专题05不等式与线性规划(讲学案) 2018年高考文数二轮复习精品资料 Word版 含解析
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与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点． 备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解为{x|x>x2，或x1}，
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解为{x|x12}；
(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 a<0，Δ<0. 2．(1)ab≤a＋b22(a，b∈R)； (2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)； (3)不等关系的倒数性质
a>bab>0
⇒1a<1b；
(4)真分数的变化性质 若00，则nm
(5)形如y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点； (6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为P22；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2S. 3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；y考点一 不等式性质及解不等式 例1、(1)已知实数x，y满足ax
A.1x2＋1＞1y2＋1 B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sin x＞sin y D．x3＞y3 【答案】D 【解析】根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立． (2)若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 【答案】B
【方法规律】 1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法． 2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论． 3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． 4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． 5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 【变式探究】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞) 【解析】通解：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集． 设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝ x2－4x，x>0，0，x＝0，－x2－4x，x<0.当x>0时，由x2－4x>x得x>5；
看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)． 考点二 基本不等式及应用
例2、【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240xxxx，当且仅当900xx，即30x时等号成立.
【变式探究】(1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组 ax＋y＝1，x＋by＝1无解，则a＋b的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞) 【解析】通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1. 又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2ab＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组 ax＋y＝1，x＋by＝1无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b. 又a＞0，b＞0，故a＋b＞2ab＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
(2)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】通解：因为直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝
2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C. 优解：如图a，b分别是直线xa＋yb＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
【方法技巧】 1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解． 2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
【变式探究】已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A.12 B.32 C．1 D．2
考点三 求线性规划中线性目标函数的最值 例3、【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件250302xyxy,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】D 【解析】画出约束条件250{30 2xyxy表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20xy,可知当其经过直线250xy与2y的交点1,2时, 2zxy取得最大值，为max1223z,故选D.
【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元． 【答案】216 000 (2)(2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件 x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，x－3≤0，则z＝x－2y的最小值为________． 【答案】－5 【解析】通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝12x－12z，作直线y＝12x并平移，观
【方法技巧】求目标函数的最值的方法 1．几何意义法 (1)常见的目标函数
①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－abx＋zb，通过求
直线的截距zb的最值间接求出z的最值． ②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2. ③斜率型：形如z＝y－bx－a，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM. (2)目标函数z＝xy的几何意义 ①由已知得y＝zx，故可理解为反比例函数y＝zx的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断． ②设P(x，y)，则|xy|表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积． 2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
【变式探究】设x，y满足约束条件 x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( ) A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
【解析】通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中Aa－12，a＋12.平移直线x＋
ay＝0，可知在点Aa－12，a＋12处，z取得最小值，
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件33,1,0,xyxyy则z=x+y的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数zxy经过3,0A时z取得最大值，故
max303z，故选D．
