重庆一中2014-2015高一下数学

2014-2015学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣42．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a2015=4，则a2+a2014=（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）已知△ABC中，b=2，B=45°，C=105°，则a=（）A．B．+1 C．﹣1 D．4．（5分）实数a，b，“＜＜0“是“a＞b“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知f′（x）是函数f（x）的导数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中（）A．B．C．D．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．87．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形8．（5分）已知点p（x，y）（x＞0，y＞0）在经过点A（2，0），B（0，1）两点的直线上，则+的最小值为（）A．9 B．4 C．D．9．（5分）如图所示的程序框图运行的结果是（）A．B．C．D．10．（5分）过点M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A，B，则sin∠AMB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知||=2，是单位向量，且关于x的函数f（x）=x3+||x2+•x 是R上的单调函数，则向量与的夹角的范围是（）A．[0，）B．[0，]C．[0，]D．[，）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a对任意的x∈（﹣1，0）不等式f （x）＜0恒成立，则a的范围是（）A．（﹣∞，] B．[，1]C．（﹣∞，1]D．[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y=0的圆心坐标为．14．（5分）在△ABC中，角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，则A=．15．（5分）数列{a n}满足a1=1，S n为{a n}前n项和，且2a n=S n+1，则+++…+=．16．（5分）圆O半径为2，A是圆O上一定点，BC是圆O上动弦，且弦长为3，则（+）•的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）公差不为零的等差数列{a n}，a2=4，且a2，a4，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）设b n=+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=ax3+cx在x=3处的切线方程为8x﹣y﹣18=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．19．（12分）已知直线l：kx﹣y+2k=0（k∈R）过定点为P．（1）若直线l与直线2015x+2015y﹣2017=0垂直，求k的值；（2）已知点A（1，3），B（﹣5，5），求过点P且与A，B点距离相等的直线l 的方程．20．（12分）在△ABC中，且a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a=bcosC ﹣c．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积S=4，求△ABC周长的最小值．21．（12分）已知圆心为（2，3）的圆C上的点到直线x+y﹣3=0的最短距离为﹣1．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）的直线l与圆C交于P，Q两点，且•=12，其中O 为坐标原点，求△OPQ的面积．22．（12分）设f（x）=﹣2ln（x+1）+x2﹣a（x﹣2）（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若存在唯一整数x0使f（x0）＜0，求a的取值范围．2014-2015学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1×x=2×（﹣2）=﹣4；即x=﹣4；故选：D．2．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a2015=4，则a2+a2014=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a2014=a1+a2015=4，故选：B．3．（5分）已知△ABC中，b=2，B=45°，C=105°，则a=（）A．B．+1 C．﹣1 D．【解答】解：∵△ABC中，b=2，B=45°，C=105°，可得：A=180°﹣B﹣C=30°，∴由正弦定理，可得：a===．故选：A．4．（5分）实数a，b，“＜＜0“是“a＞b“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“＜＜0“能推出“a＞b“，是充分条件，由a＞b推不出“＜＜0“，不是必要条件，故选：A．5．（5分）已知f′（x）是函数f（x）的导数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中（）A．B．C．D．【解答】解：根据导函数可知函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，结合图象可知y=f（x）的图象最有可能是图中B故选：B．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．8【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故2x+y的最大值是7，故选：C．7．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【解答】解：由题意可知向量与的夹角为A，记||=c，||=b，||=a 则由可得，c2=bc•cosA+a2，即cosA=又由余弦定理可得cosA=，故=化简可得c2=a2+b2，由勾股定理可知△ABC为直角三角形．故选：D．8．（5分）已知点p（x，y）（x＞0，y＞0）在经过点A（2，0），B（0，1）两点的直线上，则+的最小值为（）A．9 B．4 C．D．【解答】解：由A（2，0）、B（0，1）可求直线AB的斜率k AB==﹣，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=2，∴+=（+）（x+2y）=（1+4++）≥（5+2）=（5+4）=，当且仅当x=，y=时取等号，故选：C．9．（5分）如图所示的程序框图运行的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=0，i=1满足条件i≤1008，执行循环体，A=，i=2满足条件i≤1008，执行循环体，A=+，i=3…满足条件i≤1008，执行循环体，A=++…+=（1﹣﹣+…+﹣）=（1﹣）=，i=1009此时，不满足条件i≤1008，退出循环，输出A 的值为．故选：D．10．（5分）过点M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A，B，则sin∠AMB=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，由题意可得|OM|==，|OB|=r=；由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，∴sin∠OMB===，∴cos∠OMB===，∴sin∠AMB=sin2∠OMB=2sin∠OMBcos∠OMB=2××=．故选：C．11．（5分）已知||=2，是单位向量，且关于x的函数f（x）=x3+||x2+•x 是R上的单调函数，则向量与的夹角的范围是（）A．[0，）B．[0，]C．[0，]D．[，）【解答】解：设向量与的夹角为θ∵函数f（x）=x3+||x2+•x是R上的单调函数，∴f′（x）=x2+||x+•与x轴没有交点或者只有一个交点，∴△=||2﹣4•=12﹣8cosθ≤0，即cosθ≥，∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤，故选：B．