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高考数学《立体几何》练习题及答案

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立体几何

1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．2 B．1

C． D．

【答案】B

2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]

【答案】D

【解析】

3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCDABCD中，动点E在棱1BB上，动点F在线段11AC上，O为底面ABCD的中心，若1,BExAFy，则四面体OAEF的体积

A．与,xy都有关 B．与,xy都无关

C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关

【答案】B

4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]

5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为

A．322

B．23

C．354 D．4515

【答案】C

6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]

【答案】D

【解析】

7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A-BD-C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是

A．BC与平面A1BE内某直线平行 B．CD∥平面A1BE

C．BC与平面A1BE内某直线垂直 D．BC⊥A1B

【答案】D

8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]

【答案】D

【解析】

9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的体积为________.

【答案】33π24R

10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]

【答案】4

11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABCD中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若1BP∥平面1ABM，则1CP的最小值是________．

【答案】305

【解析】

【分析】

由面面平行找到点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，再找出点P的位置，使1CP取得最小值，即1CP垂直DN于点O，最后利用勾股定理求出最小值.

【详解】

取BC中点N，连接11,,BDBNDN，作CODN，连接1CO，

因为平面1BDN∥平面1ABM，所以动点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，

当点P与点O重合时，1CP取得最小值，

因为1115222552DNCODCNCCO，

所以221min11130()155CPCOCOCC.

故1CP的最小值是305.

【点睛】

本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P的位置，再通过解三角形的知识求最值.

12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．

【答案】213

【解析】

【分析】

根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.

【详解】由三视图还原几何体如下图所示：

设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，

则OQ平面PAB，OG平面ABCD，E为AB中点，

四边形OGEQ为矩形，

112OQGEBC，22333PQPE，

外接球的半径：22213RGEPQ.

故答案为213.

【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.

13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]

【答案】

【解析】

14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]

【答案】13

15．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP平面BCP，90APB，BPBC，M为CP的中点．求证：

（1）

APBDMBMACP平面ABCDCPAPAPBDMBDMAPBDMABPBCPBP90APBAPBPAPABPAPBCPBMBCPAPBMBPBCCPBMCPAPCPPAPCP，ACPBMACP

16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV中，二面角DBCV为60，E为BC的中点.

（1）证明：VEBC；

（2）已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60，求.VAVF

【解析】 A B C D P

M

A B C D P

M

O

17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．

（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．

（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．

【解析】

【分析】

（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l；

（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解

直线AQ与平面PCD所成角的正弦值即可．

【详解】（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD?平面PCD．

∴AB∥平面PCD，

∵AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，

∴AB∥l；

（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，且AB=2，

∴13BEAEAEBC,,，

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，

则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则020,002,310,300DPCE,,,,,,,,，

∴0,1,1F，3000,11310022AEAFDCDP,,,,,,,,,,，

设平面PCD的法向量为,,xyzn，有0PDn，0CDn，得133，，n，

设1AQACAP，则321AQ,,，

再设(3,,)AQmAEnmnnAF，

则3321mnn，解之得23mn，

∴2223333AQ,,，

设直线AQ与平面PCD所成角为α，

则3105sincos,35AQAQAQnnn，

∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为310535．

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.

18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABCABC中，1ABACAA，侧面11ABBA底面ABC，D是BC的中点，160BBA，1BDAB.

（1）求证：ABC△为直角三角形；

（2）求二面角1CADB的余弦值．

【解析】

（1）取AB中点O，连接OD，1BO，易知1ABB△为等边三角形，从而得到1BOAB，结合1BDAB，可根据线面垂直判定定理得到AB平面1BOD，

由线面垂直的性质知ABOD，由平行关系可知ABAC，从而证得结论；（2）以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC和平面ADB的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果.

【详解】

（1）取AB中点O，连接OD，1BO，

在1ABB△中，1ABBB，160BBA，1ABB△是等边三角形，

又O为AB中点，1BOAB，

又1BDAB，111BOBDB，11,BOBD平面1BOD，

AB平面1BOD，

OD平面1BOD，ABOD，

又ODAC∥，ABAC，

∴ABC△为直角三角形.

