利用矩阵搜索求所有最长公共子序列的算法
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一
（ Ｄ， Ｂ）均属 于 Ｌ Ｓ Ｘ ， ）， Ｘ， Ｂ， Ａ， Ｃ （ ｙ 即 ｙ有 ３个 Ｌ Ｓ Ｃ ．
１ ２ 传统 解法 ＿
传统 的 Ｌ Ｓ解 法是 采用动 态规 划算法 （ ｙ ａ ｃ ｒｇａ ｎ ） Ｃ Ｄ ｎ ｍｉ Ｐ ｏ ｒｍｉｇ 来解决 ． 解法可 以用一个 递归 函数来 其
ｆ若 。 ：ｏ ｏ 或Ｊ＝ ：
１
｝
【 ｘｃ［一 １力 ， Ｅ， １ ） ｉｊ＞ ０且 ． ≠ ＹＪ ｍａ （ ， ｃ ｉＪ一 ］ 若 ， ＝ ７ ２ 引进 一个 二维 数组 ｃ， ｃ ｉ ］记 录 ｘ 与 ｙ 的 Ｌ Ｓ的长 度． 用 Ｅ， Ｊ Ｃ 如果是 自底 向上 进行 递推 计算 ， 么在 那
是基 于路 径依 赖 的关 系求 所有 公共 自序列 ． 文利 用动 态 规划 法 ， 计 算 出二 维数 组 的情 况下 ， 出一种 本 在 提 称 为矩 阵搜索 的方 法求 出所有 分支 ， 而求 出所有 最长公 共子 序列 的算法 ， 从 该算 法将 通 常认 为 的指数 量级 的时 间复杂度 降低 到 了 ｍａ ｛ ｃｓ） ０（ ） ． ｘ Ｏ（Ｆｎ ， ｝ ｔ
时 Ｌ Ｓ算 法 成为首 选． 而 ， Ｃ 然 目前对 Ｌ Ｓ算 法的研 究一般 针对 的是对 某 一个 最 长公 共 子序 列 的算 法进 行 Ｃ 优化 和分 析 ， 求 出所 有 的最长 公共子 序列 的研 究 ， 对 目前 尚无 针对 此 问题 的优 秀算 法口 ． 统 的算 法都 传
１ 背 景 知识
１１ Ｌ Ｓ算法 的定 义 ． Ｃ ］
定 义 １ 子 序列 的概念 ： Ｘ 一 （ ｌＸ ， ， ， 有 ｌ １ ２ … ＜ ｉ ≤ ｍ， 得 Ｚ一 （ １ ｚ ， 设 ｚ ，２… Ｘ ）若 ≤ ＜ ＜ ＾ 使 ｚ ，２
…
，
）一 （ ， … ， ， Ｘ Ｘ ） 则称 Ｚ是 Ｘ 的子序 列 ，记为 Ｚ＜ Ｘ．
正 确 性 以及 效 率 做 了证 明．
关 键 词 ： 长 公共 子序 列 （ Ｃ ） 矩 阵 搜 索 ； 法 最 Ｌ Ｓ； 算 文 献标 识 码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： Ｐ ０ ． Ｔ ３ １６
前
言
最长公 共子 序列 （ ｏ ｇ ｓ ｏ Ｌ ｎ ｅｔ ｍｍｏ ｕ ｓｑ ｅ ｃ） Ｃ ｎＳ ｂ ｅ ｕ ｎ ｅ 算法 是一种 非常基 础 的算 法． 主要 目的是 找 出两 其
表示 ：
收稿 日期 ：０ ８ ８ １ ２ ０ 一Ｏ — Ｏ
作者简介 ： 洁卿（９４ ）男 ， 官 １８ 一 。 安徽 芜湖 人 ， 士研 究 生 搜 索 求 所 有 最 长 公共 子 序 列 的算 法 利
Ｃｉ ］ ｛ Ｅ一１ 一１＋１ ，＞０ Ｅ， 一． ｉ ， ］ 若ｉ Ｃ Ｊ Ｊ 且ｚ ＝
文 章 编 号 ：６ ２ ４ ７ ２０ ）４ ０ ５ —０ １ ７ —２ ７ （０ ８ ０ — ０ ２ ５