12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a对任意的x∈（﹣1，0）不等式f （x）＜0恒成立，则a的范围是（）A．（﹣∞，] B．[，1]C．（﹣∞，1]D．[，+∞）【解答】解：对任意的x∈（﹣1，0）不等式f（x）＜0恒成立，即a＜在（﹣1，0）恒成立，令g（x）=，x∈（﹣1，0），则g′（x）=＜0，故g（x）在（﹣1，0）递减，故a≤g（0）=1，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣2y=0的圆心坐标为（1，1）．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y=0，即圆（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2，故它的圆心为（1，1），故答案为：（1，1）．14．（5分）在△ABC中，角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，则A=30°．【解答】解：角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，△ABD中，由正弦定理，，可得：sin∠ADB=，∴∠ADB=60°或120°当∠ADB=60°时，那么：∠BAD=180°﹣45°﹣60°=75°，∴A=2∠BAD=150°，可得∠C=180﹣150°﹣45°=﹣15°不成立．故得∠ADB=120°，那么：∠BAD=180°﹣120﹣60°=15°，∴A=2∠BAD=30°，故答案为：30°．15．（5分）数列{a n}满足a1=1，S n为{a n}前n项和，且2a n=S n+1，则+++…+=2﹣（）n﹣1．【解答】解：∵2a n=S n+1，）=S n+1，∴2（S n﹣S n﹣1+1），∴S n+1=2（S n﹣1∵S1+1=a1+1=2，∴数列{S n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n+1=2×2n﹣1，∴a n=2n﹣1，∴=（）n﹣1，∵=1∴+++…+==2﹣（）n﹣1，故答案为：2﹣（）n﹣116．（5分）圆O半径为2，A是圆O上一定点，BC是圆O上动弦，且弦长为3，则（+）•的最大值为12．【解答】解：如图，（+）•===．∴当与成0°角时，（+）•有最大值为2×2×3×1=12．故答案为：12．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）公差不为零的等差数列{a n}，a2=4，且a2，a4，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）设b n=+a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，{a n}是等差数列，设公差为d，a2=4，且a2，a4，a7成等比数列，则a4=4+2d，a7=4+5d，∴（4+2d）2=4（4+5d），解得：d=0（舍去）或d=1．∴通项a n=a2+（n﹣2）d=n+2．（2）b n=+a n，可得b n=2n+n+2．那么：{b n}的前n项和T n=T1+T2+…+T n=21+3+22+4+…+2n+n+2=21+22+…+2n+（3+4+5+…+n+2）==．18．（12分）已知函数f（x）=ax3+cx在x=3处的切线方程为8x﹣y﹣18=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+c，k=f′（3）=27a+c=8，①f（3）=27a+3c=8×3﹣18=6，②联立①②解得：，c=﹣1．∴f（x）=x3﹣x；（2）f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，即f（x）max≤m，x∈[﹣2，2]恒成立，f′（x）=x2﹣1，由f′（x）=x2﹣1=0，得x1=﹣1，x2=1．列x、f′（x）、f（x）的关系表：由表可知，．∴．19．（12分）已知直线l：kx﹣y+2k=0（k∈R）过定点为P．（1）若直线l与直线2015x+2015y﹣2017=0垂直，求k的值；（2）已知点A（1，3），B（﹣5，5），求过点P且与A，B点距离相等的直线l的方程．【解答】解：直线l：kx﹣y+2k=0（k∈R）化为：k（x+2）﹣y=0，令，解得x=﹣2，y=0，可得直线l过定点P（﹣2，0）．（1）∵直线l与直线2015x+2015y﹣2017=0垂直，则k×=﹣1，解得k=1．（2）分类讨论：①若直线l∥AB，则k=k AB==﹣，可得直线l的方程为：﹣x﹣y﹣=0，化为：x+3y+2=0．②若直线l经过线段AB的中点M（﹣2，4），∴﹣2k﹣4+2k=0，无解，综上可得：直线l的方程为：x+3y+2=0．20．（12分）在△ABC中，且a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a=bcosC ﹣c．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积S=4，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（1）∵a=bcosC﹣c，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinC，可得：sin（B+C）=sinBcosC﹣sinC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinC，可得：cosBsinC=﹣sinC，∵C为三角形内角，sinC＞0，可得：cosB=﹣，∴由B∈（0，π），可得：B=．（2）∵S=acsinB=×ac×=4，解得：ac=16，△ABC∴由余弦定理可得：cosB=≥，∴可得：≥，可得：﹣16≥32﹣b2，解得：b2≥48，即b≥4，当且仅当a=c=4时等号成立，∴△ABC周长=a+b+c=（a+c）+b≥2+b=2+4=8+4，即当a=c=4时，△ABC周长的最小值为8+4．21．（12分）已知圆心为（2，3）的圆C上的点到直线x+y﹣3=0的最短距离为﹣1．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）的直线l与圆C交于P，Q两点，且•=12，其中O 为坐标原点，求△OPQ的面积．【解答】解：（1）设圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=r2，（r＞0），∵圆心为（2，3）到直线x+y﹣3=0的距离d1=，且圆心为（2，3）的圆C上的点到直线x+y﹣3=0的最短距离为﹣1，故r=1，故圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1；（2）当直线l的斜率不存在或斜率是0时，直线和圆相离，不合题意，从而直线的斜率必存在且不是0，设直线l的方程为x=my﹣1，且P（x1，y1），Q（x2，y2），则，消去x化简得：（m2+1）y2﹣（6m+6）y+17=0，故，∴x1x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=m2y1y2﹣m（y1+y2）+1=，∴•=x1x2+y1y2==12，解得：m=1，满足△＞0，故直线l的方程是：x=y﹣1即x﹣y+1=0，故该直线过圆心C（2，3），∴|PQ|=2r=2，又原点到直线l的距离为d=，故△OPQ的面积是S=|PQ|•d2=．22．（12分）设f（x）=﹣2ln（x+1）+x2﹣a（x﹣2）（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若存在唯一整数x0使f（x0）＜0，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=﹣2ln（x+1）+x2，f′（x）=﹣=（x＞﹣1），∴当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，∴当x=1时，函数f（x）求得极小值为f（1）=；（2）存在唯一整数x0使f（x0）＜0，即存在唯一整数x0使＜0，也就是a（x0﹣2）＞，令g（x）=﹣2ln（x+1）+，h（x）=a（x﹣2）．由（1）可知，x∈（﹣1，1）时，g（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，g（x）为增函数，且极小值为．∵ln（x+1）＜x（x＞0），∴g（x）=﹣2ln（x+1）+＞，作出函数g（x）与h（x）的图象如图：要使存在唯一整数x0使f（x0）＜0，则，则ln2﹣﹣4ln2+．∴a的取值范围是ln2﹣﹣4ln2+．。

