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2014-2015年四川省眉山市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

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2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．13985．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：．12．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是个．13．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是万元．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选：C．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大【解答】解：设其他5个同学的成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5；则本次测试的平均分是=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75，方差是s2=[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=102=100；修改数据后，测试成绩的平均分是=（75+75+x1+x2+x3+x4+x5）=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75=，方差为s′2=[（75﹣75）2+（75﹣75）2++…+]=[+…+]＜[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=100=s2；∴s′＜s．故选：A．4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．1398【解答】解：∵f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x=（（（（15x﹣24）x+33）x﹣42）x+51）x，∴v0=15，v1=15×2﹣24=6，v2=6×2+33=45，v3=45×2﹣42=48，v4=48×2+51=147，v5=147×2=294．故选：B．5．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④【解答】解：①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则如果两点在平面α同侧，则l∥α；如果两点在平面α异侧，则l与α相交，故错误；②当平面α与平面β相交时，α内在平面β的两侧存在三点到平面β的距离相等，故错误；③正方体从同一顶点出发的三条直线，即可判断空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，正确；④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交，故正确，故选：D．6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．【解答】解：如图所示，四面体V﹣ABC中，面VAB，面VAC，面VBC与面ABC都是直角三角形，∴从这个四面体的四个面中任意取出一个面，这个面恰好为直角三角形的概率是=1．故选：A．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵程序运行后输出“1+2+…+100”，∴每次累加的值都增大1，∴用i来进行计数增大，则i=i+1，又S表示的是依次累加的值，∴S=S+i，模拟运算如下：S=0，i=1，此时i=1≤100，S=0+1=1，i=1+1=2，此时i=2≤100，S=1+2，i=2+1=3，此时i=3≤100，依次运行，…，S=1+2+…+99，i=99+1=100，此时i=100≤100，S=1+2+…+100，i=100+1=101，此时i=101＞100，不符合条件，运行结束，输出S=1+2+ (100)所以i=i+1应在③处．故选：C．8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：A={（x，y）||x|≤1，|y≤|1}对应的区域为矩正方形，面积S=2×2=4，区域B对应的区域为阴影部分，对应的面积S=4﹣π，如图，则若向区域A内随机取一点P，由几何概型公式得，点P不落入区域A的概率P=；故选：B．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由kx﹣y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0），则直线过定点A（﹣1，0），当x∈[0，2）时，f（x）=，即（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），对应的根据为圆心在（1，0）的上半圆，∵f（x）满足f（x+2）=f（x），∴当x∈[2，4）时，（x﹣3）2+y2=1，（y≥0），此时圆心为（3，0），当直线和圆（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有2个交点，此时圆心（1，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．当线和圆（x﹣3）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有4个交点，此时圆心（3，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．若若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则直线在AB和AC之间，则＜k＜，故选：A．