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第二讲 参数方程
四、渐开线与摆线
A 级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A ．只有圆才有渐开线
B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C ．正方形也可以有渐开线
D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.⎩⎨⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）
(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B ．半径为5的圆的摆线的参数方程
C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D ．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎨⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ
(φ为参数)上的是( ) A ．(π，0)
B ．(π，1)
C ．(2π，2)
D ．(2π，0)
4．圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A ．π
B ．3π
C ．6π
D ．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
⎩
⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ
(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2
－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， 所以|AB|＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22
＋（3－2）2＝10. 答案：C
二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ
(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）
(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
7．渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把
横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236
＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.
答案：12 3
8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝π2
，则点P 的坐标为________． 解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)． 当φ＝π2
时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P(π，2)． 答案：(π，2)
三、解答题
9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ
(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
⎩
⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求
