当前位置：文档之家 › _二次函数与几何图形动点问题

_二次函数与几何图形动点问题

  • 格式：doc
  • 大小：141.50 KB
  • 文档页数：2

A 专题九 二次函数与几何图形动点问题

中考目标：

1、 灵活运用二次函数、特殊三角形和四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积、还有存在、最值等问题；

2、 能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解决问题；

3、 运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。

一．考点归纳：特殊图形的定义、性质、判定等，图形的变化：轴对称、平移、旋转（特殊的是中心对称）

二次函数部分的归纳：

1、二次函数的表达式：一般式 ，顶点（ ， ） 对称轴x= ， 还有 式；

2、二次函数的图象是 ，二次函数的性质：

。

二、考点探究

活动一：二次函数与三角形

例1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

练习：如图，二次函数y= x2axb的图像与x轴交于A(21，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；

(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P58 T5

中考考点：二次函数与四边形

例1. 如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其C点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶

点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

跟踪练习：《题型专练》P57 T3；P59 T7

中考考点：二次函数与三角形、四边形的面积 y

A B C

O x 例1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），

过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，

求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，

请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

例2.如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1) 求A、B、C三点的坐标；

(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

练习.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P57 T4；P59 T8

四、课后作业：

五、选做 如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4,0)、B(-2,0)、E（0,8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． x „ -3 -2 1 2 „

y „ -52 -4 -52 0 „

合集下载

二次函数动点问题

二次函数动点问题

二次函数中的动点问题探究

【解题方法和策略】

二次函数中直角三角形解题思路

：

（1）分类讨论：按直角顶点进行讨论

（2）勾股定理

（3）相似三角形，经常用K型相似

二次函数中等腰三角形解题思路：

（一）

代数方法：

（1）求出或用变量（或者用未知数）表示出三角形三条边的长

（2）根据题意确定三边中某两边的相等关系，等到方程或方程组

（3）解方程或方程组，若方程有解，则解即为所求，写出坐标即可；若无解，则不存在满

足题

意的三角形

（二）几何方法：找到满足条件的等腰三角形

两圆一线：

1.如果知道底边是定长，可以做出底边中垂线找到所需的点

2.如果一腰是定长，则分别以定长的两个端点为圆心，找到需要的点；

二次函数中等腰直角三角形问题：

根据题意分情况讨论边的情况，根据等腰三角形“三线合一”以及“直角三角形斜边中线等

于斜边一半”解题

【典型例题】

一、二次函数中直角三角形

【例1】如图，已知直线1

1

2yx

与y

轴交于点A，与x

轴交于点D，抛物线

21

2yxbxc

与直线交于A、E(4,m)两点，与x

轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，

0).

⑴求该抛物线的解析式；

⑵设动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标..【例2】如图，直线y=2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=

﹣x2

+bx+c经过A，C两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD

的面积为．

①求点D的坐标；

②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．【练习1】如图，已知关于x的二次函数y=﹣x2

+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两

点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求出二次函数的关系式；

（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD=m，△PCD

的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象及x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕

动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32bxaxy〔a≠0〕及x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，及y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴及x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

(3) 如图②，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

. -

- .word.zl _ Q

_ G _ P_ O 二次函数中的动点问题

三角形的存在性问题

一、技巧提炼

1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式

〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；

〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；

2、二次函数y=ax2+bx+c与x轴是否有交点，可以用方程ax2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；

判别式acb42 二次函数与x轴的交点情况 一元二次方程根的情况

△ ＞ 0 与x轴交点 方程有的实数根

△ ＜ 0 与x轴交点 实数根

△ ＝ 0 与x轴交点 方程有的实数根

3、抛物线上有两个点为A〔x1，y〕，B〔x2，y〕

(1)对称轴是直线2x21xx

(2)两点之间距离公式：

两点2211y,xQ,y,xP，

那么由勾股定理可得：221221)()(yyxxPQ

练一练：A〔0，5〕和B〔－2，3〕，那么AB＝。

4、 常见考察形式

1〕A〔1,0〕，B〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系

坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形；

总结：两圆一线

方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

. -

二次函数与圆综合动点问题(甄 选)

二次函数与圆综合动点问题(甄 选)

1 / 5doc格式 可编辑 二次函数与圆综合动点问题

二次函数与圆综合动 点问题

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

2．如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA•没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm．

（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．

（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

C M

O x y

1 3 4

1 A

1 B D y＝x＋b

2

O P A Q M

B

y

O

x A B P

M Q

C 2 / 5doc格式 可编辑

4．如图，在平面直角坐标系中，半圆M的圆心M在x轴上，半圆M交x轴于A（－1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，弦AC的垂直平分线交y轴于点D，连接AD并延长交半圆M于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）求证：AC＝CE；

（3）若P为x轴负半轴上的一点，且OP＝21AE，是否存在过点P的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由．

5．如图所示，在直角坐标系中，⊙P经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（－6，0）、B（0，－8）两点，两点．