椭圆双曲线抛物线基础测试题(100分钟)

第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题I ．题源探究·黄金母题【例1】一动圆与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．【解析】设圆:1C 05622=+++x y x ，即4)3(22=++y x ，圆心)0,3(1-C ，半径21=r ；设圆:2C 091622=--+x y x ， 即100)3(22=+-y x ，圆心)0,3(2C ，半径102=r ，设动圆圆心为),(y x P ，半径为r ，由于动圆P 与圆1C 外切，则21+=r PC ，由于动圆P 与圆2C 内切，则 r PC -=102，所以1221=+PC PC ，而12621<=C C ，因此点P 的轨迹是以21C C 、为焦点的椭圆．设椭圆方程为：)0(12222>>=+b a by a x ，27936,3,6,122222=-=-====c a b c a a ，动圆圆心的轨迹方程为1273622=+y x ，它表示一个焦点在x 轴上的椭圆．精彩解读【试题来源】人教版选修2-1第50页习题2．2B 组第2题【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程．求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步．【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹．II ．考场精彩·真题回放【例1】【2017新课标III 】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 （ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -=【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现在解答题中的一步． 【难点中心】1．双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，椭圆中：222212,3,3a b c a b ==∴=-=，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0±，据此可得双曲线中的方程组222523b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得224,5a b ==，则双曲线C 的方程为2145x y 2-=，故选B ． 【例2】【2017高考新课标II 】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．233【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为：0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为：22213d =-=，不妨考查点()2,0到直线0bx ay +=的距离：222023b a bd c a b+⨯===+，即：()22243c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ．求双曲线的方程．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据,,,a b c e 及渐近线之间的关系，求出,a b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可．2．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部．【例3】【2017新课标I 】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为________．【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，AM AN b ==，而AP MN ⊥，30PAN ∴∠=︒，点(,0)A a 到直线by x a =的距离22||1b AP b a=+．在Rt PAN ∆中，cos PAPAN NA=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =，22333c b e a b∴===． 【例4】【2017高考新课标III 】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程． 【答案】(1)证明略；(2)直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=，或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为1- 可得OA OB ⊥，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数m 的值，分类讨论即可求得直线l 的方程和圆M 的方程．试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+ ． 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --= ，则124y y = ． 又221212,22y y x x == ，故()2121244y y x x == ． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==- ，所以OA OB ⊥ ．故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ ．故圆心M 的坐标为()22,m m + ，圆M 的半径()2222r m m =++ ．由于圆M 过点()4,2P - ，因此0AP BP ⋅= ，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= ． 由(1)可得12124,4y y x x =-= ．所以2210m m --= ，解得1m = 或12m =-． 当1m = 时，直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ，圆M 的半径为10 ，圆M 的方程为()()223110x y -+-= ．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫-⎪⎝⎭，圆M 的半径为854 ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例5】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．【答案】（I ）2212x y +=．（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±．【解析】试题分析：（I ）本小题由22c e a ==，22c =确定,a b 即得．（Ⅱ）通过联立方程组2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定||AB 及 圆M 的半径r 表达式．进一步求得直线OC 的方程并与椭圆方程联立，确定得到||OC r的表达式，研究其取值范围．这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式． 试题解析：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，所以 2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++， 所以 22112112211181221k k AB kx x k ++=+-=+．由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =，所以2124k k =因此直线OC 的方程为124y x k =．联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=+=+．由题意可知 1sin21SOT rOC r OCr ∠==++，而2121221121181411822321k OC k r k k k ++=+++ 21221112324141k k k +=++，令2112t k =+，则()11,0,1t t >∈，因此2223313112221121119224OC t r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±，所以1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以SOT ∠最大值为3π．综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±． 【例6】【2017高考天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △的面积为62，求直线AP 的方程．【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =．（2）3630x y +-=，或3630x y --=．【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为62解方程求出m ，得出直线AP 的方程．试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -．依题意，12ca =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b a c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+．由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++．由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m--+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±． 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=．III ．理论基础·解题原理考点一 椭圆与圆相结合的问题圆与的结合点有：（1）圆的几何性质与椭圆相联系；（2）利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系． 考点二 双曲线与圆结合的问题由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点．圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解．圆与双曲线的结合点有：（1）利用圆的性质解决双曲线的相关问题；（2）圆的切线与双曲线相联系； 考点三 抛物线与圆相结合的问题．圆与抛物线的结合点有：（1）圆的性质与抛物线相结合；（2）抛物线的性质与圆的相联系．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题，可以是选择题、填空题，难度中等，也可以是解答题，这是难度大，为压轴题． 