利 用矩 阵搜 索求所 有 最 长公 共子序 列 的算 法
官 洁 卿
（ 南大学 软件学院 ， 苏 南京 东 江 ２ １８ ） １１ ９
摘 要 ： 用动 态 规 划 法 求 出二 维 数 组 的情 况 下 ， 用 矩 阵 搜 索 的 方 法求 出所 有 分 支 ， 而求 出所 有 最 长公 共 子 利 使 从 序 列 的算 法 ． 算 法将 通 常认 为 的 指 数 量 级 的 时 间 复 杂 度 降 低 到 了 ｍａ ｛ ｃ ｎ ， ｃ） ． 后 对 此 算 法 的 该 ｘＯ（ｍ ）Ｏ（ｋ ） 随
ｅｇ ． ．Ｘ 一 （ Ｂ， Ｂ， Ａ， ， 一 （ Ｃ， Ａ） 则有 Ｚ＜ Ｘ． Ａ， Ｃ， Ｄ， Ｂ） Ｚ Ｂ， Ｂ， ，
定 义 ２ 公共 子序 列 的概念 ： ｘ， 设 ｙ是两个 序 列 ， 且有 Ｚ＜ Ｘ 和 ｚ＜ ｙ， 称 ｚ是 ｘ 和 ｙ 的公共子 则
序列．
定 义 ３ 最长公 共 子序列 的概念 ： Ｚ＜ Ｘ， 若 Ｚ＜ ｙ， 且不 存在 比 Ｚ更 长 的 Ｘ 和 ｙ 的公 共子序 列 ，则 称 Ｚ是 Ｘ 和 ｙ 的最长 公共 子序 列 ， 为 Ｚ ∈ Ｌ Ｓ Ｘ ， ．最 长公共 子序 列往往 不止 一个 ． 记 Ｃ （ ｙ） ｅｇ ． ．Ｘ 一 （ Ｂ， Ｂ， Ａ， ， Ａ， Ｃ， Ｄ， Ｂ） Ｙ一 （ Ｄ， Ａ， Ａ） Ｂ， Ｃ， Ｂ， ，则 Ｚ 一 （ Ｃ， Ａ） Ｚ Ｂ， Ｂ， ， 一 （ Ｃ， Ｂ ， Ｂ， Ａ， ）
长， 其组合 的数量也 是 以指数 级增长 ， 通过 人工对 Ｄ ＮＡ 的差 异进行 比较分 析是 难 以实 现 的． 因此 ， 子生 分
物学家 越来越 依靠 高效 的计算 机字 符 串 比较算 法 ， 即将 基 因序 列 的 问题 转 换 为 由 ４种 基 本 字 符组 合 出来 的字符 串 ， 以此 为基 础进行 处理 ． 并 在基 因工程 中 ， 常需要 比较 位于相 同位 置 的两 条不 同的基 因序列 ， 经 根 据找 出的公 共 自序列 来对样 本进行 分析 ． 在常见 的基 因分 析 中， 般 需要 找 到所 有 的最 长 公 共子 序 列 ， 一 此
第２ ３卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 １ ２月
安
徽
工
程
科
技
学
院
学
报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｈ ｉ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｃｅ ｃ
Ｖｏ ． ３ ＮＯ ４ １２ ． ． Ｄｅ ．， ００ ｃ ２ ８
个序 列 中最 长 的公共 子序 列． 目前 Ｌ Ｓ算 法在 生物工 程上有 着广 泛的应 用． Ｃ 在生 物工 程 中 ， 因序列是 保存生 物基本 信 息的地 方 ， 含 了海 量 的生 物 数据 ， 因 由 ４种 不 同 的碱 基 包 基
