高一数学上学期期中试题

山西省金科大联考2024-2025学年高一上学期11月期中测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x $ÎR ，210x -³”的否定是“x "ÎR ，210x -<”B ．命题“x $ÎR ，2230x x --=”是真命题C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“2x >”是“1x >-”的充分不必要条件10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足由（1）知y =f(x )是奇函数，所以()()4442f f -=-=；（3）()3y f x x =+在R 上单调递增，证明如下：在R 上任取12x x >，令()()3h x f x x =+，则()()()()()()()()33221211221222121122h x h x f x x f x x f x x x f x x x x x x x -=+--=-+-+-++()()()()221212211211223f x x x x x x x x x x x x =---+-++()()()()()3221212112212122f x x x x x x x x f x x x x =-+--+=-+-，又因为0x ">，()30f x x +>，而120x x ->，所以()()312120f x x x x -+->，即()()120h x h x ->，得到()()12h x h x >，所以()3y f x x =+在R 上单调递增.。

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题，，则命题的否定为（ ）A.， B.，C.， D.，3.若，函数最小值为（ ）B.2C. D.44.若幂函数为偶函数，则（ ）A.或4 B. C.2 D.45.“”的一个必要不充分条件为（ ）A. B. C. D.6.已知不等式的解集为或，则（ ）A. B.C. D.的解集为7.已知函数，对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.{2,1,0,1,2}A =--122x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {1}-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()2()19m f x m m x =+-m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >20ax bx c ++<{1x x <-}3x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩1x 2x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-a [2,)+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[1,2]8.在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B.C. D.10.若，，且，则（ ）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ）A.的周期为4 B.的图象关于对称C. D.当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的定义域为，则的定义域为_________.13.若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14.已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设集合，.（1）当时，求与；M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22xxf x -=-a 0b ≠||||a bc c >a b>11a b<||a b >||||a cbc >()f x R ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2xf x a b =⋅+(3)1f =-()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21xf x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B R ðA B（2）当时，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17.（本小题满分15分）已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.A B A = m R ()f x (,0]x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x ()()2310f ax ax f ax ++->x a 1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n。

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.命题1x ∃>，21x m ->的否定是（）A.1x ∃>，21x m -≤B.1x ∃≤，21x m -≤C.1x ∀>，21x m -≤D.1x ∀≤，21x m -≤【答案】C 【解析】【分析】根据特称量词命题的否定形式，直接求解.【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，所以命题1x ∃>，21x m ->的否定是1x ∀>，21x m -≤.故选：C.2.“3x >”是“31x<”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当3x >时，31x <；而当31x<时，0x <或3x >，所以“3x >”是“31x<”成立的充分不必要条件.故选：A3.已知0.60.80.41.05,0.6,0.6a b c ===，则a b c 、、的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较大小.【详解】依题意，0.6011.05 1.05a >==，0.80.40.60.6b c =<=，又0.4010.60.6c <==，所以a b c 、、的大小关系是a c b >>.故选：B4.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()25f x y x -=-的定义域为（）A.()()2,55,-+∞B.[)()2,55,-+∞C.()()2,55,⋃+∞ D.[)()2,55,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则2050x x -≥⎧⎨-≠⎩，则2x ≥且5x ≠，则函数()25f x y x -=-的定义域为[)()2,55,+∞ .故选：D.5.若正实数a ，b 满足21a b +=，则11a b+有（）A.最小值，且最小值为1B.最小值，且最小值为3+C.最大值，且最大值为1D.最大值，且最大值为3+【答案】B 【解析】【分析】将代数式2+a b 与11a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b+的最值，进而可得出合适的选项.【详解】已知0a >，0b >，且满足21a b +=，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当21,2a b -==时，等号成立，因此，11a b+的最小值为3+.