级数复习

级数期末复习题及答案一、选择题1. 考虑级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)，以下哪个选项是正确的？A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无法确定2. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛的充分必要条件是：A. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty\)C. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 收敛D. 所有选项都正确二、填空题3. 根据比较判别法，如果 \(0 \leq a_n \leq b_n\) 对所有 \(n\) 成立，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ________。

4. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) 可以通过部分和公式 \(S_n = 1 - \frac{1}{n+1}\) 判断其 ________。

三、简答题5. 请简述绝对收敛和条件收敛的区别。

6. 给定级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\)，判断其收敛性，并说明理由。

四、计算题7. 计算级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) 的和。

8. 证明级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}\) 收敛，并求其和。

五、证明题9. 证明：如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，那么级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2\) 也收敛。

10. 使用比值判别法证明级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}\) 收敛。

第七章 级 数一． 数项级数及其敛散性 二． 幂 级 数 一． 数项级数及其敛散性 （一）、 数项级数及其性质 （二）、 正项级数及其敛散性 （三）、 交错级数及其敛散性 （四）、 绝对收敛与条件收敛 一 数项级数及其性质 1. 数项级数的概念定义 1 设给定一个数列 … , ，…，则式子,2,1u u ,n u (3)211+++++=∑∞=u uu u u n n n,n u 称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第n 项 称为一般项或通项．,n u 例 ① 算术级数+++++)2()(121d a d a a …＋(+−+))1(1d n a …② 等比级数（几何级数）+++2111q a q a a …++… ，11−n q a ③ p -级数 ∑∞=++++=11312111n p p p pn n…… .定义２ 设级数∑的前n 项之和为 ∞=1n n u =+++=n n u u u S 21∑∞=1k ku称为级数∑的前 项部分和.当依次取n S ∞=1n n u n n ⋅⋅⋅,3,2,1时，得到一个新的数列,,11u S =212u u S +=, ,21n nu u u S+++=数列{称为级数的部分和数列.}n S ∑∞=1n nu若此数列的极限存在，即S S n n =∞→lim (常数)，则称S 为级数∑的和，∞=1n nu记作∑此时称级数收敛.如果数列{}没有极限，则称级数发散，这时级数没有和.∞==1n n S u ∑∞=1n nun S ∑∞=1n nu 当级数收敛时，其部分和 是级数 n S S 的近似值，称n S S −为级数的余项，记作 ，即 n r ++=−=++21n n n n u u S S r .思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围.2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查是否存在.n n s ∞→lim （2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=−+11(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n n n , （4）)1(1)1(11+−∑∞=−n n n n . 解：（1）∵nn n n ++=−+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=−+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3）∵ nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=,1e 1<−∴ 原级数收敛.（4） ∑∞=−+−11)1(1)1(n n n n ∵=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin n n θθθθ对任何θ都收敛. 