基 通过不 同 的组合来 表现 ， 人类 基 因有 将近 ３ Ｏ亿个 Ｄ ＮＡ碱 基对 ， 呈双 螺旋 结 构． 随着 基 因序 列长 度 的增
（ Ｄ， Ｂ）均属 于 Ｌ Ｓ Ｘ ， ）， Ｘ， Ｂ， Ａ， Ｃ （ ｙ 即 ｙ有 ３个 Ｌ Ｓ Ｃ ．
１ ２ 传统 解法 ＿
传统 的 Ｌ Ｓ解 法是 采用动 态规 划算法 （ ｙ ａ ｃ ｒｇａ ｎ ） Ｃ Ｄ ｎ ｍｉ Ｐ ｏ ｒｍｉｇ 来解决 ． 解法可 以用一个 递归 函数来 其
ｆ若 。 ：ｏ ｏ 或Ｊ＝ ：
１
｝
【 ｘｃ［一 １力 ， Ｅ， １ ） ｉｊ＞ ０且 ． ≠ ＹＪ ｍａ （ ， ｃ ｉＪ一 ］ 若 ， ＝ ７ ２ 引进 一个 二维 数组 ｃ， ｃ ｉ ］记 录 ｘ 与 ｙ 的 Ｌ Ｓ的长 度． 用 Ｅ， Ｊ Ｃ 如果是 自底 向上 进行 递推 计算 ， 么在 那
是基 于路 径依 赖 的关 系求 所有 公共 自序列 ． 文利 用动 态 规划 法 ， 计 算 出二 维数 组 的情 况下 ， 出一种 本 在 提 称 为矩 阵搜索 的方 法求 出所有 分支 ， 而求 出所有 最长公 共子 序列 的算法 ， 从 该算 法将 通 常认 为 的指数 量级 的时 间复杂度 降低 到 了 ｍａ ｛ ｃｓ） ０（ ） ． ｘ Ｏ（Ｆｎ ， ｝ ｔ
时 Ｌ Ｓ算 法 成为首 选． 而 ， Ｃ 然 目前对 Ｌ Ｓ算 法的研 究一般 针对 的是对 某 一个 最 长公 共 子序 列 的算 法进 行 Ｃ 优化 和分 析 ， 求 出所 有 的最长 公共子 序列 的研 究 ， 对 目前 尚无 针对 此 问题 的优 秀算 法口 ． 统 的算 法都 传
１ 背 景 知识
１１ Ｌ Ｓ算法 的定 义 ． Ｃ ］
定 义 １ 子 序列 的概念 ： Ｘ 一 （ ｌＸ ， ， ， 有 ｌ １ ２ … ＜ ｉ ≤ ｍ， 得 Ｚ一 （ １ ｚ ， 设 ｚ ，２… Ｘ ）若 ≤ ＜ ＜ ＾ 使 ｚ ，２
…
，
）一 （ ， … ， ， Ｘ Ｘ ） 则称 Ｚ是 Ｘ 的子序 列 ，记为 Ｚ＜ Ｘ．
正 确 性 以及 效 率 做 了证 明．
关 键 词 ： 长 公共 子序 列 （ Ｃ ） 矩 阵 搜 索 ； 法 最 Ｌ Ｓ； 算 文 献标 识 码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： Ｐ ０ ． Ｔ ３ １６
前
言
最长公 共子 序列 （ ｏ ｇ ｓ ｏ Ｌ ｎ ｅｔ ｍｍｏ ｕ ｓｑ ｅ ｃ） Ｃ ｎＳ ｂ ｅ ｕ ｎ ｅ 算法 是一种 非常基 础 的算 法． 主要 目的是 找 出两 其
表示 ：
收稿 日期 ：０ ８ ８ １ ２ ０ 一Ｏ — Ｏ
作者简介 ： 洁卿（９４ ）男 ， 官 １８ 一 。 安徽 芜湖 人 ， 士研 究 生 搜 索 求 所 有 最 长 公共 子 序 列 的算 法 利
Ｃｉ ］ ｛ Ｅ一１ 一１＋１ ，＞０ Ｅ， 一． ｉ ， ］ 若ｉ Ｃ Ｊ Ｊ 且ｚ ＝
文 章 编 号 ：６ ２ ４ ７ ２０ ）４ ０ ５ —０ １ ７ —２ ７ （０ ８ ０ — ０ ２ ５
利 用矩 阵搜 索求所 有 最 长公 共子序 列 的算 法
官 洁 卿