【技能方法】灵活运用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质解决问题． 【易错指导】解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用导数的几何意义求抛物线上点的切线的斜率，进而导致出现错误；其二是不能正确地找出直线与圆的位置关系即切线与过切点的半径垂直的结论，从而导致无法求解．V ．举一反三·触类旁通考向一 椭圆与圆相结合的问题【例1】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是______________． 【答案】26【点评】本题通过圆的性质将Q P ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径进行解决．【例2】【2018湖南师大附中模拟】已知椭圆C 的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M 、N ．试推断是否存在点P ，使14||3MN =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)由已知条件分别求出,a c 的值，而222b ac =-，代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 满足题意，设点00(,)P x y （00x <），(0,)M m ，(0,)N n ，利用条件求出直线PM 方程，根据圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1，求出m 与点P 坐标之间的关系，同理求出n 与点P 坐标之间的关系，利用韦达定理求出,m n mn +的表达式，算出MN ，求出P 点坐标．【解析】（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，则1c =，因为椭圆的离心率为22，则22c a =，即22a c ==，从而2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．由此可知，m ，n 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根， 所以0022y m n x +=--，002x mn x =--， 2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-． 因为点00(,)P x y 在椭圆C 上，则220012x y +=，即220012x y =-， 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--，令204142(2)3x -=-，则20(2)9x -=，因为00x <，则01x =-，220012x y =-12=，即022y =±， 故存在点2(1,)2P -±满足题设条件． 【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 【例3】已知椭圆C ：2224x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系．（2）直线AB 与圆222=+y x 相切，证明如下：设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，因为OB OA ⊥，所以0=∙OB OA ，即0200=+y tx ，解得02x y t -=， 当t x =0时，220t y -=，代入椭圆C 的方程得2±=t ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．当t x ≠0时，直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-，即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y ， 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=，又422020=+y x ，02x y t -=，故22168|4|4|22|202040020202020200200=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d ．故此直线AB 与圆222=+y x 相切．【跟踪练习】1．【2018江西吉安模拟】已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的离心率为32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得3PQ AP=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在，理由见解析．（II ）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为-4为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+所以228114k AP k +=+因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k =+，所以222168216211AQ d k k =-==++． 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-，代入得到222222228143311*********PQ k k k AP k k kk k ++=-=-==-+++++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=．2．已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，43=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围．【分析 】(1)由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (2)由(1)设椭圆方程为2222132x y c c+=，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由433FM =可求出c ，从而可求椭圆方程；(3)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，求得226223(1)x t x -=>+，求出x 的 范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围．(3)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-，与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ， 整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得226223(1)x t x -=>+， 解得312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-．①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是2223m x =-，得223,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是2223m x =--，得23,3m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭综上所述，直线OP 的斜率的取值范围是23223,,333⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．【2015福建高考理18】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()0,2，且离心率22e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++，所以2AB GH >． 故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =-+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+，所以cos ,0GA GB >．又GA ，GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 4．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ⋅=，2BC AC =． （1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222QB QA -=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作圆224:3O x y +=的两条线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n +为定值． 【解析】：（1）依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则()2,0A ，解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222QB QA -=，设()00,Q x y ，则()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=，即00320x y +-=，①又点Q 在椭圆E 上，2200340x y ∴+-=，②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，③方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个；解法二：设点()11,P x y 、()22,M x y 、()33,N x y ，则221PM OMx k k y =-=-， 直线PM 的方程为()2222x y y x x y -=--，化简得2243x x y y +=，④同理可得直线PN 的方程为3343x x y y +=，⑤把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴直线MN 的方程为1143x x y y +=， 令0y =，得143m x =，令0x =得143n y =， 143x m ∴=，143y n =，又点P 在椭圆E 上，22443433m n ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2211334m n +=（定值）． 5．【2018河北正定中学月考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于B A ,两点，且22OA OB b k k a⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1） 22143y x +=；（2）AOB ∆的面积为定值3．