线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系
最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z
最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值
2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行
域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几
何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件
220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2
的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2
C 、13，
4
5
D 、13，255
解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的
图2
x
y O
2 2 x=2
y =2 x + y =2
B
A 2x + y - 2= 0 x – 2y + 4 = 0
3x – y – 3 =
O
y
x A
距离的平方，即|AO|2
=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
4
5
，选 C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,10
52y x y x y x ，则
x y 的最大值为___________，最小值为____________．
2，0
三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表
示的平面区域的
面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 20200x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示解析：如图６，作出可行域，易知不等式组
的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.2
2
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。
点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的
平面区域的面
积为
（ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC 的面
积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积
即可，选B
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不
等式组是（）
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D)0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围
成一个三角形区域（如图4所示）时有0
03x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨
⎪≤≤⎩。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排
2x + y – 6= 0
x ＋y – 3 =
O
y
x A B
C M y =2
除法是最效的方法。
习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是
（ ）
A 232600y x y x ≥-⎧
⎪-+>⎨
⎪<⎩
B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
C 232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩
D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩
C
五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例
5、在约束条件0
24
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y
=+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函
数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标
函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D;
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域
包含点
（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）
A 、（-3,6）
B 、（0,6）
C 、（0,3）
D 、
（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩
由右图可知33
30
m m +>⎧⎨
-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C
习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是 （ ）
A ．32<<-m
B ．60<C ．63<<-m
D ．30<A
七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例7、已知变量x ，y 满足约束条件14
22
x y x y ≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩。若
目标函数
z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则
a 的取值范围
为 。 解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其
表示为斜率为
C
O
2x – y =
y
2x – y + 3 = 0