（ 南大学 软件学院 ， 苏 南京 东 江 ２ １８ ） １１ ９
摘 要 ： 用动 态 规 划 法 求 出二 维 数 组 的情 况 下 ， 用 矩 阵 搜 索 的 方 法求 出所 有 分 支 ， 而求 出所 有 最 长公 共 子 利 使 从 序 列 的算 法 ． 算 法将 通 常认 为 的 指 数 量 级 的 时 间 复 杂 度 降 低 到 了 ｍａ ｛ ｃ ｎ ， ｃ） ． 后 对 此 算 法 的 该 ｘＯ（ｍ ）Ｏ（ｋ ） 随
ｅｇ ． ．Ｘ 一 （ Ｂ， Ｂ， Ａ， ， 一 （ Ｃ， Ａ） 则有 Ｚ＜ Ｘ． Ａ， Ｃ， Ｄ， Ｂ） Ｚ Ｂ， Ｂ， ，
定 义 ２ 公共 子序 列 的概念 ： ｘ， 设 ｙ是两个 序 列 ， 且有 Ｚ＜ Ｘ 和 ｚ＜ ｙ， 称 ｚ是 ｘ 和 ｙ 的公共子 则
序列．
定 义 ３ 最长公 共 子序列 的概念 ： Ｚ＜ Ｘ， 若 Ｚ＜ ｙ， 且不 存在 比 Ｚ更 长 的 Ｘ 和 ｙ 的公 共子序 列 ，则 称 Ｚ是 Ｘ 和 ｙ 的最长 公共 子序 列 ， 为 Ｚ ∈ Ｌ Ｓ Ｘ ， ．最 长公共 子序 列往往 不止 一个 ． 记 Ｃ （ ｙ） ｅｇ ． ．Ｘ 一 （ Ｂ， Ｂ， Ａ， ， Ａ， Ｃ， Ｄ， Ｂ） Ｙ一 （ Ｄ， Ａ， Ａ） Ｂ， Ｃ， Ｂ， ，则 Ｚ 一 （ Ｃ， Ａ） Ｚ Ｂ， Ｂ， ， 一 （ Ｃ， Ｂ ， Ｂ， Ａ， ）
长， 其组合 的数量也 是 以指数 级增长 ， 通过 人工对 Ｄ ＮＡ 的差 异进行 比较分 析是 难 以实 现 的． 因此 ， 子生 分
物学家 越来越 依靠 高效 的计算 机字 符 串 比较算 法 ， 即将 基 因序 列 的 问题 转 换 为 由 ４种 基 本 字 符组 合 出来 的字符 串 ， 以此 为基 础进行 处理 ． 并 在基 因工程 中 ， 常需要 比较 位于相 同位 置 的两 条不 同的基 因序列 ， 经 根 据找 出的公 共 自序列 来对样 本进行 分析 ． 在常见 的基 因分 析 中， 般 需要 找 到所 有 的最 长 公 共子 序 列 ， 一 此
第２ ３卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 １ ２月
安
徽
工
程
科
技
学
院
学
报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｈ ｉ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｃｅ ｃ
Ｖｏ ． ３ ＮＯ ４ １２ ． ． Ｄｅ ．， ００ ｃ ２ ８
个序 列 中最 长 的公共 子序 列． 目前 Ｌ Ｓ算 法在 生物工 程上有 着广 泛的应 用． Ｃ 在生 物工 程 中 ， 因序列是 保存生 物基本 信 息的地 方 ， 含 了海 量 的生 物 数据 ， 因 由 ４种 不 同 的碱 基 包 基
基 通过不 同 的组合来 表现 ， 人类 基 因有 将近 ３ Ｏ亿个 Ｄ ＮＡ碱 基对 ， 呈双 螺旋 结 构． 随着 基 因序 列长 度 的增