重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）一、选择题 1．已知等差数列{}n a 中，282a a += ，5118a a +=，则其公差是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，由题可知11282,2148,a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,1.a d =-⎧⎨=⎩ 考点：1、等差数列的性质；2、解二元一次方程组.2．已知直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=， 当“2a =-”时，直线12:210,:220l x y l x y --+=-+=，满足121k k ⋅=-，∴12l l ⊥.如果12l l ⊥，∴()110a a a ⋅++=，解得2a =-或0a =，∴直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”充分不必要条件.考点：1、两条直线的位置关系；2、充要条件的判断方法的应用；3、计算能力. 3．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)（单位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为（ ）A ．100B ．120C ．130D ．390 【答案】A 【解析】试题分析：∵位于10-20、20-30的小矩形的面积分别为120.01100.1,0.023100.23S S =⨯==⨯=，∴位于10-20、20-30的数据的频率分别为0.1、0.23， 可得位于10-30的前3组数的频率之和0.10.230.33+=. 由此可得位于20-50数据的频率之和为10.330.67-=， ∵支出在[)30,50的同学有67人，即位于30-50的频数为67， ∴根据频率计算公式，可得670.67n=，解之得100n =. 考点：1、频率分布直方图的理解；2、频率的计算.4．(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） A ．15 B. 25 C. 13 D. 16【答案】C 【解析】试题分析：从5个球中随机抽取两个球，共有246C =种取法.满足两球编号之和大于5的情况有（2,4），（3,4）共2种取法. 所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为2263=. 考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、组合及组合数公式. 5．如图.程序输出的结果132s = , 则判断框中应填（ ）A.10i ≥B.11i ≥C.11i ≤D.12i ≥ 【答案】B 【解析】试题分析：按照程序框图执行如下：1,12;12,11;1211132,10s i s i s i =====⨯== ，因为输出的结果为132s =，故此时判断条件应为：11i ≥或10i >. 考点：1、程序框图的运算；2、循环语句. 6．圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（ ）． A ．2 B ．2- C． D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由圆()221x a y -+=，可知圆心(),0a ，半径1r =，根据题意可知：圆心(),0a 到直线y x =的距离d r =1=，解得a =∵圆与直线相切与第三象限， ∴0a <，∴a =考点：1、直线与圆相交的性质；2、圆的标准方程；3、点到直线的距离公式.7．已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A.[]2,1--B. []1,2-C. []2,1-D.[]1,2 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域，得到如图的ABC ∆及其内部，其中()()()2,0,2,1,0,1A B C .设(),z F x y x y ==-，将直线:l z x y =-进行平移， 观察x 轴上的截距变换，可得 当l 经过点C 时，z 达到最小值； 当l 经过点A 时，z 达到最大值.∴()0,11z F ==-最小值,()2,02z F ==最大值， 即z x y =-的取值范围是[]1,2-.考点：1、简单线性规划；2、二元一次不等式组表示的平面区域. 8．设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1n n b a =+，*n N ∈，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( )A ．43-B ．32-C ．32-或23-D ．34-或43- 【答案】C 【解析】试题分析：集合}{53,23,19,37,82--中的各元素减去1得到集合{}54,24,18,36,81--，其中24,36,54,81--或81,54,36,24--成等比数列，∴32q =-或23-.考点：等比数列的通项公式.9．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D ． 【答案】A 【解析】试题分析：∵圆C 的方程为2223x y y +=-+，即()2214x y ++=，∴圆C 的圆心为()0,1C -，半径为2. ∵直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直 ∴直线:10l x y +-=.∴圆心C 到直线l 的距离d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长AB ===又∵坐标原点O 到AB 的距离为2d '==，∴OAB ∆的面积为11122S AB d '=⨯=⨯=. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式. 10．设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=，},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若A B ∅＝，则实数m 的取值范围是（ ）A 21m -≤≤B ．02m <<+C ．2m <或1m >D ．12m <或2m >+【答案】D 【解析】试题分析：显然B ≠∅. 1°当A =∅时，则22m m >，解得102m <<； 2°当A ≠∅时，若AB ∅＝，则圆()()22220x y m m -+=≠与直线2x y m +=或21x y m +=+m >m >，∴m <或2m >综上所述，满足条件的实数m 的取值范围为12m <或2m >+ 考点：1、集合的表示；2、直线与圆的位置关系.二、填空题11．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = .【解析】试题分析：∵2a =，3c =，60B =︒，由余弦定理可得22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =考点：余弦定理.12．在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ． 【答案】0.3 【解析】试题分析：由题意221{|20}x x ax a ∈+->，故有220a a +->，解得12a -<<.又几何概型的知识知，区间[5,5]-总长度为10，随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->这个事件的长度为3，故区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为0.3. 考点：几何概型.13．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为 .【答案】32+ 【解析】试题分析：由082422=---+y x y x 得()()222113x y -+-=，则圆心坐标为()2,1，∵直线)0,(022>=-+b a by ax 平分圆的周长，即直线过圆心， ∴1a b +=，∴()1111333222222b a a b a b a b a b +⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即1,2a b ==-∴ba 121+的最小值为32+. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式.14．给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；其中正确的命题有 （请填上所有正确命题的序号） 【答案】②③ 【解析】试题分析：①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52413÷=，故抽取的样本的编号分别为7,713,7132,7133++⨯+⨯，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为()112334535+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③回归直线方程为2y a x =+过点(),x y ，把()1,3代入回归直线方程，可得1a =，③是真命题.考点：1、系统抽样；2、平均数、中位数、众数；3、回归分析.15．数列{}n a 满足*1142(1),()32nn n n a a a n N a n++==∈+－,则n a 的最小值是【答案】8- 【解析】试题分析：∵*1142(1),()32nn n n a a a n N a n++==∈+－，∴当1n =时，()()121421121138421213a a a ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⨯+⎝⎭===-+⨯-+⨯，当2n ≥时，0n a >，∴na 的最小值是8-.考点：数列的计算.三、解答题16．在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列. （1）求n a ；（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n n a -=（*N n ∈ ）；（2）(1)2n n n S -=. 【解析】试题分析：（1）根据等差数列中项和等差数列通项公式求得n a ；（2）由（1）的结论根据对数计算公式得出nb ，则可知数列{}n b 为等差数列，求得其前n 项和n S .试题解析：（1）设{}n a 的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，得13244a a a +=. 又∵数列{}n a 的公比为q ，首项11a =， ∴244q q +=，解得2q =.∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（*N n ∈ ）. （2）∵12n n a -=，∴12log 21n n b n -==-， ∴11n n b b +-=，∴{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列，它的前n 项和(1)2n n n S -=. 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的求和公式.17．在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒．(1)求sin sin a bA B++的值；(2)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．【答案】（1（2. 【解析】试题分析：（1）已知2,60c C ==︒，根据正弦定理和合比定理求sin sin a bA B++的值；（2）由余弦定理得出的ab 值，再根据三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积ABCS ∆．试题解析：（1）因为2,60c C ==︒， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2sin sin sin sin sin sin 60a b a b c A B A B C +=====+∴sin sin a b A B +=+（2）∵a b ab +=，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即()22243a b ab a b ab =+-=+-， 所以()2340ab ab --=， 解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式.18．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求,m n 的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率． （注：方差2222121[()()()n s x x x x x x n=-+-++-，x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）【答案】（1）3,8m n ==；（2）225.2,2S S ==甲乙；（3）45. 【解析】 试题分析：（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出,m n 的值； （2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差2S 甲和2S 乙，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些；（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“质量合格”的基本事件的个数，即可求得该车间“质量合格”的概率. 试题解析：解：（1）由题意得()178101210105x m =+++++=甲，解得3m =， 再由()19101112105x n =++++=乙，解得8n =； (2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差：()()()()()2222221710810101012101310 5.25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()222222181091010101110121025S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，并由22,x x S S =<甲乙甲乙，可得两组技工水平基本相当，乙组更稳定些.（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检查，设两人加工的合格零件数分别为(),a b ，则所有的(),a b 有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足17a b +≤的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件个数为25520-=， 所以该车间“质量合格”的概率为204255=. 考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、平均数与方差. 19．已知函数()x af x x b+=+（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =,当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（1）①当10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a - ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：x φ∈ ③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a - ； （2）1b >. 【解析】试题分析：（1）由不等式(1)0f x -<得()110x af x x-+-=<，按照1a -与0的大小关系分三种情况讨论，可解不等式； （2）若1a =，不等式可化为211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++，由x b ≠-可知[2,1]b ∉-，分离参数b 后化为函数的最值即可，由基本不等式可求得范围.