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柱坐标系和球坐标系(教师)

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7 柱坐标系和球坐标系
主备： 审核：
学习目标：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.
学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.
学习难点：利用它们进行简单的数学应用.
学习过程：
一、课前准备
阅读教材1618PP的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.
并思考下面的问题：
空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置
的方法？
答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐
标，柱坐标系，球坐标系.
二、新课导学：
（一）新知：
1.柱坐标系：

（1）设P是空间任意一点，在xOy平面的

射影为Q，用(,)(0,02)表示点
Q在平面xOy
上的极坐标，点P的位置可用有

序数组(,,)z表示. 把建立上述对应关系的
坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z叫点
P
的柱坐标，记作(,,)z.其中0，
02
，zR.

（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建
立起来的.

（3）空间点P的直角坐标(,,)xyz与柱坐标(,,)z之间的变换公式为

cossinxyzz





.

2.球坐标系：
（1）设P是空间任意一点，连接OP，

记||OPr，OP与Oz轴正向所夹的角为. 设

P
在xOy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向
旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(,,)r表示.空
间的点与有序数组(,,)r之间建立了一种对应关系.
我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组
(,,)r叫做点P的球坐标，其中0,0,02r
.

（2）点P球坐标(,,)r与直角坐标(,,)xyz的互化公式：

①2222xyzr；②sincossinsincosxryrzr.
（二）典型例题
【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正
方体的顶点.
【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分

别为(1,,0)2A，1(2,,0)4A，(2,,)24B，

1
(3,,)4B


，其中tan2，为锐角，

(1,,)22C，1(2,,)42C

，(0,0,0)D，1(1,0,0)D.

动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标.
【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：

(1,0,0)A
，1(1,0,1)A，(2,,0)4B，1(2,,1)4B，

(1,,0)2C， 1(1,,1)2C

，(0,0,0)D，1(0,0,1)D.

【例2】已知点1P的柱坐标是)1,6,2(1P,2P的柱坐标是)3,32,4(2P,求21PP.
【解析】点1P的柱坐标是)1,6,2(1P转化为直角坐标为
,1,16sin2,36cos2zyx

，即)1,1,3(1P，

点2P的柱坐标是)3,32,4(2P转化为直角坐标为
,3,3232sin4,232cos4zyx

，即)3,32,2(2P，

所以，2221232123136PP.
动动手：在球坐标系中，求)6,3,3(P与)32,3,3(Q两点间的距离.

z
y
x

D
1
C

1

B1A
1

DC

B
A
【解析】将球坐标)6,3,3(P化为直角坐标：
93sincos364x，333sinsin364y，3
3cos32z
，

即P的直角坐标为9333(,,)442.
将球坐标2(3,,)33Q化为直角坐标：
2333sincos334x

，293sinsin334y，33cos32z，

即P的直角坐标为3393(,,)442.
所以22339933||()()4444PQ362.
三、总结提升：
1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标.
2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题.
四、反馈练习：

1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(A，则点A关于原点对称的点的坐标)1,1,1( ，点
A

关于z轴对称的点的坐标)1,1,1(.

2.在以O为极点的柱坐标系中，若点1,6,4Q，则||OQ17，面xOz与半平面zOQ
所成的角是6 .
3. 点P的球坐标是)2,4,2(，则它的直角坐标是)1,1,0(.
4. （1）球坐标满足方程3r的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
（2）柱坐标满足方程2的点所构成的图形是什么?
【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为
222
9xyz

.

(2) 图形是以z为轴，横截面为圆（圆的半径为2）的圆柱面.
5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、1、6，建立适当的球坐标系，写出各个
顶点的坐标.
【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：

(7,,0)A

，1(1,,0)2A，(22,,)64B，1(2,,)24B，

(7,,)2C， 1(1,,)22C

，(6,0,0)D，1(0,0,1)D.