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【解答】解：如图，将直线改l：ax+by=1写为ax+by﹣1=0，直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，得，画出可行域如图，化z=2a+b为b=﹣2a+z，由图可知，当直线b=﹣2a+z过（0，1）时直线在b轴上的截距最小，为z=2×0+1=1．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1≤012．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是5个．【解答】解：由分层抽样可得应当抽取的女生人数是，故答案为：513．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：由题意可得另一个交点B是点A（﹣2，2）关于直线x﹣y+1=0的对称点，设点B（m，n），则由，求得，故点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是11.84万元．【解答】解：∵由表格可知=4，=5，∴这组数据的样本中心点是（4，5），根据样本中心点在线性回归直线上，∴5=a+1.14×4，∴a=0.44，∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.14x+0.44，∵x=10，∴y=1.14×10+0.44=11.84，故答案为：11.84．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有①②③④（写出所有正确命题的序号）【解答】解：对于①，如图，四面体ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，取CD中点G，连结AG，BG，在等边三角形ACD和等边三角形BCD中，可求得AG=BG=，∴要构成四面体ABCD，A，B不能重合，即x＞0，点A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2．∴①正确；对于②，因为异面直线所成角的最大值是90°，当x=2时几何体是正四面体，异面直线AB⊥CD，异面直线AB与CD成角最大为90°．∴②正确．对于③，当侧面ABC与底面BCD垂直时，AB与底面BDC所成角取得最大值，三角形ABC是正三角形，所以最大值为60°，∴③正确．对于④，当侧面ABC与底面BCD垂直时，A到底面BCD的距离最大，底面BCD 面积是定值，此时体积最大，如图，作AO⊥BC于O，作OE⊥BD于E，连结AE，则二面角A﹣CD﹣B平面角为∠AEO，此时O是BC的中点，AO=2OE，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2，∴④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由图表得到15人中候车时间少于12分钟的人数为9，设45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为n，由，得n=27．则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27人；（Ⅱ）记第四组的3人为A、B、C，第五组的2个人为a、b，则从这5人中随机抽取2人的不同结果（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，则抽到的2人恰好来自不同组的概率P=．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．【解答】已知：a∩b=P，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴，，又a∩b=P，a⊂α，b⊂α，∴，∴α∥β．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）（I）证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO，因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EO为△A1BC的中位线，所以EO∥A1B，…（2分）又∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，所以A1B∥平面AEC1．…（4分）（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系所以A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，﹣1，﹣2），因为B1M⊥C1E，所以=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）（Ⅲ）解：因为=（1，1，0），=（0，2，2），设平面AEC1的法向量为=（x，y，z），则有，得，令y=﹣1，则x=1，z=1，所以取=（1，﹣1，1），…（10分）因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），…（11分）所以cos＜＞==﹣，…（13分）平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．…（14分）21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【解答】（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，∴，整理得①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根∴②由，消元可得③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1，y2是方程③的两个实根∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

