类比与猜想的威力
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研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得
中学教研・中学教研・类比与猜想的威力●沈 杰 (首都师范大学附属中学 100037)中
学
教
研
・
中
学
教
研
・
研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得
1
问题提出
在学习立体几何时,经常遇到利用3个平面或4个平面最多能将空间分割成几部分的问题,学生运用空
间想象力,通常可以回答这个问题.然而,当进一步追问5个平面的情况时,学生就很难正确回答,这需要探讨
n个平面最多能将空间分割成多少部分的一般规律.显然,单凭空间想象是很难解决的,
这就需要用类比的方
法从低维到高维逐步研究
.
2
从低维到高维
⑴易知直线上n个点将这条直线最多分割成
X
n
=n+1
部分
;
⑵平面内n条直线将该平面最多分割成Yn部分,易知
Y
1=2,Y2=4,Y3=7,Y4
=11,…,由此猜想:Yn=
1
2
(n2+n+2)
,n∈N3.
证明 (1)当n=1时,显然
Y
1
=2
;
(2)假设当n=k时,Yk=12(k2+k+2)
,k∈N3.
当n=k+1时,因为k条直线将平面最多分成Yk部分,而增加第k+1条直线,它与前k条直线最多有
k
个交点,且这k个交点又将第k+1条直线分成k+1段,这k+1段中的每一段又把原来的每一部分均分成了
两部分,从而分割部分净增加了k+1部分,所以
,
Yk+1=Yk+(k+1)=12(k2+k+2)+(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)+2],
因此,当时n=k+1时亦成立
.
综上,由(1),(2)可知Yn=12(n2+n+2),n∈N3成立
.
从n=k+1的证明过程可以感受到,直线分平面依赖于点分直线,从而能得到如下的证法
.
另证 因为n条直线将平面最多分成Yn部分,则n+1条直线将平面最多分成Yn+1部分,即在n条直线
基础上又增加了一条直线,称它为第n+1条直线,它与前n条直线最多有n个交点,且这n个点又将第
n
+1
条直线分成Xn段,这Xn段中的每一段又把原来的每一部分均分成了两部分,从而分割部分净增加了Xn部
分,且
X
n=n+1,所以Yn+1=Yn+Xn=Yn+(n+1),且Y1=2,利用数列的知识可推得Yn
=12(n2+n+2
)
,n
∈
N
3
.
3
类比猜想
平面分空间依赖于直线分平面,具体见表
1
.
4
发现证明
证明 设空间中n个平面将空间最多分割成Zn部分,则空间中n+1个平面将空间最多分割成Zn+1部
分.因为第n+1个平面与前n个平面最多有n条交线,而这n条直线将第n+1个平面最多分成Yn部分,每
部分又将所在的空间部分一分为二,即净增加了Yn个空间部分,所以
Zn+1=Zn+Yn=Zn+12(n2+n+2),
・72・
2006年第9
期 中学教研(数学
)
且
Z
1
=2,得Zn=16(n3+5n+6),n∈N
3
.
表
1
5
美的结构
Xn=n+1=C0n+C1n,n∈N3;
Yn=12(n2+n+2)=C0n+C1n+C2n,n∈N3;
Zn=16(n3+5n+6)=C0n+C1n+C2n+C3n,n
∈
N
3
研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得
中学教研・中学教研・“情侣圆锥曲线”及其简单性质●郑观宝 (安徽歙县中学 245200)中
学
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研
・
中
学
教
研
・
研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得・・研究心得
在解析几何中,我们常常称椭圆
x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)是一对“情侣圆锥曲线”.那么,人们为什么称它们为“情侣圆锥曲线”呢,这对“情侣圆锥曲线”有何独特的性质呢?下面是本人的几点探讨心得,供大家参考.性质1 (1)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦CD与长轴A1A2垂直,设直线A1C与直线A2D的交点为P,则P点的轨迹为双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0).(2)反之,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的弦CD与实轴A1A2垂直,设直线A1C与直线A2D的交点为P,则P点的轨迹为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0).
图
1
证明 (1)如图1,设
C的坐标为(x0,y0),则D
的坐标为
(
x
0,-y0
)
,
且
x20a2+y
2
0
b
2
=
1
]
-y
2
0
x20-a2=b2a
2
.
①
又直线
A
1C,A2
D
的方程分
别为
y=y0x0+a(x+a),
y=-y0x0-a(x-a).
两式相乘并把式①代入得
y
2=b2a2(x2-a2
)
,
・82・
中学教研(数学) 2006年第9期