故选：B.6.根据表格中的数据，可以判断方程e 20x x --=的一个根所在的区间是（）x-10123e x0.371 2.727.3920.092x +12345A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可.【详解】设()e 2xf x x =--，由表格中的数据得，()10.630f -=-<，()010f =-<，()10.280f =-<，()2 3.390f =>，()315.090f =>，所以()()120f f <，又()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在(1,2)内有零点．故选：C .7.已知定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，且满足以下条件：①x ∀∈R ，−=；②()12,0,x x ∞∀∈+，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项不成立的是（）A.()()34f f <-B.若()()12f m f -<，则m 的取值范围是(),3∞-C.若()0f x x>，则()()1,01,x ∞∈-⋃+ D.函数()f x 有最小值【答案】B 【解析】【分析】A 选项，由条件得到()f x 是偶函数，在0,+∞上单调递增，故()()34f f <-；B 选项，由单调性和奇偶性得到不等式，求出13m -<<；C 选项，由()10f -=，单调性和奇偶性得到当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，得到不等式解集；D 选项，由单调性和奇偶性得到()()min 0f x f =.【详解】A 选项，由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在0,+∞上单调递增，所以()()()344f f f <=-，故A 正确；B 选项，若()()12f m f -<，则12m -<，得13m -<<，故B 错误；C 选项，()f x 是偶函数，且()10f -=，故1=0，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，故当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，若()0f x x>，则()00x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，所以1x >或10x -<<，故C 正确；D 选项，因为定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，所以()()min 0f x f =，故D 正确.故选：B8.已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若[]11,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.[3,)+∞ C.(]0,3 D.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可.【详解】易知()f x 对称轴为1x =，故()11f =-，易知()13f -=，()20f =，可得()[]11,3f x ∈-，而()()20g x ax a =+>，故()g x 在R 上单调递增，且()12g a -=-+，()222g a =+，故()[]22,22g x a a ∈-++，故[]1,3-是[]2,22a a -++的子集，可得212230a a a -+≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得[3,)a ∈+∞，故B 正确.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知R a b c ∈,,，则下列结论中正确的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b>B.若22ac bc >，则a b >C.若0a b >>，则11a b a b->-D.()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】举反例即可说明A ；由不等式的性质，即可说明B ；利用作差法即可判断C ；根据配方法即可判断D ．【详解】对A ：当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ：因为22ac b >，所以20c >，所以,a b >故B 正确；对于C ：()1111a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以1111,0b a b a >->，所以()110a b b a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即11a b a b ->-，故C 正确；对于D ：()221222a b a b ++≥--等价于22(1)(2)0a b -++≥，成立，故D 正确；故选：BCD ．10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数()[]f x x x =-，则关于函数()f x 的结论中正确的是（）A.()2.30.7f -= B.()f x 是奇函数C.()f x 在[)1,0-上是单调递增函数 D.()f x 的值域是[)0,1【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由定义计算；B 选项，取特殊值可判断，C 选项，利用解析式判断单调性；D 选项，结合函数新定义判断.【详解】[]x 表示不超过x 的最大整数，则有[]1x x x -<≤，其中Z x ∈时[]=x x ，()[]()2.3 2.3 2.3 2.330.7f -=---=---=，A 选项正确；()[]1.1 1.1 1.1 1.110.1f =-=-=，()[]()1.1 1.1 1.1 1.120.9f -=---=---=，()()1.1 1.1f f -≠-，()f x 不是奇函数，B 选项错误；[)1,0x ∈-时，[]1x =-，()[]1f x x x x =-=+，则()f x 在[)1,0-上是单调递增函数，C 选项正确；[]1x x x -<≤，[]1x x x -≤-<-，[]01x x ≤-<，即()f x 的值域是[)0,1，D 选项正确.故选：ACD.11.下列命题中正确的是（）A.已知函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间(),2-∞上是增函数，则a 的取值范围是(]0,1B.函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2C.若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有222a b +=D.函数()2221xf x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为()(),31,-∞-+∞ 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复合函数的单调性求a 的取值范围；B 选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C 选项，解含绝对值的方程；D 选项，构造函数()()1g x f x =-，利用()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，解不等式.