证明： ∵221sin nn n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数化为分数. 83.0 解： = 83.0 +×+×+×+−−−38.01038.01038.01038.0642 =∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos nn α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.例 1 考察级数∑∞=+11ln n nn 的敛散性.解 注意到 n n nn n u ln )1ln(1ln−+=+= )1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 21+=−+++−+−=+++=n n n u u u S n n，所以lim lim ln(1)n n n S n →∞→∞=+=+∞由定义级数∑∞=+11lnn nn 是发散的. 解 这是公比为2的几何级数1212−−=n n s 例 2 考察级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++−128421n 的敛散性.所以+∞=−=∞→∞→)12(lim lim nn n n S ，级数是发散的.为避免 例 3 考察级数的敛散性.∑∞=−−11)1(n n 解 这是公比为-1的几何级数，即 11111+−+−它的部分和数列是1,0,1,0,…，显然不存在,所以级数是发散的.n n S ∞→lim 例4 把循环小数化为分数.••63.0解 把化为无穷级数 ••63.0••63.0 ++++=n 1003610036100361003632 ，这是公比为1001的几何级数,由等比数列求和公式10011)10011(10036−−=nnS 所以1149936100111003610011)10011(10036lim lim ==−=−−=∞→∞→n n n n S ， 这个无穷级数的和为114,即••63.0114=.性质1 级数与级数 (常数 ∑∞=1n n u ∑∞=1n n ku 0≠k )敛散性相同,且若收敛于 ∑∞=1n n u S ,则 ∑ 收敛于ks .∞=1n n ku性质2 若级数∑与分别收敛于∞=1n nu∑∞=1n nvβ与 α,则级数收敛于∑∞=+1)(n n nv uαβ+.性质3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变.性质 4 (两边夹定理) 如果 ≤ n u n v ≤ ,且n w 1n n u ∞=∑和都收敛,则也收敛.∑∞=1n n w ∑∞=1n nv 性质5 (级数收敛的必要条件) 若级数收敛,则∑∞=1n n u .0lim =∞→n n u证 设,由于S u nn =∞→lim 1−−=n n n S S u ,所以0lim lim )(lim lim 11=−=−=−=−∞→∞→−∞→∞→S S S S S S u n n n n n n n n n .例6 判别级数∑∞=+−112)1(n n n n 的敛散性.解 由于12)1(lim +−∞→n nn n 不存在,由性质5可知此级数是发散的.例 7 证明：调和级数∑∞=11n n虽有01lim =∞→n n ，但是它是发散的.二、 正项级数及其敛散性正项级数：若≥0，则级数称为正项级数.n u ∑∞=1n n u 定理 1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.∑∞=1n n u 证 对于正项级数，由于 ≥0，∑∞=1n n u n u 因而11+++=n n n u S S ≥ ，n S 所以正项级数∑收敛的充分必要条件是，它的部分和∞=1n n u数列{}有界，显然 存在，从而级数 收敛；若{}无界，则，从而级数∑发散.n S nn S ∞→lim ∑∞=1n nun S +∞=∞→n n S lim ∞=1n n u 例8 证明正项级数 ∑∞=++++=0!1!21!111!1n n n 是收敛的. 证 因为n n ⋅⋅⋅⋅= 3211!1≤),4,3,2(21222111 ==⋅⋅⋅⋅−n n 于是对于任意的n ，有.3213211211121212111)!1(1!21!1112122<−=−−+=+++++<−++++=−−−n n n n n S 即正项级数的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛. 定理2 （比较判别法） 设和 是两个正项级数，且≤ ，∑∞n u =1n =1n ∑∞n v n u n v （1）若级数∑收敛,则级数也收敛;∞=1n n v ∑∞=1n n u （2）若级数∑发散，则级数也发散.∞=1n n u ∑∞=1n n v 例9 讨论−p 级数 )0(13121111>+++++=∑∞=p n npp p n p 的敛散性.解 当p ≤1 时，p n 1≥n 1，因为∑∞=11n n发散，所以由比较判别法知，p ≤1 时，∑∞=11n pn发散. 