试题解析：（1）∵()x af x x b+=+，1=b ， ∴()1x af x x +=+， ∴()()11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+，∵(1)0f x -<， ∴10x ax-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①当10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：x φ∈， ③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -，（2）∵1a =,21()()f x x b ->+，∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※） 显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，可知[2,1]b ∉-； 当12x -<≤时，111(1)11b x x x x >--=-++++， ∵10x +>， ∴()1121x x ++≥=+， 故1b >-.综上所述，1b >.考点：1、解不等式；2、分类讨论；3、基本不等式；4、函数的恒成立问题.20．已知圆M ：22224x y y +-= ，直线:11l x y +=,l 上一点A 的横坐标为a ,过点A 作圆M 的两条切线1l ,2l ,切点分别为B,C.（1）当0a =时，求直线1l ,2l 的方程；（2）当直线1l ,2l 互相垂直时，求a 的值；（3）是否存在点A ，使得2AB AC ⋅=-？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）直线l 1,l 2的方程为11y =+；（2）5a =；（3）点A 不存在.【解析】 试题分析：（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，即可得出直线1l ,2l 的方程；（2）当直线1l ,2l 互相垂直时，由正方形MCAB可知|||AM MB =，根据两点间的距离公式求解；（3）设,AB AC θ<>=，可得2222502550(25)(1)752AB AC AM AM AM AM⨯⋅=--=+-，利用圆心M 到直线l的距离是. 试题解析：（1）∵圆M ：22224x y y +-=， ∴22(1)25x y +-=，由此可知圆心()0,1M ，半径5r =，∵直线:11l x y +=，l 上一点A 的横坐标为a ,且0a =， ∴()0,11A ，过点A 作圆M 的两条切线1l,2l ,设切线的方程为11y kx =+，则圆心到切线的距离5d ==，∴k =所求直线l 1,l 2的方程为11y =+； （2）∵1l ,2l 是圆M 的两条切线，∴,MB AB MC AC ⊥⊥，则当l 1⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形，∴|||AM MB ==设A(a,11－a),M(0,1)=，∴210250a a -+=，∴5a =；（3）设,AB AC θ<>=，则222||cos 2||(12sin )AB AC AB AB θθ⋅==-，又sin ||rAM θ=， 故2222502550(25)(1)752AB AC AM AM AM AM⨯⋅=--=+-， 又圆心M 到直线l 的距离是 ∴ 250AM ≥， ∴25505075050AB AC ⨯⋅≥+-=，故点A 不存在.. 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；2、向量. 21．已知数列{}n a 满足：2*1121()n n n a a a n N n--=+∈ （1）若数列{}n a 是以常数1a 为首项，公差也为1a 的等差数列，求1a 的值；（2）若00a >，求证：21111n n a a n--<对任意*n N ∈都成立； （3）若012a =，求证：12n n a n n +<<+对任意*n N ∈都成立； 【答案】（1）10a =；（2）（3）证明如下.【解析】试题分析：（1）由2*1121()n n n a a a n N n --=+∈得：()2111212a a n a n =+-⎡⎤⎣⎦，从而可求出10a =；（2）由00a >得10n n a a ->>，则1121n n n n a a a a n--<+，两边同除以1n n a a -即可证明；（3）由（2）可知22200112111111111111()()()123n n n a a a a a a a a n--=-+-++-<++++，再进行放缩可证得结论.试题解析：（1）由题意，1n a na =，又由2*1121()n n n a a a n N n --=+∈得21121n n n a a a n ---=， 即2211[(1)]n a n a =-，∴()2111212a a n a n =+-⎡⎤⎣⎦，即221121n a a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭对一切*n N ∈成立，所以10a =； （2）由10n n a a ->>得1121n n n n a a a a n--<+，两边同除以1n n a a -得21111n n a a n --<；（3）22200112111111111111()()()123n n n a a a a a a a a n --=-+-++-<++++ 11111223(1)n n<++++⨯⨯-1111111112334451n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n=-， 将012a =代入，得n a n <，① 由11n a n -<-得211112211n n n n n n a a a a a n n -----=+<+， 所以2121n n n a a n n ->+-，所以221111222111n n n n n n n a a a a a a n n n n ----=+>+⋅+-，所以221111111(2)11n n n a a n n n n n n -->>=-≥+-++ 从而1122311111111111111111()()()2334451n n n a a a a a a a a n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++->-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121n =-+， 又由012a =得134a =， 所以1512611n n a n n +<+<++， 从而12n n a n +>+，② 由①②可得，12n n a n n +<<+. 考点：1、数列及其性质；2、放缩法.。

重庆南开中学高2017级高一（下)半期测试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试时间l20分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求) 1．已知等比数列{}n a 中，42-=a ，215=a ，则公比=q A ．2- B ．21- C ．21D ．22．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是 A ．+，- B ．-，- C ．21+，+2 D ．22-，- 3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“1＞q ”是“{}n a 为单调递增数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充耍条件D ．既不充分也不必要条件4．下列说法中，一定成立的是A ．若b a ＞,d c ＞，则cd ab ＞B ．若b a ＜，则0＞b a +C ．若0＞＞b a ，则ab b a ＞ a D ．若ba 11＞，则b a ＜5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若122851+=++a a a a ，则11S =A ．44B ．66C ．100D ．1326．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1％按复利计算，则他每月应还款(≈1．0101.1001.110≈) A ．500元 B ．505元 C ．510元 D ．515元 7．已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈21,21x ，则()()x x x 21212+-的最大值为 A ．41 B ．81 C ．