22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 34OA OBk k ⋅=-，121234y y x x =-，121234y y x x =-，222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++，22243m k -=，8分 ()()()22222212122248432411413434k m k AB kx x x x kkk-++=++-=+=++21md k =+，()()()()22222222412411113223423411k k m m S AB d k k k k ∆++====++++．6．如图，已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问；是否存在使POSPOR S S ∆∆⋅最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由．（II ）点M 与点N 关于x 轴对称，设1111(,),(,)M x y N x y -， 不妨 设10y >，由于点M 在椭圆C 上，∴221114x y =-， 由已知),2(),,2),0,2(1111y x TN y x TM T -+=+=-（则， 22111111(2,)(2,)(2)TM TN x y x y x y ∴⋅=++-=+-2221115812)(1)()4455x x x =+--=+-（， 由于22,x -<<故当185x =-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，当185x =-时135y =，故83(,),55M -又点M 在圆T 上，代入圆的方程得21325r =，故圆T 的方程为：22132)25x y ++=（；7．【2018浙江临海统练】已知抛物线C ：24x y = ，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点（A 在第一象限）．（1）当2OFA OFB S S ∆∆=时，求直线l 的方程；（2）过点2(2,)A t t 作抛物线C 的切线1l 与圆22(1)1x y ++=交于不同的两点,M N ，设F 到1l 的距离为d ，求MNd的取值范围． XYOABF【答案】（1）214y x =+；（2）3(0,]2（2）由于24x y =，因此'2xy =故切线1l 的方程为2(2)y t t x t -=-，化简得20tx y t --=则圆心（0，-1）到1l 的距离为212|1|1t d t -=+，且11d <，故203t <<，则21||21MN d=-2232||1t t t -=+，则点F 到1l 距离21d t =+，则24423221MN t t d t t -=++， 今2424242235125112121816t t t m z t t t t m m -+==-+=-+++++++ 251(1,16)m t =+∈ 则2591(0,]16168z m m=-+∈++，故3(0,]2MN d ∈． 8．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ⋅=，2BC AC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222QB QA -=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作圆224:3O x y +=的两条线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n +为定值．（2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222QB QA -=，设()00,Q x y ，则()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=，即点Q 在直线320x y +-=上，∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，直线320x y +-=过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，而点椭圆2,03⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部， ∴满足条件的点Q 存在，且有两个；解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222QB QA -=，设()00,Q x y ，则()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=，即00320x y +-=，①又点Q 在椭圆E 上，2200340x y ∴+-=，②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，③ 方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个；（3）解法一：设点()11,P x y ，由M 、N 是圆O 的切点知，OM MP ⊥，ON NP ⊥，O ∴、M 、P 、N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP ，则圆心为11,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭， 其方程为22221111224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22110x y x x y y +--=，④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在圆O 上，M ∴、N 坐标也满足圆O 的方程2243x y +=，⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=，令0y =，得143m x =，令0x =得143n y =， 143x m ∴=，143y n =，又点P 在椭圆E 上，22443433m n ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2211334m n +=（定值）；考向二 双曲线与圆相结合的问题【例4】已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则e 2 =（ ） A ．352+ B ．5 C ．512- D ．152+ 【答案】D【点评】本题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一起，从而确定点P 的坐标，进而建立等量关系求解双曲线的离心率．【例5】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OA OB =D ．||OA 与||OB 关系不确定 【答案】C【例6】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于 点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OA OB =D ．||OA 与||OB 关系不确定 【答案】C【跟踪练习】1．【2017河北定州市上学期期中】过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 【答案】B【解析】由题可知，)1|(|)4|(|||||222122---=-PC PC PN PM ，因此=--=-3||||||||222122PC PC PN PM 121212(||||)2(||||)32||3PC PC PC PC C C -=+-≥-13=．故选B ．2．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，若2|BC ||CF |=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．22y x =±C ．(31)y x =±+D ．(31)y x =±- 【答案】C3．【2018河北武邑调研】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ．若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为_________． 【答案】724．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处的切线的斜率为33，则双曲线C 的离心率为_________． 【答案】31+【解析】设切点A 为00(,)x y ，则22200222200003,344x y c c c x y y x ⎧+=⎪⇒==⎨=-⎪⎩，代入22221x y a b -=，化简得：4224840c a c a -+=22(423)(31)31cc a c a a⇒=+⇒=+⇒=+． 5．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．解：（1）设2,F M 的坐标分别为220(1,0),(1,)b b y ++因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = ……2分 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……4分（3）由题意，即证：OA OB ⊥．设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y += ……11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-……13分所以……15分②当00y =时，易知上述结论也成立． 所以……16分综上，OA OB ⊥，所以．6．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >． 由(2,2)P 在2C 上，得22112213b b +=+，显然，l 不是直线y =0．设l 的方程为x =my +3，点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12212223232my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，考向三 抛物线与圆相结合的问题【例7】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的 4 10，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r 最大取 时，才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>，因为过点(210,20)，所以2(210)220,1p p =⨯=，即22(020)x y y =≤≤．玻璃球触及杯底，就是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点，即原点．