当1>p时,顺次把−p 级数的第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项, …… 括在一起,得++++++++++)15181()71615141()3121(1pp p p p p p p ， 它的各项显然小于级数++++=+++++++++−−−31211)21()21(2118181()4141()2121(1p p p p p p p p p 对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为,1211<=−p q 故收敛,于是当1>p 时,级数∑∞=11n pn收敛. 例10 判定级数 +++++⋅+⋅)4)(1(1631521n n 的敛散性.解 因为级数的一般项 )4)(1(1++=n n u n 满足21)4)(1(10n n n <++< ，而级数∑∞=121n n是2=p 的 −p 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.定理3 (达朗贝尔比值判别法) 设是一个正项级数，并且 ∑∞=1n n u q u u n n n =+∞→1lim ，则(1)当 时，级数发散； 1>q (2)当时，级数收敛；1<q (3)当 时级数可能收敛，也可能发散.1=q 例11 判别下列级数的敛散性：(1）∑∞=1223n n nn ;（2）∑∞=−1)!1(1n n解(1)221211322)1(3lim lim n n n n n n n n n u u ⋅+=++∞→+∞→,12311123lim )1(23lim 222>=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+=∞→∞→n n n n n 所以级数∑∞=1223n n nn 发散.解(2) 10!)!1(lim lim 1lim 1<==−=∞→∞→+∞→nn n n n n n n u u 所以级数∑∞=−1)!1(1n n 收敛. 三、 交错级数及其敛散性交错级数：设,则级数称为交错级数.0>n u n n n u ∑∞=−−11)1(定理4（莱布尼茨判别法） 如果交错级数( 满足莱布尼茨（Leibnizi）的条件：n n n u ∑∞=−−11)1(),2,1,0 =>n u n （1）≥（n =1,2,…）， n u 1+n u （2）,0lim =∞→n n u则交错级数收敛n n n u ∑∞=−−11)1(例12判定交错级数 +−++−+−−n n 1)1(41312111 的敛散性.解 此交错级数 ,11,11+==+n u n u n n 满足： （1）;111+>n n（2）01lim lim ==∞→∞→nu n n n ，由定理4知它是收敛的. 四、绝对收敛与条件收敛定义 3 若 ∑∞=1n n u 收敛，则称是绝对收敛的，若只是收敛而∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的.∑∞=1n n u 定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.证 如果∑∞=1n n u 收敛，由于 n u −≤ ≤ n u n u ，故从性质1及性质4知也是收敛的.∑∞=1n n u 例13 判定级数∑∞=12sin n nna的敛散性 解 考虑级数∑∞=12sin n nna， 由于 0≤n na 2sin ≤n 21 而级数∑∞=121n n 收敛，由两边夹定理知级数 ∑∞=12sin n nna 是收敛的.根据定义3， ∑∞=12sin n nna是绝对收敛的.由定理5知它也是收敛的. 思考题1.级数收敛的必要条件所起的作用是什么?2.判定一个级数是否收敛，有哪几种方法? 第二节 幂 级 数 一、 幂级数的概念 二、 幂级数的性质三、 将函数展开成幂级数 四、 幂级数应用 一、 幂级数的概念1.函数项级数:如果级数∑∞=1n nu= ++++)()()(21x u x u x u n的各项都是定义在某个区间上的函数，则称为函数项级数, 称为一般项.)(x u n 收敛点与收敛域：当 x 在区间I 中取某个特定值 时,级数就是一个数项级数.0x ∑∞=1)(n n x u 如果这个数项级数收敛，则称 为级数的一个收敛点；0x 如果发散，则称 为这个级数的发散点.一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域. 0x 和函数：对于收敛域内的任意一个数 x ,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和 S .这样，在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数)(x S ,通常称)(x S 为函数项级数的和函数,即)(x S = ++++)()()(21x u x u x u n .其中是收敛域内的任意一点.x 将函数项级数的前 项和记作则在收敛域上有.n )(x S n )()(lim x S x S n n =∞→2. 幂级数的概念形如①...)(...)()()(020201000+−++−+−+=−∑∞=n n n nx x a x x a x x a a x x a的函数项级数,称为的幂级数,其中常数,称为幂级数的系数.0x x −0a ,,,,21n a a a 当=0时，上式变为0x =∑∞=nn n x a 0 ++++n n x a x a x a a 2210 ② 称为的幂级数,如果作变换x 0x x y −= ,则级数①就变为②.因此,下面只讨论形如②的幂级数.