2.3双曲线课件(选修2-1)

2．3.1

双曲线的标准方程

[对应学生用书P25]

在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．

问题1：若动点M满足|MA－MB|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？

提示：x24－y25＝1.

问题2：若动点M满足|MC－MD|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？

提示：y24－x25＝1.

双曲线的标准方程

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

焦点坐标 (±c,0) (0，±c)

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1.

2．在双曲线中，a>0且b>0，但a与b的大小关系不确定．

3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．

[对应学生用书P26]

用待定系数法求双曲线方程

[例1] 已知双曲线过点P(－2，－3)，Q153，2两点，求双曲线的标准方程．

[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将

两点代入，简化运算过程．

[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，

∵P(－2，－3)，Q153，2两点在双曲线上．

∴ (－2)2a2－(－3)2b2＝1，1532a2－(2)2b2＝1，

解得 1a2＝1，1b2＝13，即a2＝1，b2＝3，

∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.

当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，

∵P(－2，－3)，Q 153，2两点在双曲线上，

椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论

圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.

定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka

证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab 两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为双曲线22221xyab弦AByxMF1F2OAB（AB不平行y轴）的中点，则有22ABOMbkka

证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab

两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka

例1、已知椭圆22221xyab，的一条弦所在的直线方程是30xy，弦的中点坐标是2,1M（），则椭圆的离心率是（ ）

A、 12 B、22 C、32 D、55

2.3.1 双曲线及其标准方程

课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2.双曲线定义的集合表示

设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.

注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:

①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.

②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.

(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”. ①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.

②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.

3.双曲线的标准方程

标准方程 22xa-22yb=1

(a>0,b>0) 22ya-22xb=1

(a>0,b>0)

双曲线在

坐标系中

的位置

焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系 c2=a2+b2

注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 妙用双曲线的焦半径

双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径．已知点00()Mxy，在双曲线22221(00)xyabab，上，12FF，分别为双曲线的左、右焦点，10MFaex，20MFaex．同理，焦点在y轴上的双曲线22221(00)yxabab，的焦半径为10MFaey，20MFaey，其中双曲线的焦点自下至上为12FF，．

例1 已知12FF，是双曲线22221xyab（00ab，）的两焦点，以线段12FF，为边作正三角形12MFF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

Ａ．423 Ｂ．31 Ｃ．312 Ｄ．31

解：如图，1MF的中点为()PPPxy，，则P点的横坐标2Pcx，1PFc，又由焦半径公式1PPFexa，

得2cccaa，得22220caac，有2220ee，

解得13e（13e舍去），故选（D）．

点评：利用焦半径建立关系式，得出关于e的方程，从而获解．

例2 经过双曲线2213yx的右焦点2F作倾斜角为30的直线，与双曲线交于A、Ｂ两点，1F为左焦点，求1FAB△的周长．

解：由双曲线方程，得1a，3b，2c，2e．

设1122()()AxyBxy，，，，则AB的方程为3(2)3yx． 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 于是22133(2)3yxyx，，，消去y，得284130xx．

由根与系数的关系可求得21332xx．

∴2213133ABxx．

∵11()AFexa，12BFexa，

∴112133AFBFexx．