【详解】对于A ，函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭在区间(),2-∞上是增函数，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，有函数243y ax x =-+在(),2-∞上单调递减，0a =时符合题意，A 选项错误；对于B ，()2211111114244241422222x xxx x f x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-⋅+=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，[]0,3x ∈时，11,182x⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，有1311,2822x⎡⎤⎛⎫-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，得21110,422x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-⎢ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2，B 选项正确；对于C ，若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有21a m =-，21b m =+，所以222a b +=，C 选项正确；对于D ，设()()21121xg x f x x =-=-++，x ∈R ，()()2221112121xx x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121xx x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--= ⎪++⎝⎭，即()()g x g x -=-，设12x x >，()()12121222112121x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()12212112122222221212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭，由于12x x >，故120x x ->，12220x x ->，故()()()()12211222202121x x x x x x --+>++，则()()12g x g x >，故()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，则()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，即()()()22332g tg t g t >--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∈-∞-⋃+∞，D 选项正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()21-=+xf x ，则()1f =___________.【答案】3-【解析】【分析】函数()f x 为奇函数，有()()11f f =--，代入解析式计算即可.【详解】()f x 是定义在上的奇函数，当0x <时，()21x f x -=+，则()()()11213f f =--=-+=-.故答案为：3-13.若函数37x y a -=+（0a >且1a ≠）经过的定点是P ，则P 点的坐标是________．【答案】()3,8【解析】【分析】根据x y a =的图象过0,1点可得答案.【详解】x y a =的图象过0,1点，370x y a -=+=图象由x y a =的图象右移3个单位、上移7个单位得到，故过定点()3,8．故答案为：()3,8．14.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，则()f x 的最大值为______；若()f x 在区间[],m n 上的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则n m -的最大值为______．【答案】①.3②.34+【解析】【分析】先表示出()f x 的解析式，然后作出()f x 的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦时定义域的情况，由此确定出,m n 的取值情况，即可求n m -的最大值.【详解】当23333x x x -+=--+时，解得1x =或3x =，所以()(][)()233,,13,33,1,3x x f x x x x ∞∞⎧--+∈-⋃+⎪=⎨-+∈⎪⎩，作出()f x 的图象如下图所示：由图象可知：当3x =时，()f x 有最大值，所以()()max 33f x f ==；当()34f x =时，解得34x =或32或214；当()2f x =时，352x +=或4x =，由图象可知：当33,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32n +=时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时n m -的最大值为333244++-=；当214,4m n ==时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时532544n m +-=<，由上可知，n m -的最大值为34+，故答案为：3；34+.【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U =R 集合2(430}A x x x =-+≤∣，{||31}B x x =-<∣，{22,}C x a x a a ≤=≤+∈R ∣．（1）求()U A B ð；（2）若B C B ⋃=，求a 的取值范围．【答案】（1）()U {34}A B xx x =≤≥ ∣或ð（2）(1,2)(2,)⋃+∞【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，由集合的并、补运算求解即可；（2）通过讨论C =∅和C ≠∅即可求解.【小问1详解】集合2{430}{13}A x x x x x =-+≤=≤≤∣∣，{||31}{24}B x x x x =-<=<<∣∣，()U {34}A B x x x ∴=≤≥ ∣或ð；【小问2详解】B C B ⋃= ，C B ∴⊆，①当C =∅时，22a a >+，2a ∴>，②当C ≠∅时，则222224a a a a ≤+⎧⎪>⎨⎪+<⎩，解得12a <<，综上所述，a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞；16.计算下列各式的值.（11132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）2（2）9【解析】【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；（2）由已知分别求得1x x -+和22x x -+的值，代入即可得解.【小问1详解】1132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313225214122333⨯⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为11223x x-+=，所以21112222327x x x x --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，()2221227247x x x x --+=+-=-=，所以22124729272x x x x --+--==+--.17.