2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 《函数的图象》

必修Ⅳ达标练习（4）函数y=Asin(ωx+Φ)的图象1．为了得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A 向左平移3π个单位 B 向右平移3π个单位C 向左平移6π个单位D 向右平移6π个单位2．为了得到3sin 2y x =的图象，只需将3sin y x =的图象（） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.3．为了得到1cos 2y x =的图象，只需将cos y x =的图象（） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.4．函数()sin(2)3f x x π=+的图象关于直线4x π=对称，则（）. A 关于点(,0)4π对称 B 关于直线4x π=对称C 关于点(,0)3π对称D 关于直线3x π=对称5．函数12sin()24y x π=+的振幅为 ，周期为 ，频率为 ，初相为，相位为，值域为 .6．函数siny x=按向量(,3)4aπ=-平移后的图象的解析式为 .7．函数()2sin(),(0,)2f x xπωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且(0)f，试求函数的单调增区间.。

第 七 节 幂函数与函数的图象变换
重点难点 重点：①幂函数的定义、图象与性质． ②函数图象三种基本变换规则． 难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关 系． ②利用基本变换规则作函数图象
一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，－2 时的幂函 2 2 数
若 (a＋ 1) ______．
－
1 3
<(3－ 2a)
－
1 3
， 则 a 的 取 值范 围 是
解析：幂函数 y＝x
－
1 3
在(0，＋∞)上为减函数，函数
值 y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值 y<0. ∴有 a＋1>3－2a>0 或 2 3 ∴ <a< 或 a<－1 3 2 2 3 即 a 的取值范围为( ， )∪(－∞，－1)． 3 2
[答案] C
[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是 假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为 1.
二、函数的图象与图象变换 1．画图 描点法 ①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)； ④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与 坐标轴的交点)；⑤描点，连线．
图象变换法 (1)平移变换 ①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由 y＝f(x)的图象 向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到． ②上下平移：y＝f(x)＋b 的图象， 可由 y＝f(x)的图象 向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．
解析：由图可知，ⅰ)当 a>1 时，2a>2，不成立． 1 ⅱ)当 0<a<1 时，0<2a<1⇒0<a< . 2 1 综上所述，a 的取值范围是 0<a< . 2

第4讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013·兰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D. 答案 D2．(2013·东营模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )．A.π6B.π3C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4. 答案 C3．(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．解析 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，故选A. 答案 A4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则下列结论中正确的是 ( )．A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象 D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象 解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ＝f (x )·g (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x .T ＝2π2＝π，最大值为12，∴选项A ，B 错误．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________. 解析 因为T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入解析式可得：76π＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案 2 π36．(2012·长沙调研)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·陕西)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2， ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3.8．(13分)(2012·山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·潍坊期末)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C2．(2012·东莞二模)若函数f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，且在x ＝π6处函数有最小值，则a ＋ω的一个可能的取值是 ( )．A ．0B ．3C ．6D ．9解析 因为函数f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)＝1＋a 2·sin(ωx ＋φ)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，且在x ＝π6处函数有最小值，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ3＋φ＝k π，ωπ6＋φ＝2n π－π2，k ，n ∈Z ，两式相减得：ωπ6＝(k －2n )π＋π2，即ω＝6(k －2n )＋3＝6m ＋3，k ，n ，m ∈Z ，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m ＋3，k ，n ，m ∈Z 代入f (x )＝sin ωx ＋a cos ωx (ω>0)，得y ＝sin(6m ＋3)x ＋a cos(6m ＋3)x .当图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称时，有sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6m ＋3)·π3＋a cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6m ＋3)·π3＝0，即a ＝0.所以函数解析式应为f (x )＝sin ωx (ω>0)．回验a ＋ω＝3时的函数性质与题设中在x ＝π6处函数有最小值不符，故只有a ＋ω＝9，故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·东北四校一模)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π44．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．其中正确结论的编号为________． 解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2，又其图象关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3，k ∈Z . 由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )． ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．故②正确． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得 k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．∴④正确． 答案 ②④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 6．(13分)(2012·安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式． 解 (1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。

| x | x
的定义域为________. (2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为 ________.
【思路点拨】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组 求解即可. (2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式组求解.
x＋2＞0， 【规范解答】(1)要使函数有意义,则有 |x|－x 0， 2－x 2 0， x＞－2， 得 ≨ － 2 ≤x<0. x＜0， － 2 x 2，
答案:{x|x≥-1且x≠0}
x , x 0, 5.设函数f(x)= 则f(f(-4))= 1 x ( ) , x 0, 2 【解析】≧x=-4<0,≨f(-4)=( 1 )-4=16, 2
.
因为x=16>0,所以f(16)= 16 =4. 答案:4
考向 1 求函数的定义域 【典例1】(1)(2013·大连模拟)函数f(x)= lg(x 2) 2 x 2
{f(x)|A} 叫做函数的值域. 函数值的集合____________
(3)相等函数: 定义域 相同,并且_________ 对应关系 完全一致,则这两 如果两个函数的_______ 个函数为相等函数.
3.函数的表示方法 解析法 、_______ 列表法 和_______. 图象法 表示函数的常用方法:_______ 4.分段函数 对应关系 不同而分别 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________ 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 并集 其值域 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____, 并集 分段函数虽由几个部分组成,但它 等于各段函数的值域的_____, 表示的是一个函数.
(3)对抽象函数: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定