解析几何 椭圆、双曲线、抛物线

圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

以下是一些关于圆锥曲线的常用二级结论：
1. 椭圆：
焦点定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的半长轴长度。

离心率，椭圆的离心率是一个小于1的正数，定义为焦距与半
长轴之比。

焦半径定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于该点
到两个焦点连线的长度。

2. 双曲线：
焦点定理，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数
2a，其中a是双曲线的半长轴长度。

离心率，双曲线的离心率是一个大于1的正数，定义为焦距与半长轴之比。

渐近线，双曲线有两条渐近线，这两条线在无穷远处与双曲线趋近于平行。

3. 抛物线：
焦点定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

对称性，抛物线关于准线对称。

焦半径定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的二倍。

这些是圆锥曲线中的一些常用二级结论，它们可以帮助我们理解和分析圆锥曲线的性质和特点。

请注意，以上只是一些常见的结论，还有很多其他结论和性质可以进一步探索和研究。

第3讲　椭圆、双曲线、抛物线[考情分析]　高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1　(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　D解析　椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2答案　B解析　方法一　由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1　(1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案　C解析　方法一　因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．由|MF|＝x M＋＝5，得x M＝5－，即M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y轴相切于点(0,2)，从而2＝，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.方法二　由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知，得AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又因为p>0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.(2)已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )A．(6＋2，25] B．[9,25]C．(6＋2，20] D．[3,5]答案　A解析　椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2＝8－2.由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.①又点A在椭圆内，所以＋<1(m>4)，所以8m－16<m(m－4)(m>4)，解得m<6－2(舍)或m>6＋2.②由①②得6＋2<m≤25，故选A.考点二　圆锥曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．例2　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.答案　C解析　∵AF2＝2F2B，设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，∵AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝，在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2，整理得＝，∴e＝＝.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )A.B．4C．7D．8答案　B解析　由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，由图象可知|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，∴|MM′|＝|AB|，联立得x2－6x＋1＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.二级结论　抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)＋＝.跟踪演练2　(1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于( )A.B.C.D.答案　D解析　抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y＝±，可得|AB|＝，由△ABF为等边三角形，可得p＝·，即有＝，则e＝＝＝＝.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|等于( )A.B．1C．2D．3答案　B解析　如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋.∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2.∵＝2，∴|MF|＝|MA|，∴x0＝p.又∵点M(x0,2)在抛物线上，∴2p2＝8，又∵p>0，∴p＝2.∴|MA|＝2＝2，∴|AF|＝1.考点三　直线与圆锥曲线的位置关系核心提炼解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．例3　(2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解　(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＋＝1.(2)设P(x P，y P)，Q(6，y Q)，根据对称性可设y Q>0，由题意知y P>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝y P，|BQ|＝.因为|BP|＝|BQ|，所以y P＝1.将y P＝1代入C的方程，解得x P＝3或－3.由直线BP的方程得y Q＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝；|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.综上，△APQ的面积为.规律方法　解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．跟踪演练3　(1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C 交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　B解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，| BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为( )A.B．1C.D.答案　D解析　假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝.专题强化练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为( )A. B.C. D.答案　C解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2B．3C．6D．9答案　C解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案　C解析　由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①又＋＝1，所以y＝b2，②由①②解得b2＝2.所以C的方程为＋＝1.4．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.C．2D.答案　A解析　如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.答案　C解析　如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知|HF1|＝|PF1|＝|MF1|，∵O是F1F2的中点，∴OH∥MF2，又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，∴|HF1|＝，直线PF1的方程是y＝(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝＝a，∴在△OHF1中，a2＋2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线答案　ACD解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b ＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．7．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )A．C的方程为－y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x－2－1经过C的一个焦点D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点答案　AC解析　因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝e x－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A．p＝4 B.DF＝FAC．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案　ABC解析　如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF ＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝| EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则DF＝FA，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴| BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案　(3，)解析　不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B 为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．答案　2解析　如图，A(a,0)．由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则k AB＝＝3，即b2＝3ac－3a2.又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．答案　解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝－，c＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝－，又离心率为2，即＝4，解得n＝1，m＝－，∴此双曲线的方程为y2－＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d＝＝.12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则AB·CD的值为________．答案　解析　易知AB·CD＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A，B，C，D，|AB|＝|CD|＝，所以AB·CD＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k，由可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则AB·CD＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，AB·CD＝.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．(1)解　由题意可得解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)，联立得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.所以直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，易知直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.因为点F到直线GB的距离d＝＝＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。

椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。

通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。

本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。

一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。

二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。

双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。

通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。

三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。

抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。

抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。

四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。

以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。

这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。

结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。

解析几何的经典结论1.通径椭圆、双曲线的通径为22b a，抛物线的通径为2p .2.点差法结论AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条弦，()00,M x y 为弦AB 的中点，则中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =-；椭圆()222210y x a b a b +=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =-；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =；双曲线()222210,0y x a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =； 抛物线)0(22>=p px y ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =；抛物线22(0)y px p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =-；抛物线)0(22>=p py x ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p =；抛物线22(0)x py p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p=-；（注意使用点差法结论时，保证直线AB 与圆锥曲线相交.另外，结论中的直线AB 斜率存在，且00y ≠）. 3.设椭圆 ()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=-；设椭圆()222210y x a b a b+=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=-；设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=；设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=. 4.焦半径公式椭圆()222210x y a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-,其中e 是椭圆的离心率.椭圆()222210y x a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ey =+,20PF a ey =-，（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在右支，则焦半径10PF ex a =+,20PF ex a =-；若P 在左支，则焦半径10PF ex a =--,20PF ex a =-+.双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在上支，则焦半径10PF ey a =+,20PF ey a =-；若P 在下支，则焦半径10PF ey a =--,20PF ey a =-+.（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）. 抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则焦半径02pPF x =+；过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则焦半径1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+.（A 在x 轴上方、B 在x 轴下方）抛物线)0(22>-=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF x =-； 抛物线)0(22>=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =+； 抛物线)0(22>-=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =-. 5.焦点三角形面积椭圆()222210x y a b a b +=>>、()222210y x a b a b +=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形面积为：122tan2F PF S b θ∆=；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>、()222210,0y x a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，则双曲线的焦点三角形面积为：1222cot 2tan 2F PF b S b θθ∆==； 6.切线与切点弦所在直线方程 ①切线方程过圆222x y r +=上一点()00,M x y 的切线方程：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b +=；过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b-=；过抛物线)0(22>=p px y 上一点()00,M x y 的切线方程：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 上一点()00,M x y 的切线方程：()00x x p y y =+.②切点弦方程过圆222x y r +=外一点()00,M x y 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b+=； 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b-=； 过抛物线)0(22>=p px y 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00x x p y y =+.7.等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ；共渐近线x aby ±=的双曲线的标准方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠. 8.若椭圆焦点位置不明确，椭圆方程可设为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；若双曲线焦点位置不明确，双曲线方程可设为：221(0)mx ny mn +=<. 9. 弦长公式设斜率为()0k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，()11,A x y 、()22,B x y ，则弦长：12AB x =-==，其中a和∆分别是()200ax bx c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率；当代入消元消掉的是x 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式为：()21212122221111141AB y y y y y y k k k a∆=+-=++-=+，其中a 和∆分别是()200ay by c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率.10.抛物线)0(22>=p px y 焦点弦的常用结论①2124p x x ⋅=，212y y p ⋅=-；②1222sin pAB p x x θ=++=(θ为直线AB 的倾斜角). ③22sin AOBp S θ∆=(θ为直线AB 的倾斜角)； ④112AF BF p+=； ⑤以AB 为直径的圆与准线相切，以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑥90CFD ︒∠=；⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.11.已知点()11,A x y 、()22,B x y ，则以AB 为直径的圆的方程是：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。