由222()x y r r +-=与22x y =消去x 得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点，即原点，所以220,1,r r -≤≤即半径r 最大取1．【例8】【2018重庆模拟】已知椭圆()2212210x y C a b a b +=>>：离心率为63，焦距为22，抛物线()22:20C x py p =>的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交2C 于,P Q 两点，若1C 的右顶点A 在以PQ 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ，36=a c ，得椭圆的标准方程，得到抛物线焦点，可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+，421-=⋅x x ，A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ，得结果．（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x =-．A 在以PQ 为直径的圆内()1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔-+++<()2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<，641634481600k k --⨯++<⇒>．【例9】 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，切点为A 、B ，42||3AB =．（1）求抛物线E 的方程；（2）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P 、Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．【解析】：（Ⅰ）由已知得M (－ p2，0)，C (2，0)．设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223．于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3， 所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．R BAMC yxOPQ NCyxO【跟踪练习】1．【2018四川双流模拟】已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点P 的横坐标为（ ）A ．8179- B ．89C ．817D ．17【答案】A2．【2018河南郑州模拟】已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则PQ d +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C3．【2018吉林长春模拟】已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ． 【答案】564．已知圆222:()()C x a y b r -+-=的圆心为抛物线24x y =-的焦点，直线1x y +=与圆C 相切，则该圆的方程为___________________．【答案】22(1)2x y ++=5．如图，抛物线E ： 22(0)y px p =>与圆O ： 228x y +=相交于A ， B 两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB 上动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ， D 两点，分别以C ， D 为切点作抛物线E 的切线1l ， 2l ， 1l 与2l 相交于点M ．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．【注意问题】求出轨迹方程后注意范围，不符合的点．6．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【解析】：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,Ax y Bx y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()2221221,2,141D m m AB m y y m +=+-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN 的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y m m m m ++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN 的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y m m m m ++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=． 考向四 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题【例10】【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】椭圆1C ：()22210x y a b a b +=>>的离心率为32，椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为4105．过椭圆1C 的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆2C ： ()()22240x y r r -+=>相切于点N ．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程； （Ⅱ）若43AN MN =，求直线l 的方程和圆2C 的半径r ． 【答案】(1) 2214x y +=；(2) :525100,25l x y r ±+==．（Ⅰ）由题意知， 32c a =，即22234a b a -=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为4105，∴弦在第一象限的端点的坐标为2525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解得2,1a b ==．∴椭圆1C 的方程为2214x y +=．【例11】已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q ． （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点．（2）由题意可设直线():10AB x my m =+≠，代入24y x =，得2440y m y --=， 设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12124,4y y m y y +==-；又()1,2H ，设直线,AH BH 的斜率分别为12,k k ，则12122212122244,221144y y k k y y y y --====++--，设()()1,,1,M N M y N y --，令1x =-，得()111228222M y y y y -=-=++，同理，得()222228222N y y y y -=-=++，从而()()()()()121212121212424222244244·422244244M N y y y y y y m y y y y y y y y m ⎡⎤-++----⨯+⎣⎦====-+++++-+⨯+；12882222M N y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12114822y y ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭()()12121284424y y y y y y ⎡⎤++⎣⎦=-+++()84444244m m +=--+⨯+4m=-．又以MN 为直径的圆的方程为： ()()()210M N x y y y y ++--=，即()()22·10M N M N y y y y y y x -++++=，即224230x x y y m +-++=，令220{230y x x y =+-+=，解得3x =-或1x =，从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0．【跟踪练习】1．【2018河南郑州模拟】如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142【答案】A2．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点()1,3P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索ts 是否为定值？请说明理由． 【答案】（Ⅰ）2213y x -=；（Ⅱ）s t 为定值3．∴2083y =⨯，∴026y =±． ()()22132267AF =++±=又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =． ∴双曲线的方程为：2213y x -=． （Ⅱ）s t为定值．下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：3y x =±．∵圆M 与渐近线3y x =±相切，∴圆M 的半径为()223313r ==+．故圆()22:23M x y ++=． 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，设1l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=，设2l 的方程为()131y x k -=--，即310x k y k +--=，∴点M 到直线1l 的距离为12331k d k-=+，点N 到直线2l 的距离为22311k d k -=+，∴直线1l 被圆M 截得的弦长22223363623211k k k s k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭， 直线2l 被圆N 截得的弦长22223123221211k k k t k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭， ∴()()222263636323223k k s k k t k k k k --===--，故s t为定值3．。

