含绝对值不等式(课堂PPT)

|a+b|-|a-b|
≤
2|a| |a+b|+|a-b| 2|b| ≤ |a+b|+|a-b|
≤
1.若|a-c|<h , |b-c| <h ,则下列不等式一定成立的是（ A）
(A) |a-b|<2h
(B) |a-b|>h
(C) |a-b|<h
(D) |a-b|>h
2. 已知 |a-c|<1 , 求证 |a|< |c|+1
(2) ( A B ) (a b)
＜ ＜


[-3，3]
[-1，1]
2.函数y=|x|-|x+3|的值域是 3.函数y=|x-2|-|x-3|的值域是
小结
本节课我们主要学习了以下主要内容 1.绝对值不等式基本定理以及其2个推论.
2.绝对值不等式基本定理的主要应用，特 别是在解决某些函数值域时更显优越性.
定理证明
先证:｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜ 证法二
证明：
2
a b
2
2
a b
2

2
a b 2 ab a b 2 ab
2
2 ab 2 ab
2
0
2
(a b) ( a b )
ab a b
(当且仅当 ab 0时等号成立）
下面证明:｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜Fra bibliotek知识的建构
绝对值不 等式定理 绝对值不等式定理 的两个重要的推论 应用(证明不 等式,求值域
作业
课本22页习题 6.5 第1，2，3 题.
故，原不等式证毕
.

• 对于不等式 |ax＋b|＜c (c＞0)，乃基本不等式 的推广，应用整体思想，视ax＋b为一个整体， 可迅速地将原不等式转化为－c＜ax＋b＜c．
第2页，共12页。
• 例1 解不等式 |3x－4|≥x＋2 • 解绝对值不等式，重在去绝对值符号，回绕
此来展开思路，不难产生如下想法． • 思考一：讨论3x－4的符号去绝对值符号； • 思考二：讨论x＋2的符号； • 思考三：直接去绝对值符号． • 原不等式可化为 • 3x－4≤－(x＋2) 或 3x－4≥x＋2 • 解得 x≤1/2 或 x≥3．
• 解得 x＜－2 或 x＞3
• 因此 ∁U A＝{x | －2≤x≤3 }． • ∵ ∁U A∩B＝B，∴ B ∁U A • 当c≤0时，B＝，显然B是A的子集．
• 当c＞0时，由 |x＋1|＜c 得 －c＜x＋1＜c，故 －c－1＜x＜c－1．
∵AB，∴c－－c－1≤1≥3 －2
解得 c≤1． ∴ 0＜c≤1．
例 解关于x的不等式 a|x－1|＞2＋a
• 当a＜0时，x∈R． 当c≤0时，B＝ ，显然B是A的子集．
观察：|x－3|－|x＋1|＜1的点应位于点的右侧，故不等式的解集为 {x | x＞1/2}． 当a＝1时，y＝a，此时函数 y＝(1－a)x－a＝－1为常函数，
• 当a＝0时，x∈R且x≠0。 1) 函数y＝|x－3|－|x＋1|的值域为____．
Ⅲ)
x＞3 (x－3)－(x＋1)＜1
I）
的解集为空集；Ⅱ）的解为
1 2
＜x≤3；Ⅲ）的解为 x＞3
综上所述，原不等式的解集为{x | x＞12 }． 另解: 注意到式子|x－3|－|x＋1|表示数轴上坐标为x的一点到坐标 为3的点的距离与到坐标为－1的点的距离的差．

方法技巧
1.形如|ax+b|≤c(≥c)(c>0)的三种解法 解法一:等价法 |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或ax+b≥c) 解法二:分类讨论法
|ax+b|≤c⇔aaxx
b b
0, c
或ax(axbb)0,
c.
解法三:平方法
|ax+b|≤c⇔(ax+b)2≤c2. 2.形如|x+a|+k|x+b|≤c(≥c)的解法
x
|
x
5 2
或x
7 2
.
(2)解法一:因为|x+1|+|m-x|≥|x+1+m-x|=|m+1|,
由题意得|m+1|≥6,
即m+1≥6或m+1≤-6,
解得m≥5或m≤-7,
即m的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞).
2x m 1, x m,
解法二:①当m<-1时, f(x)=m 1, m x 1,
2
围.
解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,
易求得f(x)min=
5 2
,
依题意得a2+ 1 a+2≤ 5 ⇔-1≤a≤1 .
2
2
2
考点突破
考点一 绝对值不等式的解法
典例1 解不等式:|x-1|-|x-5|<2. 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立, ∴x<1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解集为(-∞,4).

对 值 的
Bx xa1
一 元
且AB=R，求 a 的取值范围。
一 次 不
2.已知 Ax x12
等 式 及
Bx ax3
其 解
且AB=，求 a 的取值范围。 法
Tieling teachers’ college
sun wenjing
所以满足该不等式的x取值集合为：
一 次
｛x︱x<-a 或 x>a｝
不 等
式
Tieling teachers’ college
Sun wenjing
含有绝对值的不等式
小结： 由绝对值的几何意义可知，该不等式表示的是：
3x+2<-5 或 3x+2>5
含 有
︱x︱< a 的解集是：｛x︱-a<x<a｝ 所以满足该不等式的x取值集合为：
绝 对
sun wenjing 所以满足该不等式的x取值集合为：
值
所以满足该不等式的x取值集合为： ｛x︱ -2<x<6 ｝
的
数轴上到0点的距离大于a的点的集合。
课堂练习：教材61页练习1、2题 ︱x︱= a (a>0)
-a
0
Tieling teachers’ college
a
x
一 元
例1 ︱x－2︱< 4
Sun wenjing
含有绝对值的一元一次不等式及 其解法
Tieling teachers’ college
含有绝对值的方程
︱x︱= a (a>0)
X= a 或 -a
含 有
绝
对
-a 0 a
x
值 的
一
由此可见，此绝对值方程表示的是：