解析几何：椭圆、双曲线、抛物线几何学中的曲线是研究图形的重要部分，而椭圆、双曲线和抛物线是其中三种常见的曲线形式。

它们在数学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

本文将对椭圆、双曲线和抛物线进行解析，探索它们的定义、性质和在实际应用中的意义。

一、椭圆椭圆是解析几何中常见的曲线，由平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点构成。

这两个点称为焦点，连接焦点的线段称为主轴。

椭圆的形状由其半长轴和半短轴的长度决定。

椭圆的方程通常表示为(x/a)²+(y/b)²=1，其中a和b分别代表椭圆半长轴和半短轴的长度。

通过这个方程可以推导出椭圆的其他性质，如离心率、焦距等。

椭圆在现实生活中有着广泛的应用。

例如，椭圆的运动轨迹可以用来描述行星绕太阳的轨道，也可以用于工程设计中的椭圆形物体的制造等。

二、双曲线双曲线是另一种常见的解析几何曲线，其定义是到两个固定点的距离之差等于常数的点构成。

这两个点同样称为焦点，连接焦点的线段称为虚轴。

与椭圆不同的是，双曲线有两个不相交的分支。

双曲线的方程通常表示为(x/a)²-(y/b)²=1，其中a和b分别代表双曲线的半轴长度。

通过这个方程可以得到双曲线的其他性质，如离心率、焦距等。

双曲线在科学研究和工程领域中有广泛的应用。

例如，双曲线经常用于描述粒子在电磁场中的运动轨迹，也可以用于地质勘探中的地层结构分析。

三、抛物线抛物线是常见的曲线形式之一，由平面上到与一条直线的距离相等的点构成。

该直线称为准线，垂直于准线通过准线焦点的线段称为主轴。

抛物线的方程通常表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a代表抛物线的开口方向和形状。

抛物线同样在现实中有广泛的应用。

例如，抛物线的运动轨迹可以用于描述抛射物的运动，也可以在抛物面反射的情况下用于天线的设计。

综上所述，椭圆、双曲线和抛物线是解析几何中常见的曲线形式。

它们分别由不同的几何条件定义，具有不同的性质和应用。

平面解析几何与曲线方程圆椭圆双曲线与抛物线平面解析几何与曲线方程一、引言平面解析几何是数学中的一个分支，通过运用代数与几何的知识，研究平面上点的位置、距离、方向等。

而曲线方程则是用代数的方法来表示曲线的方程。

本文将重点探讨平面解析几何中的四种曲线方程，即圆椭圆、双曲线和抛物线。

二、圆的方程圆是平面解析几何中最简单也最常见的曲线之一。

圆上的每个点到圆心的距离都相等，这个距离被称为圆的半径。

圆的方程可以通过坐标系中的点和半径来表示。

假设圆的半径为r，圆心为(h, k)，圆上一点的坐标为(x, y)，则根据勾股定理，可以得到圆的方程：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程表达了平面上所有满足距离圆心距离为r的点，所以可以用来表示一个圆。

三、椭圆的方程椭圆是平面解析几何中另一种重要的曲线，它的形状类似于拉伸的圆。

椭圆上的每个点，到两个焦点的距离之和是一个常数。

椭圆的方程可以通过坐标系中的点和椭圆的焦点、长半轴和短半轴来表示。

假设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，椭圆上一点的坐标为(x, y)，则可以得到椭圆的方程：((x - x1)² + (y - y1)²) / a² + ((x - x2)² + (y - y2)²) / b² = 1这个方程可以表示平面上所有满足到焦点距离之和为常数的点，从而构成一个椭圆。

四、双曲线的方程双曲线是平面解析几何中另一个重要的曲线，它的形状类似于打开的弓形。

双曲线上的每个点，到两个焦点的距离之差是一个常数。

双曲线的方程可以通过坐标系中的点和双曲线的焦点、实轴长半轴和虚轴长半轴来表示。

假设双曲线的焦点为F1和F2，实轴长半轴为a，虚轴长半轴为b，双曲线上一点的坐标为(x, y)，则可以得到双曲线的方程：((x - x1)² - (y - y1)²) / a² - ((x - x2)² - (y - y2)²) / b² = 1这个方程可以表示平面上所有满足到焦点距离之差为常数的点，从而构成一个双曲线。