§6 - 3 厄米算符的对
易关系
一 算符的一般运算规则和对易式
1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I
对于任意的波函数，有 ψψ=I .
(6. 42)
2 ) 算符A
ˆ和B ˆ相等 如果对于任意的波函数ψ,都有
ψψB A
ˆˆ=, 则有 B A ˆˆ=.
(6. 43)
3 ) 算符A
ˆ与B ˆ之和B A ˆˆ+
对于任意的波函数ψ，有
ψψψB A B A ˆˆ)ˆˆ(+=+.
(6. 44)
显然：
A B B A ˆˆˆˆ+=+,
(满足交换律)
C B A C B A ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++,
(满足结合律)
可证:
● 两个线性算符之和仍为线性算符.
● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。
4 ) 算符A
ˆ与B ˆ之积B A ˆˆ
对于任意的波函数ψ，有
)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A =. (6. 45)
问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？
研究两个算符作用是否与次序有关？
2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即
0ˆˆˆˆ≠-A B B A
. ● 对易式的定义
A B B A B A
ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-≡. (6. 46)
若0]ˆ,ˆ[=B A
，则称算符A ˆ与B ˆ对易； 若]ˆ,ˆ[B A ≠ 0，则称算符A ˆ与B ˆ不对易。
● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。具体
而言，若A A
ˆˆ=+，B B ˆˆ=+，则有 A B A B B A ˆˆˆˆ)ˆˆ(==+++,
(6. 47)
只有当0]ˆ,ˆ[=B A
或B A A B ˆˆˆˆ=时，才有 B A B A ˆˆ)ˆˆ(=+,
这时两个厄米算符A
ˆ与B ˆ的积B A ˆˆ才是厄米算符。
● 对易式满足下列恒等式：
]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A
±=±, ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B C B A C B A
+=, (6. 48)
]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B A B C A C B A
+=.
3、 逆算符1ˆ-A
若由 φψ=A ˆ 能够唯一地解出ψ，则有
φ1ˆ-A ψ=. 若算符A
ˆ的逆算符1ˆ-A 存在，则有 I A A A A ==--ˆˆˆˆ11.
可以证明，若A ˆ与B ˆ的逆算符均存在，则
有
111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A . (6. 49)
二 学的基量子力本对易式
1、动量算符的各个分量之间可对易
0]ˆ,ˆ[=y x p p ,
0]ˆ,ˆ[=z y p p
, 0]ˆ,ˆ[=x z p p
. 由坐标表象中的动量算符为
∇-=ηi ˆp
立即可证.
2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量
算符各分量之间的对易式，重要！）
αββαδ=ηi ],[p x ,
(6.50)
其中z y x ,,,=βα或1, 2, 3，这里用了克罗内克符号
1,0.
αβ
αβαβ=⎧δ=⎨≠⎩.
可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易
0]ˆ,[=y p
x , 0]ˆ,[=z p
x , 0]ˆ,[=x p y , 0]ˆ,[=z p
y , 0]ˆ,[=x p
z , 0]ˆ,[=y p z ; 动量算符的相同分量之间是不可对易的
ηi ]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[===z y x p z p y p
x . 凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗常量h 在力学量的对易关系中起着关键性的作用。 证明:
考虑坐标算符x 和动量算符的x 分量
x p
ˆ. 对于任一波函数ψ，有 ψψx
x p
x x ∂∂
-=ηi ˆ,
ψψψψx
x x x x p
x ∂∂
--=∂∂-=ηηηi i )(i ˆ. 将以上两式相减，得
ψψηi )ˆˆ(=-x p
p
x x x . 由于ψ 是体系的任意波函数，所以有
ηi ˆˆ=-x p p
x x x . 其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）
三 角动量算符各分量之间的对易式
1、角动量算符各分量之间
(6. 51)
2、角动量算符平方与各分量之间
),,(.0]ˆ,ˆ[2z y x L L
==αα.
(6. 52)
3、角动量算符各分量与空间坐标分量
之间
0],ˆ[=x L x ,
z y L
x ηi ],ˆ[=,
y z L
x ηi ],ˆ[-=, z x L
y ηi ],ˆ[-=, 0],ˆ[=y L y , x z L
y ηi ],ˆ[=, （6. 53）
y x L z ηi ],ˆ[=, x y L
z ηi ],ˆ[-=,
0],ˆ[=z L
z .
