级数复习

第九讲 无穷级数 9.1 级数的知识框架 9.1.1 级数的概念与性质 1．＋＋＋＋＋nuuuu321＝1nnu叫做无穷级数 2．ns＝niiu1称为部分和,若ssnnlim称无穷级数1nnu收敛 3．性质 1） 1nnu收敛到s，则1nnku收敛到ks.

2） 1nnu,1nnv收敛到,s,则级数1)(nnnvu收敛到s. 3） 在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 4） 如果级数1nnu收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数

)()()(1111211kknnnnnuuuuuu

(4)

仍收敛,且其和不变.

5） 1nnu收敛,则.0limnnu

9.1.2 数项级数

1． 正项级数同时敛散积分法：发收，根植法：发收，比值法：极限形式大发小收，小发大收比较法)(,)(11,lim11,lim1n1nfdxxflllaqqqaannn 2． 任意项级数柯西收敛准则绝对收敛，条件收敛任意项级数别法，交错级数：莱布尼兹判0lim,1nnnuuu 9.1.3 函数项级数

1． 幂级数函数展开成幂级数，逐项可积，逐项可微和函数在收敛域内连续求和内绝对收敛收敛半径RaaRnnn,lim1 2． 付氏级数 狄利克雷收敛定理 要求总体理解概念，重点掌握幂级数

9.2 例题 例1 判别下列说法正确与否 1）数列}{na与级数1nna同时收敛或同时发散；

2）1nna收敛，1nnb发散，则1)(nnnba发散； 3）1nna发散，1nnb发散，则1)(nnnba发散； 4）1nna收敛，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛； 5）1nna发散，1nnb发散，则1)(nnnba发散； 6）1nna收敛，则12nna收敛； 7）12nna收敛，则1nna收敛； 8）1nna收敛，nnba~，则1nnb收敛； 9）12nna，12nnb收敛，则1)(nnnba收敛。 解 1）nan1错；2）对；3）nbnann1,1错；4）nbnannnn1)1(,1)1(

错；（5）nbnann1,1错；（6）nann1)1(错 ;(7)nan1错； （8）nnbnannnn11)1(,1)1(错；（9）)(2)(0222nnnnbaba。 例2 选择题 1）设1nna为正项级数，下面结论正确的是

（A）若1nna收敛，则0N，当Nn时，11nnaa； （B）若1nna发散，则0N，当Nn时，11nnaa； （C）若0N，当Nn时，11nnaa，则1nna收敛； （D）若0N，当Nn时，11nnaa，则1nna发散；

解 选D （A）反例，2))1(2(1nnna，当n偶数时1)12(1)12(1221nnaann

当n为奇数时1)12(1)32(1221nnaann；（B）反例nan1，111nnaann，（C）反例(B) 2) 设1nna收敛 （A）则0limnnna； （B）又设当n时，nnba~，则nb收敛。 （C）又设||nb收敛，则||nnba收敛。 D）设nb收敛，则nnba收敛。 解 C

（A）反例nann)1(，（B）见例1（8）；（D）见例1（4） （C）0na，N，当Nn时，1||na，||||nnnbba 3）设2na收敛，则nna)1( （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散；（D）不定。 解 （D） （A）反例nann1)1(，（B）同（A）；（C）反例421nan

3) 级数12)1(nnnna收敛，则级数na （A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性不定。 解 （C）因12)1(nnnna收敛，02)1lim(nnna，N当Nn时，

nnnnaa21||1|2|，当n21收敛，所以||na收敛。

例3 判别下列级数的敛散性(正项级数)

1．111nnn；2. 111nna；3. 1231arctannn；4. 1!2nnnnn；5. 12332nnnn；

6. 111ln1nnn；7. 1101nndxxx；8. 101sinnndxxx 解 （略） （1）注意比较极限形式；（2）会用无穷小等价分析；（3）放大法常用。 例4 判别级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛

1．2ln)1(nnnn

解 令xxxfln)(（2x），011)(xxf，)(xf单增，即nnln1单减。 又0ln1limnnn，由莱布尼兹收敛法，原级数收敛。 又nnln1发散，理由nnn1ln1，故原级数收敛。

2．111)1(nnnxndxxe

解 因为nnnnnxnnxnneeedxedxxea)1(|)1(|||)1(111 由1)1(nne收敛，故原级数绝对收敛。 例5 （抽象级数的敛散性） （1）已知)(xf于),1[上连续，单减，且0)(limxfx，记)(nfun。

证明 11])([nnnndxxfu收敛，且其和)1(fs。 分析：))(()(11nfudxxfunnnn，故 11)(0nnnnnuudxxfu )1()())((01111111fuuuuudxxfunnkkknkkkk



。

即}{ns单增，有上界，从而有极限，即原（抽象）级数收敛。 （2）若na，nc都收敛，且nnncba，证明 nb收敛。

证 nnncba，nnnnacab0，而1)(nnnac收敛，则1)(nnnab收敛， nnnnaabb)(，从而nb收敛。 （3）设11)(nnnaa收敛，1nnb绝对收敛，证明：1nnnba绝对收敛。

证 11)(nnnaa收敛，111)(aaaaSnknkkn收敛na收敛，}{na有界，即存在0M，使Man||，11||||nnnnnbMba，故原级数收敛。 （4） 若正项数列}{na单调上升且有上界，试证明：级数11)1(nnnaa收敛。 证：}{na单调上升，有上界，必有极限，从而有界，存在0M，使Man|| 记 nknnnkknaaaaaaaaaaaS1113232121)1(

21a2121112312][aaMaaaaaaaaannn

}{nS单增有上界，必有极限，故原级数收敛。（小结：抽象nS单调有界） 9.3 关于幂级数 9.3.1 幂级数的收敛半径于收敛域 一、基本内容 1． 若nnnaa1lim，则1R

2． 于),(RR内1nnnxa收敛。（且内闭一致收敛） 二、例题 例1 求112)1(nnnxxn的收敛域。

解 令12xxt，对于1)1(nnntn，1111limlim1nnaannnn，1R 当1t时，1)1(nnn，当1t时，11nn发散，即1121xx时级数收敛。 解得1x或31x级数收敛。 例2 求幂级数nnnnxn)1()1(21的收敛域。 解 2)1(2)1(21limlim111nnnnnnnnnnaa，21R。 当211x时，112)1(121)1(2nnnnnnnnnn发散。 当211x时，121)1(nnnnn收敛。则31121x，即2321x是收敛域。 例3 求1122nnnxn的收敛域。

解 12212lim212321xxnxnnnnnn，得212x，21||x，2121x 当21x时，121nn发散，当21x，121nn发散，收敛域为)21,21 ( 例4 设1)1(nnnxa在3x点条件收敛，则该幂级数的收敛半径为R___，收敛区间为___________ (4,-5解 于3x点收敛，但布绝对收敛，则3x是收敛区间得端点，13R＝4，414x。

例5 设1nnnxa收敛半径为3，则11)1(nnnxna的收敛区间为（－2，4） 解求导后收敛半径不变，故313x，从42x。 9.3.2 函数展开成幂级数 一、基础内容 1．0)(!)0(~)(nnnxnfxf或000)()(!)(nnnxxnxf 2．直接法：仅用上述公式展开，研究收敛性 3．间接法，由如下基本公式演绎展开

1）nnxxxxx)1(11132＋ 11x

2）nxxxxx32111 11x

3） xe!!212nxxxn )(x