161 D ．3218．执行如题（8）图所示的程序框图，则输出的结果是A ．9B ．11C ．55D ．66 9．已知四边形 ABCD ，()1,1===+，则四边形ABCD 的面积为A ．1B ．2C ．3D ．210．各项均为正数的数列{}n a 满足： ．若存在三个不同的首项1a ，使得m a =3a ，则实数m 的取值范围是A ．()∞+，0B ．(0，1)C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡121， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，第Ⅱ卷(非选择题，共l00分)二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置(只填结果，不写过程) 11．已知数列2，35，23， 57，34…，则1921是该数列中的第 项．12．已知向量b a ，1=+=2=，则向量a 与b 的夹角为 ．13．已知数列{}n a 满足：21=a ，231-=+n n a a ，则n a = ．14．已知两个单位向量的夹角为3π，设向量t +=，其中t ∈R t=15．在锐角∆ABC 中，B=3π2=，则·的取值范围是 ． 三、解答题；(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必 须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 16．(本小题满分13分)已知向量=(1，2)，= (1，-1)．(Ⅰ)求2(Ⅱ)设向量x x 2+=，若与的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．17．(本小题满分l3分)已知等差数列{}n a 的公差d<0，53a a =112，4a =11． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为何值时，n S 取得最大值?并求此最大值．18．(本小题满分13分) 已知x>O,y>0，x+2y-xy=0． (Ⅰ)求xy 的最小值； (Ⅱ)求x+y 的最小值．19． (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+-=N n a n S n n 122． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)记n n n a b 12-=，求24231111++++n n b b b b b b ．20．(本小题满分l2分)已知数列{}n a 满足：11=a ，()232323111≥-+=--n a a n n n ，设()131+=-n n n a b ． (Ⅰ)证明：{}n b 是等差数列； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和．21．(本小题满分12分)若函数()x f 满足；集合A=(){}*∈N n n f 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数，()x f 是等比源函数． (Ⅰ)下列函数：①2x y =；②xy 1=；③x y 2log =中，哪些是等比源函数?(不需证明) (Ⅱ)判断函数()12+=x x f 是否为等比源函数，并证明你的结论； (Ⅲ)证明：对任意正整数d ，b ，函数()b dx x g +=都是等比源函数．。

重庆市重庆一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．已知向量()()2,,,1m b m a ==，若b a //，则实数m 等于( )A ．0 【答案】C 【解析】试题分析：∵//a b ，∴2120,m m ⋅-== 考点：平面向量共线的坐标表示． 2．不等式1213-≤--x x 的解集是（ ） A ．324xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．324x x x ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x < 【答案】B 【解析】试题分析：∵1213-≤--x x ，∴31102x x -+≤-，即(43)(2)043022x x x x x --≤⎧-≤⇒⎨≠-⎩，∴不等式的解集为324xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭． 考点：分式不等式转化为一元二次不等式．3．执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，那么输出的a 值为（ ）A ．4B ．16C ．256D ．3log 16 【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图的描述，是求使*3log 4,2()n a a n N >=∈成立的最小a 值，故选C ．考点：程序框图．4．等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，若2=AB ，则AD BA ⋅=( ) A ．2- B ．2 C ．3 D ．3- 【答案】A 【解析】试题分析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),又∵D 是BC 的中点，∴D(1,1),∴(2,0),(1,1),21012BA AD BA AD =-=⋅=-⋅+⋅=-．考点：平面向量数量积的坐标表示． 5．下列命题正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒< B ．ba ab b a ><<则若,0 C ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x+2≥D a b < 【答案】D 【解析】 试题分析：A:当c<0时，错误；B ：22()()()(),00b a b a b a b a b a b a a b a b ab ab ab-+-+--==<<∴<，，∴b aa b<；C:当01x <<即lg 1x <时不成立；D ：正确． 考点：不等式的性质．6．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z ＝5y －x 的最大值是( )A ．16B ．30C ．24D ．8【答案】A 【解析】试题分析：画出如下图可行域，易得A(4,4),B(0,2),C(8,0),又∵z=5y-x ，即55x z y =+，∴问题等价于求直线55x zy =+在可行域内在y 轴上的最大截距，显然当x=4，y=4时，max 54416z =⋅-=．考点：线性规划求目标函数最值．7．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】B 【解析】试题分析：∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理，∴2sin cos sin cos sin B C C B A +=，即2sin()sin B C A +=，又∵A B C π++=,∴2sin sin ,sin 1A A A ==，∴△ABC 是直角三角形．考点：1、正弦定理；2、三角恒等变形．8．已知2121,,,b b a a 均为非零实数，不等式011<+b x a 与不等式022<+b x a 的解集分别为集合M 和集合N ，那么“2121b b a a =”是“N M =”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．既非充分又非必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 【答案】D 【解析】试题分析：取11221,1a b a b ====-，则可得M=(,1)-∞-，N=(1,)-+∞，因此不是充分条件，而由M=N,显然可以得到2121b b a a =，∴是必要条件． 考点：1、不等式的基本性质；2、简易逻辑．9．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边,若b c C a 2cos 2,1=+=且,则ABC ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(]3,1 B ．[2,4] C ．(]3,2 D ．