若函数()f x 的定义域是R ，且对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x <.（1）求()0f ，判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）解不等式()()2220f x f x x -+->.【答案】（1）()00f =，奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）()(),12,-∞-+∞【解析】【分析】（1）令0x y ==，得()00f =，即可由()()()f x x f x f x -=+-求解，（2）根据单调性的定义即可求解，（3）根据奇偶性以及单调即可求解.【小问1详解】函数()f x 对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得()()()000f f f =+，()00f =，()f x 是奇函数，证明如下：用x -代替y ，得()()()f x x f x f x -=+-，则−=−，所以()f x 是奇函数.【小问2详解】在R 上单调递增，证明：任取12x x >，则()()()()()2121121f x f x x x f x f x x =+-=+-，由于210x x -<，所以()210f x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增.【小问3详解】由()()2220f x f x x -+->可得()()222f x x f x ->-，由于()f x 在(),∞∞-+上单调递增，所以222x x x ->-，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集是()(),12,∞∞--⋃+.18.已知()22x xa f x b+=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值.（2）试判断并证明函数()f x 的单调性；（3）已知()()()11f x g x f x +=-，若对任意R x ∈且0x ≠，不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）11a b =-⎧⎨=⎩（2）增函数，证明见解析（3）8m ≤【解析】【分析】（1）由()f x 是奇函数，可得()()0f x f x +-=对任意的x 成立，可得实数a ，b 的值，代入验证后即可求解；（2）根据题意设任意的12,R x x ∈，()12x x <，由单调函数定义即可判断；（3）利用换元法令22xxt -=+，若不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，再根据基本不等式性质即可求解.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，则()()22022x x x x a af x f x b b--+++-=+=++，整理得：()()22220xxa b ab -++++=，要使上式对任意的x 成立，则0220a b ab +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，当11a b =⎧⎨=-⎩时，()2121x x f x +=-的定义域为{}|0x x ≠，不合题意，当11a b =-⎧⎨=⎩时，()2121x x f x -=+的定义域为R ，符合题意，所以11a b =-⎧⎨=⎩【小问2详解】任意的12,R x x ∈，()12x x <有()()()()()12121212122222121021212121x x x x xx x x f x f x ----=-=<++++，所以()()12f x f x <，故函数()f x 是R 上的增函数；【小问3详解】()()()121x f x g x f x +==-，因为()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于()()22222218x xx x m --+-≥+-恒成立，令22x x t -=+，0x ≠，则222x x t -=+>=，则2218t mt -≥-，可得16m t t≤+在2t >时恒成立，由基本不等式168t t+≥，当且仅当4t =时，等号成立，故8m ≤.19.已知二次函数()f x 满足()()2f x f x -=，且该函数的图象经过点()2,3-，在x 轴上截得的线段长为4，设=−B .（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间0,2上的最小值；（3）设函数()1932xx h x +=--，若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）答案见解析（3）)2,∞-+【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据2a <-，22a -≤≤，2a >分类讨论求解即可；（3）由题意()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用换元法求解函数()h x 的最小值，结合（2）中()g x 的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为()()2=f x f x -，则()f x 的图象关于直线1x =对称且在x 轴上截得的线段长为4，()f x 的图象与x 轴的交点分别为()1,0-，()3,0，所以设()()()()130f x a x x a =+-≠.该函数的图象经过点()2,3-，解得1a =，所以()223f x x x =--.【小问2详解】因为()()223g x x a x =-+-，其对称轴方程为22a x +=，当202a +<，即2a <-时，()min 03y g ==-.当2022a +≤≤，即22a -≤≤时，()2min 22324a a y g ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭当222a +>，即2a >时，()min 223y g a ==--综上所述，当2a <-时，min 3y =-，当22a -≤≤时，()2min234a y +=--，当2a >时，min 23y a =--.【小问3详解】若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，等价于()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦函数()()2213179323332324x x xx x h x +⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，所以139x ≤≤，所以当332x=时，()h x 取得最小值174-当2a <-时，()()minminh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1734-≥-，不成立当22a -≤≤时，()()min minh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2217344a +-≥--，解得2a ≤--2a ≥-22a ≤≤当2a >时，()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以17234a -≥--，解得58a ≥，所以2a >综上所述，a 的取值范围是)2,∞-+.【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题.。