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y .根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1，设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |.易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4|5－1＝5－1.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°. 连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A.52 B.52 C.62D ．3 (2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．答案 (1)C (2)D解析 (1)设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，焦距为2c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且不妨设m >n ，由m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 又∠F 1PF 2＝π3，∴4c 2＝m 2＋n 2－mn ＝a 21＋3a 22，∴a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1(22)2＋3e 2＝4，解得e ＝62，故选C. (2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cyb 2－2c 2， 由12F P QF k k ⋅＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m 答案 (1)C (2)A解析 (1)设OF 的中点为C ，则 AO →＋AF →＝2AC →，由题意得， 2AC →·OF →＝0，∴AC ⊥OF ，∴AO ＝AF ， 又∠OAF ＝90°，∴∠AOF ＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， ∴ba ＝tan 45°＝1， 则双曲线的离心率e ＝1＋(ba)2＝2，故选C.(2)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±m mx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．解 (1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)， 令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )， ∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →＝(－x 1,2a －y 1)，∵AB →＝613BC →，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ，∵点B 在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a 2b 2＝1，∴b 2a 2＝34，∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e ＝12.(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ，∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0y ＝kx ＋m ，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0，∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0， 整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P (x 1，y 1)则有x 1＝－8km 2(3＋4k 2)＝－4km 3＋4k 2， y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，∴P (－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2)， 又M (1,0)，Q (4,4k ＋m )，∵x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，∴(1＋4km 3＋4k 2，－3m3＋4k 2)·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立， 整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t.又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c. 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163， ∴(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限， 所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为43.押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ， 由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)， 所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a 2. 因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE .又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2，② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1. 因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3， 所以|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3 答案 D解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A ．2或233B.6或233 C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 故选A. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 答案 B解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.故选B. 4．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A.463B.433C.863D.233 答案 C解析 由题意，可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝4， 又|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，所以，|BC →|＝2|AC →|.故|OC →|＝|AC →|.又AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →.故△OAC 为等腰直角三角形，|OC →|＝|AC →|＝2 2.不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得2242＋22b 2＝1，解得b 2＝163. 所以c 2＝a 2－b 2＝42－163＝323，c ＝463. 故其焦距为2c ＝863. 5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94. 6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且 PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1) 答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 所以12≤e ≤22.故选B. 二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ， 将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1， 其渐近线方程为y ＝±2x .8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.答案 2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p 4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故答案为 2.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的右焦点坐标是(3,0)． 所以p 2＝3，所以p ＝6. 即抛物线的标准方程为y 2＝12x .设过点P (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y ＝x －2，联立y 2＝12x 消去y 可得x 2－16x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，所以弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x 1＋x 2＋p 2＝16＋62＝11.故填11. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 答案 2解析 延长F 2A 交PF 1于B 点，则|PB |＝|PF 2|，依题意可得|BF 1|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .又因为点A 是BF 2的中点．所以得到|OA |＝12|BF 1|，所以b ＝a . 所以c ＝2a .所以离心率为 2.三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2.(1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB | 故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0) ∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32. ∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k. 又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。

解：（Ⅰ） 离心率 ， ，即 （1）；
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。

双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。