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【高二数学期末试题汇聚】四川省资阳市2014-2015学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题

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y'x'O'(C')B'A'四川省资阳市2014-2015学年高二上学期学期期末质量检测数学（理）试题（含答案）本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至8页. 全卷共150分，考试时间为120分钟.第一部分（选择题共50分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“若1x ，则0x ”的否命题是（A ）若1x ，则0x （B ）若1x ，则0x （C ）若1x ，则0x （D ）若1x ，则0x 2.水平放置的ABC 由“斜二测画法”画得的直观图如图所示，已知''3,''2A C B C ，则AB 边的实际长度为（A ）5（B ）5（C ）52（D ）23.已知向量(1,3,2),(2,1,1)a b ，则|2|a b （A ）50（B ）14（C ）52（D ）144. 某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（A ）30π（B ）36π（C ）51π（D ）33π5.设l m n 、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若,,,,l l m n m n ∥∥，则l n ∥；②若,，则∥；③若,m n 是两条异面直线，,,,l m l n n m 且∥，则l ；④若,,,,l m n l m l n ，则；其中正确命题的序号是（A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④6.若命题“0R x ，使得200230x mx m ”为假命题，则实数m 的取值范围是俯视图侧（左）视图正（主）视图65533556。

四川省眉山市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题

四川省眉山市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）2．用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A．x3=y3B．x3＞y3C．x3=y3或x3＞y3D．x3=y3或x3＜y3 3．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．+p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p4．（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A．64 B．32 C．24 D．165．有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．B．C．D．6．若离散型随机变量ξ的分布列为：则随机变量ξ的期望为（）ξ 0 1 2 3P 0.15 0.4 0.35 XA．1.4 B．0.15 C．1.5 D．0.147．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．∃x0∈R，f（x0）=0D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=08．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．169．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2﹣|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人11．设双曲线﹣=1（0＜a＜b）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）A．B．或2 C．2或D．212．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上13．复数z=的共轭复数为．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．15．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值X围是．16．方程x|x|﹣y|y|=﹣1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点；③函数y=f（x）的值域是R；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．（1）求取出的4本书都是数学书的概率．（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率．18．已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，某某数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，某某数m的取值X围．19．已知平面内一动点P（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△OAB面积的最小值．20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）某某省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算和复数的几何意义进行化简即可．解答：解：===1﹣3i，对应的坐标为（1，﹣3），故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．2．用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A．x3=y3B．x3＞y3C．x3=y3或x3＞y3D．x3=y3或x3＜y3考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＜y3”的否定为：“x3≥y3”，由此得出结论．解答：解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＜y3”的否定为：“x3≥y3”，故选：C．点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．3．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．+p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题是一个基础题，题目中所处的字母p可以变式为实数．4．（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A．64 B．32 C．24 D．16考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为有理数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．解答：解：（1+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：先求出所有的同学都没有通过的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：所有的同学都没有通过的概率为=，故至少有一位同学能通过测试的概率为 1﹣=故选：D．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．6．若离散型随机变量ξ的分布列为：则随机变量ξ的期望为（）ξ 0 1 2 3P 0.15 0.4 0.35 XA．1.4 B．0.15 C．1. 5 D．0.14考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：利用随机变量的期望公式、随机变量的分布列的概率和为1，即可得出结论．解答：解：由题意，x=1﹣0.15﹣0.4﹣0.35=0.1数学期望Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4，故选：A．点评：本题考查随机变量的期望公式及分布列的概率和为1，是一道基础题．7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．∃x0∈R，f（x0）=0D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：对于A，采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；对于B：因为函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x3的图象平移得到，故其函数y=f（x）的图象是中心对称图形；对于C：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．解答：解：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，A：若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故错；B：∵f（﹣﹣x）+f（x）=（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c =﹣+2c，f（﹣）=（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c=﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）=0，正确；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．故答案为：A点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．8．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．解答：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．9．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2﹣|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．10．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式C x2C8﹣x1A33=90，解出x即可．解答：解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案∴C x2C8﹣x1A33=90，∴x（x﹣1）（8﹣x）=30=2×3×5，∴x=3故选B．点评：本题考查排列组合数的实际应用，是一个综合题，解题时思考方法同一般的排列组合一样，根据题意列出等式，得到结果．11．设双曲线﹣=1（0＜a＜b）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）A．B．或2 C．2或D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为c，及c2=a2+b2，求出离心率的平方e2，进而求出离心率．