϕ变换后得到的数阵11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经s ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭，故()013365s T A =+--=-；（3）若1112a a ≠，在{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -； 同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ； 不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ． 所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()()()()44441112111211121112111222221a a a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+=--．若1112a a =，则{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()()55111211*********a a a a a a ⨯--+-⨯+=--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以()0s T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈，所以()0s T A 的所有可能取值的和不超过4-．【押题点】数列与集合的新定义的理解，数阵变换的求法 13．（2020北京东城区一模）数列n A ： ()12,,,2n a a a n ≥满足： ()11,2,,k a k n <=．记n A 的前k项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k N =∈，|k n ≤ k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅰ）若集合{}12,,,(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明： ()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-；（Ⅰ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， 所以{}52,4,5E =．（Ⅰ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ， 所以11i i k k S S +-≤．又因为 11i k a +<，所以1111 1.i i i i k k k k S S a S +++-=+<+所以11i i k k S S +-<． （Ⅰ）因为0n S S >，所以n E 非空． 设集合{}12,,,n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅰ）可知()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤． 所以()()()()12110m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+- 101111m m<+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C ≥+．取常数数列n A ： ()11,2,,12i C a i C C +==++，并令1n C =+，则()2212122nC C C S C C C +++==>++，适合题意，且{}1,2,,1n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．【押题点】集合新定义的理解与应用，数列的前n 项和14．（2020北京石景山区4月模拟）有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =．定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P ． （1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．【解析】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ．{}2,5,8,11,14A A +=，()()33152card A A ++=≠不具有性质P ； {}4,6,8,10,12,16B B +=，()()33162card B B ++==具有性质P ． （2）若三个数a ，b ，c 成等差数列，则{},,A a b c =不具有性质P ，理由是2a c b +=．因为1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)所以32019a ≤，要使123a a a ++取最大，则32019a =；22018a ≤，易知{}2018,2019,2020不具有性质P ，要使123a a a ++取最大，则22017a =；12016a ≤，要使123a a a ++取最大，检验可得12014a =；()123max 6050a a a ++=（3）集合A 具有性质P ．设等比数列的公比为为q ，所以11n n a a q -=(10a >)且q 为有理数，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有1j i k i l i q q q ---=+-因为q 为有理数，设mq n=(m ，n *∈N )且(m ，n 互质)，因此有1j ik il im m m n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即j i k i j k l i j l j i m m n m n n ------=+-（1）， （1）式左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，又m ，n 互质， 显然i j l k a a a a +=+不成立．所以()()1212n n n n card A A C C ++=+=，所以集合A 具有性质P ． 【押题点】集合新定义问题，等比数列的应用15．（2020·北京海定区一模）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+．将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值； （Ⅰ）若1221n x x x +≤≤≤，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅰ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【解析】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1；（Ⅰ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++．所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --．当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --． 综上有：=i j i j m m x x --； （Ⅰ）不妨设1221n x x x +≤≤≤，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅰ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -， 所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-．当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++． 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥．所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++． 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+．当0,11,121k k nx n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意．所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．【点睛】数列与集合新定义的理解与应用，数列中不等式的综合应用 16．（2020·上海奉贤区一模）有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()12d A d A d A A ⋅++=，称集合A 具有性质Γ．（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d 组成的集合{}1232020,,,,d d d d 记作D ，将集合D D +中的所有元素()*123,,,,k t t t t k N ∈从小到大排序，即123,,,,k t t t t 满足123k t t t t <<<<，求2020t ；（3） 己知集合{}12,,,n C c c c =，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由．【解析】（1）集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合{}1,,M x y =具有性质Γ，所以()()()()162d M d M d M M ⋅++==，由题中所给的定义可知：M M +中的元素应是：2,1,1,2,2,x y x y x y +++这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构成等差数列，不妨设1,,x y 成等差数列，这时有21x y =+这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不能能构成等差数列；（2）11112(*)2(**)(2,)33n n n n S S S S n n N *+-=+⇒=+≥∈，(**)(*)-得：12n n d d +=，说明数列从第二项起，数列{}n d 是等差数列，因为1123n n S S +=+，113d =，所以有121212233d d d d +=+⇒=，所以22()23n n d -=⋅，显然113d =也成立，因此1222()2()33n n n d n N --*=⋅=∈．所以21998199912222,,,,,33333D ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭121121121222222221333m n n m n n m n m n n d d d m n ---------+<⇔+<⇔+<⇒<⇒<-，显然11(,)m n m n N *≤<-∈根据定义在n d 之间增加的元素个数为：(1)(1)(2)(3)212n n n n n --+-+-+++=，这样包括n d 在内前面一共有(1)(1)22n n n n n -++=个元素． 当63n =时，包括63d 在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当64n =时，能找到因此3636320204642228333t d d +=+=+=； （3）集合C 具有性质Γ，理由如下：设等比数列{}n c 的公比为q ，所以通项公式为：1110)(n n a a q a ->=，q 为有理数．设假设当1234n n n n <<时，1423n n n n c c c c +=+成立，则有314211111111n n n n a q a q a q a q ----+=+，3141211n n n n n n q q q ---=+-因为q 为有理数，所以设mq n=(,)m n N *∈且,m n 互质，因此有 313143412141244241()()()1n x n n n x n x n n n n n n n n x n m m mm m n m n n n n n---------=+-⇒=⋅+⋅-， 式子的左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，而,m n 互质，显然1423n n n n c c c c +=+不成立，因此C C +集合中的元素个数为：(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=，因此它符合已知所下的定义，因此集合C 是否具有性质Γ．【点睛】数列与集合新定义的理解与应用，等比数列的综合应用。