（1） 幂级数的收敛半径由于级数②各项可能符号不同，将级数②的各项取绝对值,则得到正项级数+++++=∑∞=n n n nnx a x a x a a xa 22100设当n 充分大时, ≠0,且n aρa a nn n =+∞→1lim 则 .lim lim lim 1111ρx x a a x a x a u u nn n n n n n n n n n ⋅=⋅==+∞→++∞→+∞→ 于是,由比值判别法，可知： 当0≠ρ时，若1<⋅ρx ,即R x =>ρ1，则级数②收敛；若 1>⋅ρx ，R x =>ρ1，则级数②发散.这个结果表明，只要 ∞<<ρ0 ，就会有一个对称开区间),(R R −在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，R x ±=时，级数可能收敛可能发散.称ρ1=R 为幂级数②的收敛半径.当0=ρ时，10<=⋅ρx ，级数②对一切 x 都绝对收敛，这时规定收敛半径+∞=R .如果幂级数仅在0=x 一点处收敛，则规定收敛半径0=R ，由此可得 定理1 如果以上幂级数②的系数满足ρa a nn n =+∞→1lim ， 则① 当+∞<<ρ0时，ρR 1=； ② 当时， 0=ρR =+∞； ③ 当+∞=ρ，0=R . 2）幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为R ，则),(R R −称为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.我们把收敛区间的端点R x ±=代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法. 间接展开法与直接展开法比较有以下优点：（1）避免直接展开法中求系数时的复杂运算，而由基本展开式可直接求出,n a )(0)(x f n n a （2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.x ln 答：能. 习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）, （2）∑∞=1!n nx n ∑∞=1)!2(n nn x . 解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数的收敛域为∑∞=1!n n x n }0|{=x x .（2）1lim+∞→=n n n a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=,∞+∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞−∞.2. 求幂级数∑的和函数.∞=+−0)1()1(n n n x n 解：设,∑∞=+−=0)1()1()(n n n x n x s 两端关于求积分得：x==x x s x d )(0∫∑∞=+−01)1(n n n x xx+1 )1,1(−∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=−∈+=+−02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成的幂级数，并求收敛域. 3−x 解：)3(31)(−+=x x f =)33(1131−+⋅x , 因为∑∞=+=−011)1(n n n xx )1,1(−∈x , 所以 ∑∞=−⋅−=−+⋅)33(31)1(33(1131n n n x x =∑∞=+−−01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<−<−x ， 即60<<x . 当时，级数为0=x ∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅−031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+−−01)3()31()1(n n n n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f −=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +,（4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x −−=.∑∞=−∈−0)1,1(,)1(n n n x x （2）211x + =∑=,∞=−02)(n nx ∑∞=−02)1(n n n x )1,1(−∈x . （3）=)1ln(x +∫+x x x 0d 11=∫∑∞=−x n n n x x 0d )1(==∑∫∞=−0d )1(n x nnx x ∑∞=++−011)1(n n n x n , ]1,1(−∈x . (4) 211)(arctan x x +=′=, ∑∞=−∈−02)1,1(,)1(n nn x x 于是 x arctan ==∫∑∞=−x n nnx x 02d )1(()∑∞=++−012121n n nx n , ]1,1[−∈x .(5) 211)cot arc (x x +−=′=∑, ∞=+−∈−021)1,1(,)1(n n n x x 于是 x cot arc ==∫∑∞=+−x n n n x x 021d )1(()∑∞=+++−0121121n n n x n , ]1,1[−∈x .