第1页/共7页 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 第2页/共7页 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
函数的极值与导数(教案)
第一章：极值的概念
教学目标：
1. 理解极值的概念；
2. 能够找出函数的极值点；
3. 能够判断函数的极值类型。
教学内容：
1. 引入极值的概念；
2. 讲解极值的判断方法；
3. 举例讲解如何找出函数的极值点；
4. 讲解极大值和极小值的概念；
5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。
教学活动：
1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；
2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；
3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；
4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。
作业布置：
1. 练习找出给定函数的极值点；
2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。
第二章：导数的基本概念
教学目标： 1. 理解导数的概念；
2. 能够计算常见函数的导数；
3. 能够利用导数判断函数的单调性。
教学内容：
1. 引入导数的概念；
2. 讲解导数的计算方法；
3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；
4. 讲解导数的应用。
教学活动：
1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；
2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；
3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；
4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。
作业布置：
1. 练习计算给定函数的导数；
2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。
第三章：函数的单调性
教学目标：
1. 理解函数单调性的概念；
2. 能够利用导数判断函数的单调性；
3. 能够找出函数的单调区间。
教学内容： 1. 引入函数单调性的概念；
2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；
3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；
4. 讲解函数单调性的应用。
教学活动：
1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；
专题3.2.2 重难点之导数与函数极值、最值重难点突破
一、考情分析
1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，
3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
二、经验分享
三、考点梳理
知识点1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
知识点2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
知识点3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
三、题型分析
重难点题型突破1 求函数的极大值与极小值
例1、 （1）函数f(x)＝13x3－4x＋13的极大值是____，极小值是____．
【答案】173 ，－5
【解析】 f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
1 §3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 2 (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．( √ )