其中tan2，为锐角.
五、学后反思：

z
y
x
D1C

1

B
1
A

1

D
C

B
A

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柱坐标和球坐标散度公式的区别

柱坐标和球坐标散度公式的区别

柱坐标和球坐标散度公式的区别在数学和物理学中，我们经常会遇到柱坐标和球坐标这两种坐标系。

这两种坐标系在描述空间中的点和向量时具有独特的优势，但它们也有不同的特点和应用。

本文将重点探讨柱坐标和球坐标下的散度公式，并比较它们之间的区别。

柱坐标系下的散度公式首先，我们来看柱坐标系下的散度公式。

柱坐标系是一个二维极坐标系，它由径向和角度组成。

在柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, z)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，z 是与 xy 平面的垂直距离。

在柱坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fz)，它分别表示在 r、θ 和 z方向上的分量。

该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r) ∂(rFr)/∂r + (1/r) ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。

球坐标系下的散度公式接下来，我们来看球坐标系下的散度公式。

球坐标系是一个三维极坐标系，它由径向、极角和方位角组成。

在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, φ)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，φ 是与正 z 轴的夹角。

在球坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fφ)，它分别表示在 r、θ 和φ 方向上的分量。

该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r2) ∂(r2Fr)/∂r + (1/(r sinθ)) ∂(sinθFθ)/∂θ + (1/(r sinθ)) ∂Fφ/∂φ其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。

区别与应用从上述公式可以看出，柱坐标系和球坐标系下的散度公式有明显的区别。

在柱坐标系下，散度公式中只有前两项与 r 和θ 有关，而与 z 无关。

这意味着在柱坐标系下，矢量场的变化主要由径向和角度的变化引起。

而在球坐标系下，散度公式包含了三项，分别与 r、θ 和φ 相关。

数学课件：1.5 柱坐标系和球坐标系

数学课件：1.5 柱坐标系和球坐标系

������ = ������cos������, 用公式 ������ = ������sin������,
������ = ������.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
正解∵r= ������2 + ������2 + ������2 = 12 + 12 + ( 2)2 = 2,
z=rcos φ= 2, ∴ cos ������ = 22.
(2)(π,π,π).
解:设点的直角坐标为(x,y,z).
(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2), ������ = 2cos0 = 2,
12
2.球坐标系 (1)定义:设空间中一点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 在 xOy 坐标
面上的投影点为 M0,连接 OM 和 OM0.如图所示,设 z 轴的正向与向量
������������的夹角为������, ������轴的正向与������������0的夹角为������, ������点到原点������的距离 为������, 则由三个数������, ������, ������构成的有序数组 ������, ������, ������ 称为空间中点������的球
A.
2
2,
π 6
,
3π 4
C.
2
2,
π 3
,
π 4
B.
2
2,
π 6
,
π 4
D.
2
2,
π 3
,
3π 4
解析:设 M 的球坐标为(r,θ,φ),
3 = ������sin������cos������, 则 1 = ������sin������sin������,
高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系课件北师大选修4_4 (1)

高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系课件北师大选修4_4 (1)

特别地,r=常数,表示的是以z轴为轴的圆柱面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面; z=常数,表示的是与xOy平面平行的平面. 显然,点M的直角坐标与柱坐标的关系为 ������ = ������cos������,
������ = ������sin������, ������ = ������.
在柱坐标(ρ,θ,z)中,ρ=|OA|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2, ������ =∠
POA,其中 x,y,z 的值与直角坐标中的相同.在球坐标(r,φ,θ) 中,r=|OM|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2 + ������2, ������ =∠ROM,θ=∠ POA,其中 θ 与柱坐标中的 θ 相同,x,y,z 的值与直角坐标中的相同.
-1 = ������cos������,
������ = ������
【例1】 将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直
角坐标.
(1)M(-1, 3, 2); (2)������ 2,π4 ,1 .
分析:利用相关公式代入进行转化求值.
������ = ������cos������, 解:(1)设点 M 的柱坐标为(r,θ,z),则有 ������ = ������sin������,
特别地,r=常数,表示的是以原点为球心的球面; φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面. 点M的直角坐标与球坐标的关系为
������ = |������������|cos������ = ������sin������cos������,
柱坐标系与球坐标系简介PPT课件

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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的 球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ<2π.
2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式
xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z，
求出ρ，θ即可．
x＝ρcos θ， (2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式 y＝ρsin θ，
z＝z，
x，y，z即可．
求出
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教材整理 1 柱坐标系
阅读教材 P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．
一般地，如图 1-4-1，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点．它
在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平
面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z
阶
阶
段
段
一
三
四 柱坐标系与球坐标系简介
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单 问题中的点的位置．(重点)
2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解 题．(难点、易错点)
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