浙江省嘉兴市高三数学第一模拟考试试题 理(含解析)新人教A版
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- 1 - 2015年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2015•嘉兴一模）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则（∁UA）∪B=（ ）
A． ∅ B． {1，2，3，4} C． {2，3，4} D． {0，11，2，3，4}
【考点】： 交、并、补集的混合运算．
【专题】： 集合．
【分析】： 根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．
【解析】： 解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，
∴∁UA={3，4}，
则（∁UA）∪B={2，3，4}，
故选：C．
【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2015•嘉兴一模）已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（ ）
A． 1或﹣1 B． 1 C． ﹣1 D． 0
【考点】： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】： 直线与圆．
【分析】： 直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．
【解析】： 解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，
∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．
故选：D．
【点评】： 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．
3．（5分）（2015•嘉兴一模）已知向量=（3cosα，2）与向量=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】： 三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】： 根据∥，列出方程，求出sin2α=1，再根据α是锐角，求出α的值即可．
【解析】： 解：∵=（3cosα，2），=（3，4sinα），且∥；
∴3cosα•4sinα﹣2×3=0，
解得sin2α=1； - 2 - ∵α∈（0，），
∴2α∈（0，π），
∴2α=，
即α=．
故选：A．
【点评】： 本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了三角函数的求值问题，是基础题目．
4．（5分）（2015•嘉兴一模）三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A． 若a∥α，a∥β，则α∥β
B． 若α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ
C． 若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥α，c⊥b，则α⊥β
D． 若α∩β=a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ
【考点】： 空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： 运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可．
【解析】： 解：①在正方体中可以判断，A命题不正确；
②设作a′⊥γ，a′是过a直线上一点O的直线，
∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，
∴a′⊂α，a′⊂β，
∴a′=α∩β，
∵α∩β=a，而2个平面的交线只有一条，
∴a与a′重合，
故a⊥γ，故答案B是 正确的命题．
③当a∥b时，C命题不正确；
④当α，β，γ两两相交于同一条直线a时，
也存在α∩β=a，c⊂γ，c∥α，c∥β，这种情况，故D命题不正确，
故选：B
【点评】： 本题综合考查了空间直线，平面的常见的位置关系，难度不大，可以借助正方体，墙角，几何模型判断，属于中档题． - 3 -
5．（5分）（2015•嘉兴一模）已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0，条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． [﹣1，1] B． [﹣4，4] C． （﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D． （﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）
【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】： 简易逻辑．
【分析】： 先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围．
【解析】： 解：由x2﹣3x﹣4≤0得﹣1≤x≤4，即p：﹣1≤x≤4，
由x2﹣6x+9﹣m2≤0得[x﹣（3﹣m）][x﹣（3+m）]≤0，
①若m≥0，则不等式等价为3﹣m≤x≤3+m，
若p是q的充分不必要条件，则，即，解得m≥4．
②若m＜0，则不等式等价为3+m≤x≤3﹣m，
若p是q的充分不必要条件，则，即，解得m≤﹣4．
综上m≥4或m≤﹣4，
故m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
故选：C
【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用．根据条件求出不等式的解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．
6．（5分）（2015•嘉兴一模）已知直线l：xcosα+ycosα=2（α∈R），圆C：x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0（θ∈R），则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 与α，θ有关
【考点】： 直线与圆的位置关系．
【专题】： 直线与圆．
【分析】： 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，从而得出结论．
【解析】： 解：圆C：x2+y2+2xcosθ+2ysinθ=0（θ∈R），即（x+cosθ）2+（y+sinθ）2=1，圆心C（﹣cosθ，﹣sinθ），半径为r=1．
圆心C到直线l：xcosα+ycosα=2的距离为d==2+cos（θ﹣α），
当cos（θ﹣α）=﹣1时，d=r，直线和圆相切；
当cos（θ﹣α）＞﹣1时，d＞r，直线和圆相离，
故选：D．
【点评】： 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
- 4 - 7．（5分）（2015•嘉兴一模）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）
A． [，2+] B． [，] C． [，] D． [，+1]
【考点】： 双曲线的简单性质．
【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 利用S△ABF=2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．
【解析】： 解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，
∴r2﹣r1=2a，
∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，
∴|OA|=|OB|=|OF|=c，
∴r22+r12═4c2，
∴r1r2=2（c2﹣a2）
∵S△ABF=2S△AOF，
∴r1r2═2•c2sin2α，
∴r1r2═2c2sin2α
∴c2sin2α=c2﹣a2
∴e2=，
∵α∈[，]，
∴sin2α∈[，]，
∴e2=∈[2，（+1）2]
∴e∈[，+1]．
故选：B． - 5 - 【点评】： 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．
8．（5分）（2015•嘉兴一模）已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（ ）
A． 当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点
B． 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点
C． 无论k为何值，均有3个零点
D． 无论k为何值，均有4个零点
【考点】： 函数零点的判定定理．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用．
【分析】： 函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数即方程f[f（kx）+1]+1=0的解的个数，从而解方程可得．
【解析】： 解：令f[f（kx）+1]+1=0得，
或
解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=；
由f（kx）+1=0得，
或；
即x=0或kx=e；
由f（kx）+1=得，
或；
即ekx=1+，（无解）或kx=；
综上所述，x=0或kx=e或kx=；
故无论k为何值，均有3个解；
故选C．
【点评】： 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．
二、填空题（本大题共7小题，第9～12题每题6分，第13～15题每题4分，共36分．） - 6 - 9．（6分）（2015•嘉兴一模）若实数x，y满足不等式组，目标函数z=x+2y，若a=1，则z的最大值为 6 ，若z存在最大值，则a的取值范围为 [，+∞） ．
【考点】： 简单线性规划．
【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．若z存在最大值，利用数形结合确定满足条件的不等式关系即可．
【解析】： 解：（1）若a=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，2），
代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6．
（2）由ax+y≤4，得y≤﹣ax+4，
则直线y=﹣ax+4过定点（0，4），
若﹣a≥0，即a≤0时，目标函数z=x+2y无最大值，此时不满足条件．
若﹣a＜0，即a＞0时，
要使z存在最大值，
则直线y=﹣ax+4的斜率﹣a，
满足﹣a，
即a≥，
故此时a的取值范围为[，+∞）
故答案为：6，[，+∞）
