圆锥曲线的几何性质及其解题应用一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如：①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+；②Rt OFC ∆中，222a b c =+；④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a .例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ①PF PD②QF BF③AO BO④AF BA⑤FO AO⑥OF FC能作为椭圆的离心率的是 （填正确的序号）2① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则bcPF b c===， 又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ∆≅∆.⑥AA B B ③当PQ x ⊥轴时，22b PQ a=⋅，叫椭圆的通径.例题2．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ．【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=b ．【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间．3、抛物线中一些线段的长度及其关系如：① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =.② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ∆④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质．。
第八章圆锥曲线的方程脑图一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）若ABC∆的两个顶点坐标为()4,0A-，()4,0B，ABC∆的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．（Ⅱ）设点Q是圆C：25)1(22=++yx上一动点，点()1,0A是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程．（Ⅲ）动圆M过定点(4,0)P-，且与圆C：22(4)16x y-+=相切，求动圆圆心M的轨迹方程．（Ⅳ）已知1F、2F分别为双曲线22221x ya b-=的左、右焦点，点P为右支上一点，过1F作12F PF∠的角平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹．（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅰ）已知P是椭圆2214xy+=上一点，12F F、分别是椭圆的左、右焦点，且1260F PF∠=︒，则12F PF∆的面积是．（Ⅱ）双曲线221916x y-=的左、右焦点分别是12F F、，点P在双曲线上，且直线1PF、2PF倾斜角之差为3π，则12F PF∆的面积为．（Ⅲ）在椭圆2214520x y+=上求一点P，使它与两焦点12F F、的连线互相垂直．（Ⅳ）12F F、是椭圆22194x y+=的两个焦点，点P为其上一动点，当12F PF∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．（Ⅴ）设12F F、是双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上，当12F PF∆的面积为1时，12PF PF⋅的值是．【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）已知F是椭圆22195x y+=的左焦点，P是椭圆上一动点，(1,1)A为一定点，求PA PF+的最值．（Ⅱ）若P为双曲线2213xy-=的右支上一动点，F为双曲线右焦点，已知()3,1A，求P A P F+的最小值．二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）已知动点(),M x y 满足|43|)2()1(22y x y x +=-+-，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线（Ⅱ）已知圆A ：()2221x y ++=与定直线l ：1x =，动圆M 和圆A 外切且与直线l 相切，求动圆的圆心M 的轨迹方程．（Ⅲ）已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -、(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求32PA PF +的最小值．（Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求（1）PA 的最小值．（Ⅲ）若F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动，)2,3(A ，求MF MA +的最小值．（Ⅳ）已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则PA PM +的最小值是 A ．211B ．4C ．29 D ．5【焦半径公式】例6．（Ⅰ）已知点P 在椭圆()222210x ya b a b +=>>上，12F F 、为椭圆的左右焦点，求12PF PF ⋅的取值范围．（Ⅱ）双曲线222x y a -=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上的任意一点，求证：1PF 、PO 、2PF 成等比数列．（Ⅲ）已知抛物线24y x =的一条焦点弦被焦点分成为m 、n 的两部分，求证：m n m n +=⋅．（Ⅳ）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4：3，求P 点的横坐标．（Ⅴ）在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点()11,A x y 、()2,6B x ，()33,C x y 与焦点()0,5F 的距离成等差数列，求13y y +．三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P ，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知椭圆经过两点)2A-，()B -，求椭圆的标准方程．（Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,6-，求椭圆的标准方程． （Ⅳ）双曲线2222mx my -=的一条准线是1y =，则m 的值为 ．（Ⅴ）已知双曲线的右准线为4x =，右焦点为()10,0F ，离心率2e =，求双曲线方程．（Ⅵ）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(M -的双曲线方程． （Ⅶ）求以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线的方程． （Ⅷ）k 为何值时，方程22121x y k k +=--表示①圆；②椭圆；③双曲线？ （Ⅸ）抛物线()210y x a a=≠的焦点坐标是 ．（Ⅹ）已知抛物线的准线为2y =，求抛物线的标准方程．（Ⅺ）已知抛物线的焦点在x 轴上，且()2,3A -到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程．（Ⅻ）已知抛物线焦点在x 轴上且截直线210x y -+=【利用椭圆的参数方程求最值】例8．已知实数x 、y 满足2214x y +=，①求222u x y y =+-的取值范围；②求v x y =+的取值范围．