解答：解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：，即 bx+ay ﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为c，∴=c．又c2=a2+b2，∴3e4﹣16e2+16=0，∴e2=4，或e2=．∵a＞b＞0，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=，故离心率为e=，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t 的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．点评：本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上13．复数z=的共轭复数为﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算法则进行化简即可．解答：解：z==+i，则z=的共轭复数为=﹣i，故答案为：﹣i点评：本题主要考查复数的共轭复数的计算，比较基础．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．15．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值X围是[1，+∞）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：依题意知，f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立⇔a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）max，于是可得a的取值X围．解答：解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值X围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数的几何意义与二次函数的对称性、单调性与最值，考查转化思想．16．方程x|x|﹣y|y|=﹣1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点；③函数y=f（x）的值域是R；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是②③④．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性．解答：解：（1）x≥0，y≥0，x2﹣y2=﹣1即y2﹣x2=1，此为a=b=1，实轴为y轴的双曲线在第1象限的部分，增函数；（2）x≥0，y＜0，x2+y2=﹣1不存在；（3）x＜0，y≥0，﹣x2﹣y2=﹣1，x2+y2=1，此为圆心在原点，半径为1的圆在第2象限的部分，增函数；（4）x＜0，y＜0，﹣x2+y2=﹣1，x2﹣y2=1，此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第3象限的部分，增函数；根据上述情况作出相应的图象，如图所示，故：①f（x）在R上单调递减，错误；②函数f（x）的图象与函数y=x+在第二象限相切，在第一，三象限延长后各有一个交点，即函数f（x）的图象与函数y=x+共有三个交点，即函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点，正确；③函数y=f（x）的值域是R，正确；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程﹣x|﹣x|+y|﹣y|=﹣1，即方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线，正确．即正确的命题序号是：②③④，故答案为：②③④点评：本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．（1）求取出的4本书都是数学书的概率．（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，则所求的事件的概率等于P（A）P（B）=×，运算求得结果．（2）利用互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于×+×，运算求得结果．解答：解：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”P1，则P1=P（AB）=P（A）P（B）=×=．（2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学”的事件为C，“从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学”的事件为D，由于C，D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2P2=P（C+D）=P（C）+P（D）=×+×=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．18．已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，某某数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，某某数m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（2）不等式ln（x+1）+≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1﹣（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1﹣（x+1）ln（x+1）（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1﹣m，∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，∴1﹣m=﹣4，∴m=5；（2）依题意不等式ln（x+1）+≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1﹣（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1﹣（x+1）ln（x+1）（x≥0），则g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），∴x≥0时，g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=1，∴m≥1即实数m的取值X围是[1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，注意运用分离参数和函数的单调性是解题的关键．19．已知平面内一动点P（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△OAB面积的最小值．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=﹣1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；（2）过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理，结合△OAB面积=|y1﹣y2|，即可求△OAB面积的最小值．解答：解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=﹣1的距离，∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x≥0）；∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）；（2）设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴△OAB面积=|y1﹣y2|=，∴m=0时，△OAB面积的最小值为2．点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题．20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可．解答：解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=．…∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=．…（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列为X 0 10 20 30p…∴X的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=．…点评：此题考查了独立事件，条件概率的概率公式，随机变量的分布列及其期望，重点考查了学生对于题意的正确理解及准确的计算能力．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的X围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．解答：解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x2+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出F（x）=lnx+的导数，导数大于0，即可求函数的增区间；（2）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为，解方程求得a的值；（3）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小．解答：（1）解：F（x）=lnx+，则F′（x）=，∵a＜0，x＞0，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）的单调增区间是（0，+∞）；（2）解：在[1，e]上，分如下情况讨论：1．当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；2．当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；3．当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1=，得a=．4．当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；5．当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f（e）=1+＞2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为．（3）证明：当a=0时，f（x）=lnx∴f′（x）=∴f'（x0）=又k==不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，即比较与的大小，又∵x2＞x1，∴即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣（x≥1），则h′（x）=≥0∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又＞1，∴h（）＞h（1）=0，∴ln＞，即k＞f'（x0）．点评：此题考查了利用导函数求函数的单调的增区间，还考查了构造函数并利用构造的函数的单调性把问题转化为恒成立的问题，重点考查了学生的转化的思想及构造的函数与思想．。