[3,5] 【答案】C 【解析】试题分析：∵222221cos 22a b c b c C ab b +-+-==，∴221222b c c b b +-⋅+=，化简后可得：22()()13134b c b c bc ++=+≤+⋅，∴2b c +≤，又∵1b c a +>=，∴23a b c <++≤，即周长的范围为(]3,2．考点：1、余弦定理；2、基本不等式．10．对任意正数x ，y 不等式xy ky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-恒成立，则实数k 的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：∵xyky x k 221≥+⎪⎭⎫⎝⎛-1()2k -≥，要使不等式恒成立，则12k >，min 1[()2k -==≥，∴1k ≥，∴k 的最小值是1．考点：基本不等式．11．已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=___________． 【答案】6 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a 的前15项的和1530S =,∴1151151530,42a a a a +⋅=+=，而1158818152,2,6a a a a a a a +=∴=++=．考点：等差数列的性质．12．下面框图所给的程序运行结果为S ＝28，如果判断框中应填入的条件是 “a k >”,则整数=a _______．【答案】7 【解析】试题分析：∵程序运行结果为S=28,而1+10+9+8=28，∴程序应该运行到k=7的时候停止，因此整数a=7． 考点：程序框图．13．已知非零向量b a,满足a b a b a 332=-=+，则向量b a +与b a -的夹角为 ． 【答案】3π 【解析】试题分析：∵||||a b a b +=-，∴22()()0a b a b a b +=-⇒⋅=，又∵23||||3a b a +=，∴22233()||||a b a b a +=⇒=，∴222222()()||||||3a b a b a b a b a +⋅-=-=-=，∴2222342||||cos (||)cos ||cos ||33a b a b a a a θθθ+⋅-⋅=⋅=⋅=，∴1cos ,23πθθ==．考点：平面向量的数量积．14．已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = ．【答案】2n-3【解析】试题分析：根据题意分析，A 中最小的两个不同元素的和为1+2=3，最大的为n-1+n=2n-1，显然可以取遍从3到2n-1的所有整数，∴M(A)=2N-3． 考点：新定义问题15．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a ．【答案】121 【解析】 试题分析：∵1001≤≤≤≤≤d c b a ，∴111122005a c ab b d b bdd+≥++≥⋅=≥=， 上述等号成立的条件依次为：2,1,,100b c a d b d ====，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．考点：1、基本不等式；2、不等式的放缩．16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足53cos =A ，3AB AC ⋅=． (1)求ABC ∆的面积；(2)若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）=2ABC S △；（2）a = 【解析】试题分析：（1）根据满足53cos =A ，3AB AC ⋅=，可以求得bc=5，sinA=45，利用三角形的面积计算公式可得1=sin 22ABC S bc A =△；（2）由（1），bc=5，结合b+c=6，易得b=1，c=5或b=5，c=1，从而根据余弦定理2222cos 20a b c bc A =+-=,即可求得a =．（1）∵53c o s =A ，∴54cos 1sin 2=-=A A ， 又由3A BA C ⋅=,得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==；（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算；3、余弦定理．17．已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为{}b x x x ><或1|．(1)．求实数a ，b 的值； (2)．解关于x 的不等式0>--bax cx (c 为常数）． 【答案】（1）a=1，b=2；（2）当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}． 【解析】 试题分析：（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据题意可以得到1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，根据韦达定理可以得到方程组231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而求得a=1，b=2；（2）原不等式等价于(x －c)(x －2)>0，根据一元二次不等式的解法，对c 进行分类讨论，即可得到当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．（1）由题知1，b 为方程2320ax x -+=的两根且a>0，即231b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， ∴a ＝1，b ＝2；（2）不等式等价于(x －c)(x －2)>0，∴当c>2时解集为{x|x>c 或x<2}；当c ＝2时解集为{x|x≠2，x ∈R}；当c<2时解集为{x|x>2或x<c}．考点：1、一元二次不等式；2、分式不等式转化为一元二次不等式．18．在c b a ABC ,,,中∆分别是角A 、B 、C 的对边，()()B C n c a b m cos ,cos ,2,-=-=，且n m ⊥．(1)．求角B 的大小；(2)．求sin A ＋sin C 的取值范围． 【答案】（1）B=3π；（2）]3,23(． 【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，可得bcos (2)cos C a c B =-，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，进一步变形化简可得1cos 2B =，∴B 3π=；（2）由（1）可得π32=+C A ，即23C A π=-，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即A A A A C A c o s 23s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-+=+π)6(s i n 3π+=A，从而可以得到sinA+sinC 取值范围是]3,23(． （1） 由m n ⊥，得,cos )2(cos B c a C b -=.cos 2cos cos B a B c C b =+∴ 由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，.cos sin 2)sin(B A C B =+∴又,A C B -=+π.cos sin 2sin B A A =∴又.21cos ,0sin =∴≠B A 又.3),,0(ππ=∴∈B B ；∵π=++C B A ，∴π32=+C A ，∴A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6(sin 3π+=A ，∵320π<<A ，∴πππ6566<+<A ，∴1)6(sin 21≤+<πA ，∴3sin sin 23≤+<C A ． 故sin A ＋sin C 的取值范围是]3,23(． 考点：1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．19．已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设数列{}n b 满足*)(log 3241N n a b n n ∈=+．(1)求数列{}n n b a +的前n 项和为n S ；(2)若数列n n n n b a c c ⋅=满足}{，若1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2133)41(1-+-=n n S nn ；（2）1≥m 或5-≤m ． 