四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅰ）已知12F F 、为椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=︒，求离心率．（Ⅱ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b 是两个顶点，如果F 到直线AB（Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12F F 、，以12F F 、为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ．（Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是34y x =±，求此双曲线的离心率．（Ⅴ）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率是 ．（Ⅵ）已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．（Ⅶ）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小并求出最小值． （Ⅱ）求经过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程．【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于．（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q ，且OP OQ ⊥，PQ =，求椭圆方程． 【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆2212x y +=，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过()2,1A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；③过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 点平分的弦所在直线的方程．（Ⅱ）已知双曲线2212y x -=，①过定点()2,1P 作直线交双曲线于12P P 、点，使P 点是12PP 的中点，求此直线方程；②过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与双曲线相交于两点1Q 、2Q ，且Q 是12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【垂直】例13．（Ⅰ）若直线l ：1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点，求a 的值.（Ⅱ）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．①求椭圆C 的标准方程；②若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同的两个点关于该直线对称．（Ⅱ）已知抛物线212y x =上总存在关于直线4y x m =+对称的两点，则实数m 的取值范围是．【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)，①求双曲线C 的方程；②若直线y kx =C 有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（O为原点），求k 的取值范围．【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线C ：()222210,0xy a b a b-=>>的两个焦点为()12,0F -、()22,0F ，点(P 在双曲线C 上．①求双曲线C 的方程；②记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，若OEF ∆的面积为l 的方程．（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()13,0F -20y -=． ①求双曲线C 的方程；②若以()0k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于不同两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． 答案一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）()2210259x y y +=≠．（Ⅱ）224412521x y +=（Ⅲ）221412x y -=（Ⅳ）222x y a +=（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）． 【焦点三角形问题】 例2．（Ⅱ）（Ⅲ）()3,4()3,4-()3,4-()3,4--（Ⅳ）x <<（Ⅴ）0． 【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）66二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）B （Ⅱ）28y x =-（Ⅲ）22143x y += （Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】 例5．（Ⅰ）112（Ⅱ）32（Ⅲ）72（Ⅳ）C 【焦半径公式】例6．（Ⅰ）2212b PF PF a ≤⋅≤（Ⅱ）证略（Ⅲ）证略（Ⅳ）20x =12三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）2213632x y +=（Ⅱ）221155x y +=（Ⅲ）22114837x y +=或2215213x y +=（Ⅳ）43-． （Ⅴ）()22211648x y --=（Ⅵ）2219164x y -=或221944x y -=（Ⅶ）22182x y -= （Ⅷ）①32k =②3122k k <<≠且③21k k ><或（Ⅸ）0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅹ）28x y =-（Ⅺ）28y x =或224y x =- （Ⅻ）212y x =或24y x =-【利用椭圆的参数方程求最值】 例8．①131,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②⎡⎣四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅱ）121．（Ⅳ）54e =或53（Ⅵ）0,2⎛ ⎝⎭（Ⅶ）C 五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）31,83P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，min 2d =（Ⅱ）5324y x =+，21y x =+，23y x =-+和12x =【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅱ）221223x y +=或221223x y += 【弦中点】例12．（Ⅰ）①444033x y x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭②222220x y x y +--=③2430x y +-=（Ⅱ）①470x y --=②不存在【垂直】例13．（Ⅰ）1a =±（Ⅱ）①22143x y +=②2(,0)7 【对称】例14．（Ⅰ）x <<（Ⅱ）216m <-． 【数量积】例15．31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【面积】例16．（Ⅰ）①22122x y -=②2y =+ （Ⅱ）①22145x y -=②5555,,00,,4224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