四川省眉山市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

四川省眉山市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年四川省眉山市高二（下)期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为(）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i2．双曲线25x2﹣9y2=225的实轴长，虚轴长、离心率分别是（）A．10，6，B．6，10，C．10，6，D．6，10，3．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6。

3，则表中a的值为（）X 4 a 9P 0。

5 0。

1 bA．5 B．6 C．7 D．84．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下,第2次取到的是黑球的概率为（）A．B．C．D．5．设点P是曲线y=x3﹣2x2+（4﹣）x上任意一点，P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪［π，π）D．[0，）∪［π，π)6．已知服从正态分布N（μ，σ2)的随机变量在区间（μ﹣σ,μ+σ)，（μ﹣2σ，μ+2σ）和(μ﹣3σ,μ+3σ）内取值的概率分别为68。

3%，95.4%和99.7%．某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布X～N(90，225）,则此次成绩在120分以上的学生大约有(）人．A．46 B．23 C．954 D．3177．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1)2=1上的一个动点，N(1，0）是一个定点，则｜PQ｜+｜PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +18．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12 B．18 C．24 D．489．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．10．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得3分,答错得﹣3分；选乙题答对得1分，答错得﹣1分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A．24 B．36 C．40 D．4411．定义在R上的函数f（x）满足：f′(x）+f（x）﹣2＞0，f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞2e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（3,+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪(1，+∞） D．（3，+∞）12．如图，已知椭圆=1（a＞b＞0)，过原点的直线与椭圆交于A、B两点，点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，],则椭圆离心率e的取值范围为（）A．［﹣1，］B．[﹣1，］C．［2﹣,]D．[2﹣，］二、填空题（每题5分）13．设a为双曲线的实半轴长，则（a﹣)6展开式中的常数项等于．14．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时,甲射击了两次的概率是．15．如果P1，P2,…，P n是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2,…,x n,F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10,则|P1F|+|P2F|+…+｜P n F|=．16．对于三次函数f（x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0)，定义f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0,f(x0））为函数y=f（x）的图象的“拐点”，可以证明，任何三次函数的图象都有“拐点"，任何三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点（﹣,f（﹣)）对称；②存在三次函数y=f（x）,f（x）=0有实数解x0，则称点（x0,f（x0））为函数y=f（x）的图象的对称中心；③存在三次函数的图象不止一个对称中心；④若函数g(x）=x3﹣x2﹣，则g（）+g(）+g（）+…+g（）=﹣1008其中正确命题的序号为(写出所有正确命题的序号）三、解答题17．已知f n（x）=（1+x）n（1)若f2016(x）=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，求a1+a2+…+a2015+a2016的值；(2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x）,求g(x）中含x6项的系数．18．设函数f(x）=x3﹣x2+2x+a（1)当a=﹣时，求函数y=f（x）图象上在点(3，f（3））处的切线方程;（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取值范围．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M（2，y0）到焦点F的距离等于3．(1)求抛物线C的方程；(2）若过点D（3，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点,求△ABF面积的最小值．20．2016年4月15日晚《中国诗词大会》第一季在中央电视台圆满落幕，冠军由来自华东政法大学的殷怡航获得，为了丰富学生的业余生活,某学校以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级背诵某首诗的正确率为,背诵错误率为，现记“该班完成n首背诵后总得分”为S n(1）求S6=20的概率；(2）记ξ=｜S5|，求ξ的分布列及数学期望．21．已知椭圆C经过点（﹣1，）和（2，），求(1)椭圆C的标准方程；（2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若经过定点请求出定点并说明理由．22．已知函数f（x)=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3﹣3a2x（a＞0）（1）求f(x）的最大值；(2）若对∀x1∈(0，+∞)，总存在x2∈[1，2]使得f(x1）≤g（x2)成立，求a的取值范围；（3）利用(1)的结论，证明不等式（）n+(）n+…+（）n＜．2015-2016学年四川省眉山市高二（下)期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．复数z=+i3(i为虚数单位)的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=+i3=﹣i=﹣（i﹣1)﹣i=1﹣2i，其共轭复数为1+2i,故选:A．2．双曲线25x2﹣9y2=225的实轴长，虚轴长、离心率分别是（）A．10,6，B．6,10，C．10，6,D．6,10，【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b,c，进而得到实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e=．【解答】解:双曲线25x2﹣9y2=225即为：﹣=1，可得a=3,b=5，c==，则实轴长为2a=6，虚轴长为2b=10,离心率e==．故选：B．3．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6。