【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到等比数列}{n a 的通项公式为)()41(*N n a n n ∈=，∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n ，因此}{n b 是1为首项3为公差的等差数列，从而可以求得}{n n b a +的前n 项和n S ；（2）1412-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，等价于141)(2max -+≤m m c n ，可以得到数列}{n c 从第二项起是递减的，而4112==c c ，因此问题等价于求使不等式141412-+≤m m 成立的m 的取值范围，从而得到1≥m 或5-≤m ． （1）由题意知，)()41(*N n a n n ∈=，又∵2log 341-=n n a b ，∴23-=n b n∴()23)41(-+=+n b a n n n ，∴()2133)41(1-+-=n n S n n ； （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n n n ∈-==*)(,)41()23(N n n c nn ∈⨯-=∴n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c ；当2n ≥时，n n c c <+1，即n c c c c c <⋯<<=4321；∴当n=1时，n c 取最大值是41．又1412-+≤m m c n 对一切正整数恒成立，∴141412-+≤m m ； 即510542-≤≥≥-+m m m m 或得 ．考点：1、等差、等比数列的前n 项和；2、数列单调性的判断；3、恒成立问题的处理方法．20．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上． (1)．设AD=x （x≥0），DE=y ，求用x 表示y 的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）[]()2,1,2422∈-+=x xx y ；（2）如果DE 是水管，DE 的位置在AD=AE=2处，如果DE 是参观路线，则DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）在△ADE 中，利用余弦定理可得AE x AE x y ⋅-+=222，又根据面积公式可得2=⋅AE x ，消去AE 后即可得到y 与x 的函数关系式，又根据⎩⎨⎧≤≤≤≤2020AE AD 可以得到x的取值范围；（2）如果DE 是水管，则问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=xx y 的最小值，利用基本不等式22222422=-⋅≥-+xx 即可求得当2=x 时，y 有最小值为2，如果DE 是参观路线，则问题等价于问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=x x y 的最小值，根据函数2422-+=xx y 在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y 有最小值3．（1）在△ADE 中，由余弦定理：60cos 2222⋅⋅-+=AE x AE x y ⇒AE x AE x y ⋅-+=222①又∵ 60sin 212321⋅⋅===∆∆AE x S S ABC ADE ⇒2=⋅AE x ② ②代入①得2)2(222-+=xx y （y ＞0）, ∴2422-+=xx y ， 由题意可知212020≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤x AE AD ，所以函数的定义域是[]2,1，C[]()2,1,2422∈-+=∴x xx y ； （2）如果DE 是水管=y 22222422=-⋅≥-+x x , 当且仅当224x x =，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2． 如果DE 是参观线路，记()224xx x f +=，可知函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增， 故()()()521max ===f f x f ∴y max=DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长．考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．21．设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，向量()()2,1,1,+==n n a b s a ，（*N n ∈）满足b a //．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设数列}{n b 的通项公式为n b n n a a t =+（*N t ∈），若1b ，2b ，m b （*,3N m m ∈≥）成等差数列，求t 和m 的值；(3)．如果等比数列{}n c 满足11a c =，公比q 满足102q <<，且对任意正整数k ，()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，求公比q 的取值范围．【答案】（1）12-=n a n ；（2）⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，；（3）12-=q ． 【解析】试题分析：（1）由//可以得到12+=n n a S ，即2n )1(4+=n a S ，利用⎩⎨⎧=≥-=-)1()2(11n S n S S a n n n ，可得)2(21≥=--n a a n n ，即}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，从而求得通项公式12-=n a n ；（2）由)3(,,21≥m b b b m 是等差数列可得m b b b +=122，即t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ，根据m,t 是正整数，所以t-1只可能是1,2,4，从而解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； （3）易知1-=n n q c ，因为()21+++-k k k c c c 仍是该数列中的某一项，所以()()21111q q q q q q k k k k --=+--+-是该数列中的某一项，又n c 是q 的几次方的形式，所以21q q --也是q 的几次方的形式，而210<<q ，所以11412<--<q q ，所 以21q q --只有可能是q ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<412q ，所以q q q =--21，所以12-=q ． （1）∵b a //，∴12+=n n a S ，∴2)1(4+=n n a S ①当n=1，有()2111122+==a a S ，}{n a 是正项数列，∴0>n a ∴11=a 当2≥n ，有()21114+=--n n a S ②， ①-②，得()()0211=--+--n n n n a a a a ， 0>n a ，∴21=--n n a a ， ∴数列}{n a 以11=a ，公差为2的等差数列，12)1(21-=-+=n n a n ；（2）易知tn n b n +--=1212，∵)3(,,21≥m b b b m 是等差数列， 即m b b b +=122，∴t m m t t +--++=+⨯121211332，整理得143-+=t m ， ∵m,t 是正整数，所以t 只可能是2,3,5，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4m 5t 5m 3t 7m 2t ，，； 易知1-=n n q c ，∵()21+++-k k k c c c ()()21111q q q q q qk k k k --=+-=-+-仍是该数列中的某一项，记为第t 项)(*N t ∈，∴()1211--=--t k q q q q，即k 21-=--t q q q ，∵210<<q ，∴11412<--<q q ， 141<<-k t q ，又∵210<<q ，∴只有t-k=1，即q q q =--21，解得1-2q = 考点：1、数列的通项公式；2、数列综合．。