例1 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域 . 解 因为 011lim )!1(!lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n , 所以所给幂级数的收敛半径 +∞=R 收敛域为（－∞，＋∞）.例2 求幂级数∑∞=1n nnx 的收敛半径与收敛域. 解 因为 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n ,所以所给幂级数的收敛半径1=R .当1=x 时，级数为调和级数∑∞=01n n发散. 当1−=x 时，级数为交错级数∑∞=−0)1(n nn，收敛.所以该级数的收敛域为；)1,1[−例3 求幂级数的收敛半径.∑∞=1n nnx n 解 因为+∞=++=+=∞→+∞→+∞→)1()11(lim )1(lim lim 11n nn n a a n n n n n n n n ， 所以所给幂级数的收敛半径0=R .例4 求幂级数的收敛半径.∑∞=−0122n n nx解 所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，因此不能直接应用定理1，这时可以根据比值法求其收敛半径.2212121122lim 22lim lim x x xx u u n n n n n n n n n ===→∞−++→∞+→∞ , 当122<x ，即 22<x 时，所给级数绝对收敛； 当,122>x 即 22>x 时，所给级数发散. 因此所给幂级数的收敛半径 R = 22. 二、 幂级数的性质性质 1 幂级数的和函数在收敛区间内连续.即若，则)(0x f x a nn n =∑∞=)(x f 在收敛区间内连续.若,)(0x f x a nn n =∑∞=),(11R R x −∈)(0x g xb nn n=∑∞=,),(22R R x −∈记，则在),min(21R R R =),(R R −内有如下运算法则：加法运算∑∑∑∞=∞=∞=±=±=±0)()()(n n n nn n nn nn x g x f x b a x b x a乘法运算⎞⎜⎛∑∑∞=∞0n n n n n x b x a ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎠⎝=0n+++++++++++=−n n n n x b a b a b a x b a b a b a x b a b a b a )()()(01102021120011000)()(x g x f ⋅=设，收敛半径为 ∑∞==0)(n nn x S x a R ，则),(R R −内有如下运算法则： 运算∞=∞=−=′==′=微分∑∞∑∑′⎟⎠0010)()(n n n n n n n x S x na x a , 且收敛半径仍为 ⎞⎛n ⎜⎝n x a R . 积分运算dx x s x n a dx x dx x a xn ∫∑∑∞∞⎟⎞⎜⎛x n n n n n x nn a ∫∑∫=∞=+=+==⎠001010)(1且收敛半径仍为 n =⎝0R .例 5 求级数)1(n nn x ，，∑∞=−0∑∞=02n n x ∑∞=++011n n n x ，∑∞=++−011)1(n n n n x ，∑∞=++01212n n n x ，∑nx . ∞=−01n n 的和函数解 对于级数，∑∞=+++++=021n nnx x x x1<x 时，看成公比为 x 当的收敛等比级数，则得 ∑∞−==11nxx ，)1,1(−∈x 0n , 因为收敛区间是关于原点对称的区间,所以–x 也在收敛区间内,用-x 代换显然 级数中的x ,∑∞=+1=−01)1(n nnx x ,)1,1(−∈x , 上面两个级数相加可得∑=222nx，)1,1(∞=−012n x−∈x ，即 ∑∞=−=2211n nxx，)1,1(−∈x ,利用解析运算可得∑=+∞−=+01,11ln 11)1,1(−∈x n n x x n , ∑∞++=+−=1)1ln(11)1(n nx x n , ]1,1(−∈x ,n ∑∞=+−+=+01211ln 21121n n x x x n , )1,1(−∈x , ，∑∞=−=01)(n n nxx )1,1(−∈x 设 S ,两端积分∫∑∑∞=∞=−−=−==xn n nnxx x dx x S 011111)(，)1,1(−∈x , 解 设 ∑=++−=012121)1()(n n nx n x S ∞, 两端求导∑∞=−−==021)1(1)(n n x nxx S ，)1,1(−∈x . 两端求导得∑∑∞=∞=+=−=−022211)()1(n n nnnxx x ，=′)(x S )1,1(−∈x ,两端积分得∫=+=xx dx xx s 02arctan 11)( ， 即 ∑∞+=+−=12arctan 121)1(n nx x n ，)1,1(−∈x 0n ,当1−=x 时,∑∞=++−−012121)1(n n n 收敛; 当1=x 时,∑∞=++−012121)1(n n n 收敛,所以∑∞+=+−=12arctan 121)1(n nx x n ,]1,1[−∈x 0n . 7．求幂级数∑∞=n n nx 的收敛域，并求其和函数解 由111lim ||lim ||1n n n n a n a n+→∞→∞+==得到收敛半径为1，当时级数成为1)n n n ∞=∑，发散；当时级数成为∞=所以收敛域为（-1，1）。