四川眉山高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案

四川眉山高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案

眉山市高中2021届第三学期期末教学质量检测(理工类)数学参考答案及评分意见 2020.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．2 15．5 16．(]3,1三、解答题 （本题共6小题，共70分）17. 解：（1）由题意可知14523=--==AB ED k k ，又)11(，F 为AB 的中点 ∴ AB 所在直线的方程为)1(11-⋅=-x y 即0=-y x …………3分同理CA 所在直线的方程为02=-y x∴联立方程得）（0,0A ……………5分（2）由(1)可得)2,2(B , )48(，C ……………6分设ABC ∆的外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 代入C B A ,,的坐标可得0442206416840F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解方程组可得16120D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩圆的方程为0121622=+-+y x y x ……………10分18. 解：（1）AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上的动点∴BC AC ⊥ ……………2分又直线VC 垂直于圆O 所在平面∴VC AC ⊥，又C VC BC =∴VBC AC 面⊥ ……………4分又D ,E 分别是VA ，VC 的中点，∴AC DE //∴VBC DE 面⊥ ……………6分（2）因为VAB ∆的边长为2VC BC AC === ……………8分11113323V DEB D VEB VEB V V S DE VE BC DE --∆∴==== ……………………………12分19. 解：（1）设动点M 的坐标为),(y x ，P 的坐标为),(00y x 由题意可知轴x QP ⊥，且=),0(y =，），（00y =，即),0(2200y y =），（,即022y y = ∴y y 420=，x x =0又P ),(00y x 在曲线122=+y x 上运动∴14222=+）（y x 即1822=+y x ………………6分 （2）设直线04=--y x 的平行直线为0=+-b y x ，代入⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+01822b y x y x 得082922=-++b bx x 当028832)8(364222=+-=--=b b b ∆，92=⇒b 即3±=b∴直线03=+-y x 到04=--y x的距离最大，2d ==此时MAB ∆的面积最大，27227421=⨯⨯=MAB S ∆ ……………12分 20.（1）证明：在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ，即BD 2＝4＋16－16×21＝12，所以BD ＝2，所以BD 2＋AB 2＝AD 2， ………………………2分 所以△ABD 和△EBD 均为直角三角形，所以ED ⊥DB . ………………………3分 又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ⊂平面EBD ， 所以ED ⊥平面ABD . ………………………4分 又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥DE . ………………………5分 （2）由(1)知∠ABD ＝∠CDB ＝90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则D (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，2)， A (2，－2，0)，F (，0，1)，所以DA ＝(2，－2，0)，DE ＝(0，0，2)，AF ＝(－，2，1)． ………………8分 设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有0,0,n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，则y. 又z ＝0，所以(1,0)n =． …………………10分 设直线AF 与平面ADE所成的角为α， 则有sin cos ,82n AF a n AF n AF⋅=<>===⨯. …………………12分21. 解：（1）证明：在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，则点N 为PC 的中点．连接MN .在△APC 中，点M 为P A 的中点，点N 为PC 的中 点，所以AC ∥MN .又MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，所以AC ∥平面MDE . ………………3分 （2）由∠ADC ＝90°，得AD ⊥CD ，由平面PDCE ⊥平面ABCD ，且平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，得AD ⊥平面PDCE ， 所以AD ⊥PD .在矩形PDCE 中，PD ⊥CD ，则DA ，DC, DP 两两垂直．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，所以AP →＝(－1，0，2)，CP →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，0)． …………4分 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CP →·n ＝－2y ＋2z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，2)．………5分设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|AP →·n ||AP →||n |＝36.所以直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为36. ……………7分（3）假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)．……8分 又DA →＝(1，0，0)，DQ →＝(0，2－2λ，2λ)， 设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝（2－2λ）y 1＋2λz 1＝0，令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)．由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3， ………………10分得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4（λ－1）2＝12，所以λ＝13或λ＝1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段PC 上存在点Q 满足条件． ………………12分 22. （1）由题意可知， Q 在PN 的垂直平分线上∴QP QN = 又∵4==+r QP QM∴ MN QN QM >=+4 ………………1分 ∴Q 点的轨迹为椭圆，且42=a 即2=a ， 由题意可知3=c ，∴1=b∴曲线E 的方程为1422=+y x ………………3分（2）∵+=，∴四边形OACB 为平行四边形， 当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0. ……………4分 由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0得k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k 2. ∵S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，∴S ▱OACB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2| ＝3x 1＋x 22－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2 ＝3242k 2－＋4k 21＋4k 22＝24k 2－21＋4k 22，……………6分令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)， ∴S ▱OANB ＝24t 4t ＋2＝24172＋16t ＋81t ≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，∴当k ＝±172时，平行四边形OACB 的面积的最大值为2. 此时直线m 的方程为y ＝±172x ＋3. ……………8分（3）由已知抛物线方程是x y 212-=若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为）（11,y x G ，),(22y x H ，满足曲线E 的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422222121y x y x ，两式作差可得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，G ，H 的中点F 落在直线x y 2=上则有)(22121x x y y +=+代入可得812121-=--x x y y ，直线方程可以设为b x y +-=81与抛物线方程联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=b x y x y 81212，消元可得方程0442=+-b y y ，直线与抛物线相切则有101616=⇒=-=∆b b ， ……………10分则直线的方程为088=-+y x ，与椭圆方程联立：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0881422y x y x ，消元可得方程01532172=+-y y ，015174-322>⨯⨯=∆， 所以直线088=-+y x 满足题意．若直线斜率不存在时，直线0=x 满足题意．所以，综上这样的直线存在，方程是088=-+y x 或0=x ． ……………12分。