（2）以O为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

令12ABACAA，

则1,2,0C，1,0,0A，0,1,0D，1,0,0B，10,0,3B，

11,0,3BB，0,2,0AC，1,1,0AD，

1111,2,3ACACCCACBB，

设平面1ADC的法向量为,,xyzm，10230ADxyACxyzmm，

令1x，则1y，3z，1,1,3m，

又平面ADB的一个法向量为0,0,1n，

315cos,5113mn，

二面角1CADB为钝二面角，二面角1CADB的余弦值为155.

【点睛】

本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.

19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]

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高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析

高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析

选填训练4答案

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在四面体𝑂−𝐴𝐵𝐶中，𝐺是底面△𝐴𝐵𝐶的重心，且𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑧𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则log3|𝑥𝑦𝑧|等于 ( )

A. −3 B. −1 C. 1 D. 3

【答案】A

解：连结𝐴𝐺，

𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +13(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

+13(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )

=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑧𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴𝑥=𝑦=𝑧=13，

则𝑙𝑜𝑔3|𝑥𝑦𝑧|=𝑙𝑜𝑔3127=−3．

2. 在△𝐴𝐵𝐶中𝐴=30°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=𝑎，若△𝐴𝐵𝐶仅一个解时，则𝑎的取值范围是( )

A. 𝑎≥4 B. 𝑎=2 C. 𝑎≥4或𝑎=2 D. 无法确定

【答案】C

解：当𝑎=𝐴𝐶sin30°=4×12=2时，以𝐶为圆心，以𝑎=2为半径画弧，与射线𝐴𝐷只有唯一交点，

此时符合条件的三角形只有一个，

当𝑎⩾4时，以𝐶为圆心以𝑎为半径画弧时，在从垂足到𝐴点之间得不到交点，交点只能在垂足外侧，三角形也是唯一的，

∴𝑎≥4或𝑎=2，故选C．

3. 设两个向量𝑒1⃗⃗⃗ ，𝑒2⃗⃗⃗ 满足|𝑒1⃗⃗⃗ |=2，|𝑒2⃗⃗⃗ |=1，𝑒1⃗⃗⃗ ，𝑒2⃗⃗⃗ 之间的夹角为60°，若向量2𝑡𝑒1⃗⃗⃗ +7𝑒2⃗⃗⃗ 与向量𝑒1⃗⃗⃗ +𝑡𝑒2⃗⃗⃗ 的夹角为钝角，则实数𝑡的取值范围是( )

高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值．

2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2）求二面角平面APD与平面ABC的余弦值．

4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值．

6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1，AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．

(完整)高中数学《立体几何》大题及答案解析.doc

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高中数学《立体几何》大题及答案解析 ( 理)

1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，

AD2 ， DC o

SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ∠ ABM=60。

（ I ）证明： M 是侧棱 SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。

2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱

DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC

的角的大小

ABC-A 1B1C1 中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，

（Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成

A 1 C1

B1

D E

A C

B

3. （ 2009 浙 江 卷 ） 如 图， DC 平 面 ABC ， EB / / DC ， AC BC EB 2DC 2 ，

ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（ I ）证明： PQ / / 平面 ACD ；（ II ）求 AD 与平

面 ABE 所成角的正弦值． 4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，

PD 底面 ABCD ， 点 E 在 棱 PB 上 . （ Ⅰ ） 求 证 ： 平 面

AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，

求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .

5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ，

PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交

PD 于点 M ．

（ 1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ；

（ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《立体几何》五

1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.

2.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积．

3.如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．

(1)若四点F，B，C，E共面，AB=a，求x的值；

(2)求证：平面CBE⊥平面EDB．

4.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.

5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，AA1⊥底面ABC，E，F分别为棱AA1,BC的中点．

（1）过FA1作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线BB1交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角B-FH-A1的余弦值．

6.如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.

(1)证明:GH∥平面ACD;

(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．求证：

（1）D，B，F，E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P,Q,R三点共线．