函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。

1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。

2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。

三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。

逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。

逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。

高考数学一轮总复习数列与级数的求和公式推导与应用高考数学一轮总复习：数列与级数的求和公式推导与应用数列与级数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的考点之一。

在高考中，理解、掌握数列与级数的求和公式的推导与应用是解题的关键。

本文将重点介绍数列与级数的求和公式的推导方法，并结合实际应用问题进行解析。

一、数列的求和公式推导1.1 等差数列的求和公式对于等差数列{an}，其中a1为首项，d为公差，n为项数，其前n项和Sn可以用下式表示：Sn = (a1 + an) * n / 2推导过程如下：首先，将数列{an}逆序相加并累加两式，得到：2Sn = (a1 + an) + (a2 + a{n-1}) + (a3 + a{n-2}) + ... + (an + a1)由于等差数列的关系式为an = a1 + (n-1)d，则上式可以简化为：2Sn = (a1 + a1 + (n-1)d) + (a1 + d + a1 + (n-2)d) + (a1 + 2d + a1 + (n-3)d) + ... + (a1 + a1 + (n-1)d)化简后得：2Sn = n(a1 + an)最终得到等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 21.2 等比数列的求和公式对于等比数列{an}，其中a1为首项，q为公比，n为项数，其前n 项和Sn可以用下式表示：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)推导过程如下：首先，将Sn与qSn相减得：Sn - qSn = a1 * (1 - q^n) - a1 * q * (1 - q^(n-1))化简后得：Sn(1 - q) = a1(1 - q^n)由于等比数列的关系式为an = a1 * q^(n-1)，则上式可以简化为：Sn(1 - q) = an最终得到等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)二、数列求和公式的应用2.1 应用一：计算等差数列的前n项和假设某等差数列的首项为a1，公差为d，共有n项。

第四章：曲线积分与曲面积分习题一、填空题1、设L 为单位圆周x 2+y 2=1在第一象限的部分，则曲线积分 xyds L = 12 。

3、已知P x,y =x 2+y 2,要使得 Pdx +Qdy L 与积分路径无关，则Q(x,y)=2xy 。

4、设P x,y 与Q(x,y)在平面单连通区域G 内具有连续一阶偏导数，则P x,y dx +Q(x,y)dy 在G 内为某个函数的全微分的充要条件是∂P∂y =∂Q ∂x。

6、设L:x 2+y 2=R 2，方向为逆时针方向，利用格林公式计算 （−x 2y ）dx L +xy 2dy = 12πR 4。

7、平面单连通区域G 内曲线积分 Pdx +Qdy L 与路径无关的一个充要条件是∂P ∂y =∂Q ∂x。

8、设L 是抛物线y =x 2从(0,0)到(2,4)的一段弧，则对坐标的曲面积 (x 2− y 2L )dx = −5615 。

9、设其中曲线C 为x 2+y 2=1沿正向，则曲线积分 xdy −ydx x +y C=2π。

10、设向量场F x,y,z =xy 2i +x 2yj −x 2+y 2k ,则散度div F = x 2+y 2。

二、计算题;11、计算曲线积分 xds L ，其中L 为 y =x 2−1上介于x=0与x=1之间的一段弧。

解： xds L = x 1+4x 210dx =5 5−112。

12、 （x +y +z ）ds Γ ，其中Γ:x =2cost,y =2sint ,z =t ,t ∈[0,π] 。

解： （x +y +z ）ds Γ= 2cost +2sint +t 5dt =52π0(8+π2)13、已知Σ是z =x 2+y 2上z ≤1的部分曲面，计算 1+4z ΣdS 。

解： 1+4z ΣdS = (1+4x 2+4y 2)Ddxdy =3π 14、证明：沿任何分段光滑的闭曲线L ，有 cosy +ycosx L )dx + sinx −xsiny dy =0 证明：因为P(x,y)=cosy +ycosx , Q(x,y)= sinx −xsiny , 所以有∂P∂y =∂Q ∂x，故得证。

一、填空题1、 级数∑∞=1n n u收敛的必要条件是2、 ∑∞=11n p n，当p 满足条件 时收敛 3、 若级数∑∞=--11)1(n p n n 发散，则p 4、 n n n x a∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞=1在3<x 时 5、 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n n s n ，则该级数为____________ 6、 幂级数n n n x n ∑∞=12的收敛域为7、若函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为8、幂级数()nn nx a 11-∑∞=在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处 9、级数∑∞=12n n n ＝二、选择题1、若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p2、幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-3、幂级数n n x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）. A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 4、若几何级数∑∞=0n n ar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r5、幂级数()n n xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-6、级数∑∞=14sin n n na 是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ） A 、2 B 、21 C 、1 D 、3 8、下列级数收敛的是 ． （Ａ）∑∞=-+-111)1(n n n n （Ｂ）∑∞=123n n n （Ｃ）∑∞=--11)1(n n n （Ｄ）∑∞=11n n 9、正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 满足关系式n n v u ≤，则 ．（Ａ）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 （Ｂ）若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛（Ｃ）若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散 （Ｄ）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散10、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n n u （ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ） （A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。