牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式

教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式
基本内容提要
1 数值积分的基本思想
2 代数精度的概念
3 牛顿－科特斯求积公式及其余项
4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性
教学目的和要求
1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念
2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式
3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性
教学重点
1 插值型求积公式的基本思想
2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程
3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性
4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式
教学难点
1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用
2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明
课程类型
新知识理论课
教学方法
结合提问，以讲授法为主
教学过程
问题引入
我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。

据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。

这就是数值积分与数值微分的基本内容.
推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。

以定积分的计算为例，要计算定积分
∫
b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()b
a f x dx F
b F a =−∫
其中)(x F 是被积函数的某个原函数。

但对很多实际问题，上述公式却无能为力。

这是因为：
1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如
2
x e sin ,x x
等初等函数。

2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。

因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。

§3.1 牛顿-柯特斯求积公式
3.1.1 数值积分的基本思想
首先利用积分中值定理：()()(),[,]b
a f x dx f
b a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。

再利用定积分的定义：1()lim ()N
b k k a N k f x dx f x ξ→∞==∆∑∫，分析定积分的四个基本步骤：分割、近似、求和、取极限。

分割就是把总体（整块梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积），近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表小曲边梯形的面积（这是用矩形面积近似曲边梯形的面积）。

求和就是把分量加起来得到总近似值，最后取极限就得到积分的准确值。

数值计算时可以省掉求极限这一步，只要经过前三步就可求得积分近似值，这就是建立数值积分方法的基本步骤。

3.1.2 代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精确度，自然希望求积公式能够对“尽可能多”的被积函数f (x ) 都准确成立，在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述它。

定义3.1.1：若求积公式：0()()n
b K k a k f x dx A f x =≈∑∫ 对于任意不高于m 次的代数多项式都准确成立，1m x +而对于 不一定能准确成立，
则称该求积公式的代数精度m 。

一般地，欲使求积公式
0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑∫ 具有 m 次代数精度。

只要令它对于2()1,,,m f x x x x =L 都能准确成立，即要求：
220
110
1()21()1n
k k n k k k n m m m k k k A b a
A x b a A x b a m ==++=⎧=−⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−⎪+⎩∑∑∑ 如果事先选定求积节点，如，以区间［a, b ］的等距节点依次为节点，这时取m=n ，求解上述线性方程组即可确定系数k A ，从而使求积公式至少有m=n 次代数精度。

3.1.3 牛顿-柯特斯求积公式
设要计算定积分为：∫=b
a dx x f f I )()(。

数值计算定积分的方式就是利用被积函数在某些节点的信息，推导定积分的近似计算公式。

其做法是
第一步： 在[b a ,]上选择一些点,比如说是0x a ≤<1x <b x n ≤，了解这些节点处被积函数的信息，比如说算出n i x f i ,,1,0),(L =。

第二步： 把上述信息作为插值条件，构造()f x 的拉格朗日插值多项式 ∑==n
i i i n x f x l L 0)()(.
第三步： 用)(x L n 代替)(x f ,按如下方式推导计算公式：
],[)()()()(][00f Q x f A dx x f x l dx x L f I n
i i i n i i i b a n ∆==≈∑∑∫== (3.1) 其中
∫=b
a i i dx x l A )( 称为求积系数, i x 称为求积节点。

按上述过程得到的积分公式(3.1)叫做插值型求积公式。

当然，如果用其他的方式找到一个简单函数),(x p 使得)(x p ≈)(x f ，那么也能推出一个数值积分公式：
∫=b a dx x f f I )()(≈∫b a dx x p )(.
这类近似计算的积分公式叫做数值积分公式。

由于)(x L n 是)(x f 的近似，所以上述求积公式(3.1)存在截断误差(称为求积余项)：
∫+++=−=b
a n n dx x f n f Q f I f R )()()!
1(1][][][1)1(πξ 其中ξ是与x 有关的一个数,有时为了突出这一点，常记它为x ξ或)(x ξ。

如果)(1x n +π不变号，则由第二积分中值定理可知：存在常数],[b a ∈η,使得
∫+++=b a n n dx x f n f R )()()!
1(1][1)1(πη (3.2) 最常用的数值积分公式是等距节点的插值型求积公式，即插值节点
.,1,0,,n i n
a b h ib a x i L =−=+= 只要步长h 已知或n 已知，就能方便的算出所有求积节点i x 。

下面列出这样的一些求积公式及其余项：
1） 梯形求积公式:
,,1a b h n −==
)],()([2
][10x f x f h f I +≈ )(12
][3
ηf h f R ′′−=. 2） 辛普森 (Simpson) 求积公式或抛物线求积公式:
,2
,2a b h n −== )],()(4)([3
][210x f x f x f h f I ++≈ ).(90
][)4(5
ηf h f R −= 3） 牛顿 (Newton) 求积公式:
,3,3a b h n −=
= )],()(3)(3)([8
3][3210x f x f x f x f h f I +++≈ ).(80
3][)4(5
ηf h f R −= 4） 柯特斯 (Cotes) 求积公式：
,4
,4a b h n −==
)],(7)(32)(12)(32)(7[45
2][43210x f x f x f x f x f h f I ++++≈ ).(945
8][)6(7
ηf h f R −= 上述这类公式统称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）求积公式，n 是它的阶数。

从各阶牛顿-柯特斯公式的余项表达式可知：
梯形求积公式对所有次数不超过1的多项式是准确成立的；
辛普森求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的；
牛顿求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的；
柯特斯求积公式对所有次数不超过5多项式是准确成立的。

定理3.1.1 当n 为偶数时，n 阶牛顿柯特斯求积公式至少具有1+n 阶代数精度。

3.1.4 牛顿-柯特斯求积公式的稳定性和收敛性
牛顿-柯特斯公式需要计算各节点处的函数值.,1,0),(n i x f i L =当)(x f 较复杂时，如2,ln 2x e x −等。

这些函数值的计算常常存在舍入误差。

分析这种舍入误差对数值计算公式的影响，就叫做算法的稳定性分析。

假设)(x f 的近似值为i y ，它们的绝对误差限是δ，则由此产生的定积分的计算误差为
100)(A y A x f A i n i i n i i i δ≤−∑∑==，
其中，T n A A A A ),,,(10L =。

因此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的。

最后由于龙格现象存在，不难得知，牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性。

从以上关于稳定性和收敛性的分析可知，数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式。

课堂演示 习题三 第1题，说明数值积分计算过程和误差估计方法。

课堂小结
布置作业
参考文献
1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989.
2.蔡大用，白峰杉. 高等数值分析. 清华大学出版社，北京，1998.
3. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001.
4. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.。