最长公共子序列 空间复杂度优化

最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）是指在两个序列中找到的最长公共非连续子序列。

求解两个序列的最长公共子序列的递推次序是一道经典的动态规划问题，本文将针对这一主题展开详细的描述和分析。

一、问题描述给定两个序列X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn}，要求找出它们的最长公共子序列。

对于序列X={A, B, C, B, D, A, B}和Y={B, D, C, A, B, A}，它们的最长公共子序列是{B, C, A, B}，长度为4。

二、递推关系在动态规划的思想下，我们可以通过构造一个二维数组来解决这个问题。

假设L[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度，那么L[i][j]的递推关系可以表示为：1. 当i=0或j=0时，L[i][j]=0；2. 当xi=yj时，L[i][j]=L[i-1][j-1]+1；3. 当xi≠yj时，L[i][j]=max{L[i-1][j], L[i][j-1]}。

三、动态规划的实现在实际编程中，我们可以使用一个二维数组来存储L[i][j]的值。

我们需要初始化L[0][j]和L[i][0]为0；根据上述递推关系，使用一个双重循环来填充数组L，最终得到L[m][n]的值，即序列X和Y的最长公共子序列的长度。

四、回溯求解最长公共子序列在获得了二维数组L之后，我们可以通过回溯的方法来求解最长公共子序列的具体内容。

从L[m][n]开始，我们可以根据递推关系，逆向推导出最长公共子序列的元素，直到回溯到L[0][0]为止。

这样就可以得到最长公共子序列的具体内容。

五、优化在实际应用中，为了提高动态规划的效率，可以对上述算法进行优化。

例如使用滚动数组来降低空间复杂度，或者采用其他策略来减少不必要的计算。

六、总结本文针对求解两个序列的最长公共子序列的递推次序进行了详细的分析和描述。

深入探究算法原理引言在计算机科学领域，算法是解决问题的一系列步骤或指令。

算法是计算机程序的核心，它们决定了程序的效率和最终结果。

在今天的文章中，我们将深入探究算法的原理，了解它们是如何工作的，以及为什么一些算法比其他算法更高效。

什么是算法算法可以被认为是将输入数据转化为期望输出的一组定义良好的指令。

一个好的算法应该是可执行的、确定性的和有限的。

算法的输入可以是任何数据类型，包括数字、字符串和图像等。

而输出通常是一个解决方案、一个决策或一个转换后的数据。

常见的算法类型在计算机科学中，有许多不同类型的算法。

下面列出了一些常见的算法类型：1.排序算法排序算法是将一组元素按照特定规则进行排序的算法。

常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序和快速排序等。

这些算法的不同之处在于它们所使用的比较和交换元素的策略。

2.搜索算法搜索算法是在一组数据中查找特定元素或属性的算法。

常见的搜索算法包括线性搜索、二分搜索和哈希搜索等。

这些算法的不同之处在于它们所使用的搜索策略和数据结构。

3.图算法图算法是解决图相关问题的算法。

图是由一组节点和连接它们的边组成的数据结构。

常见的图算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和最短路径算法等。

这些算法的不同之处在于它们所使用的遍历或搜索策略。

4.动态规划算法动态规划算法通过将问题分解为子问题，并保存已解决的子问题的解，来解决复杂的问题。

常见的动态规划算法包括斐波那契数列、最长公共子序列和背包问题等。

这些算法的不同之处在于它们所使用的分解和组合子问题的策略。

算法的性能评估在选择使用哪个算法解决问题时，我们需要比较它们的性能。

以下是一些常用的性能指标：1.时间复杂度时间复杂度是指算法在最坏情况下执行所需要的时间。

在表示时间复杂度时，我们通常使用大O符号。

例如，O(n)表示算法的时间复杂度为线性级别，O(n^2)表示算法的时间复杂度为平方级别。

2.空间复杂度空间复杂度是指算法在执行过程中所需要的额外空间。

组合优化算法分类组合优化算法主要分为精确算法和近似算法两大类。

精确算法的目标是找到问题的最优解，但由于组合优化问题通常是NP难问题，很难在合理的时间内找到精确解。

因此，近似算法成为了解决组合优化问题的常用方法。

近似算法的核心思想是通过一系列启发式搜索策略，快速找到接近最优解的解决方案。

近年来，随着计算机技术的不断发展，组合优化算法也在不断进步和完善。

各种新颖的算法和优化技术被提出，为解决复杂的组合优化问题提供了更多的选择。

在本文中，将对几种常见的组合优化算法进行分类和介绍，包括贪婪算法、动态规划、遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。

通过对各种算法的原理、特点和应用进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和运用这些算法来解决实际问题。

1. 贪婪算法贪婪算法是一种简单而有效的优化算法，其核心思想是每一步都选择当前最优的解决方案，然后逐步构建最终的解决方案。

贪婪算法往往具有较低的计算复杂度，适用于一些简单的组合优化问题。

但由于其贪心的特性，可能会导致无法找到全局最优解，而只能找到局部最优解。

贪婪算法的应用广泛，常用于解决背包问题、最小生成树问题、最短路径问题等。

以背包问题为例，贪婪算法每次选择价值最大的物品放入背包，直至背包装满或所有物品都被放入。

然而，贪婪算法无法保证得到最优解，因为可能因为一开始的选择不当而无法达到最优解。

2. 动态规划动态规划是一种分阶段求解的优化方法，通过将问题分解为几个相互重叠的子问题，然后逐一求解子问题并将其结果组合得到最终解。

动态规划常用于解决一些具有最优子结构性质的问题，能够有效地避免重复计算，提高计算效率。

动态规划的经典应用包括背包问题、最长公共子序列问题、矩阵连乘问题等。

以背包问题为例，动态规划需要定义一个状态转移方程，逐步填充动态规划表格，最终得到最优解。

动态规划可以保证得到最优解，但需要较多的计算和空间复杂度。

3. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过模拟遗传、突变、交叉等操作，逐代迭代搜索最优解。

问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。

确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。

例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。

给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。

而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。

求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。

对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。

由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。

进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。

设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。

则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。

(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。

算法基本知识点总结一、算法的基本概念1. 算法的定义算法是用来解决特定问题的有限步骤的有序集合。

算法是一种计算方法，可以描述为一系列清晰的步骤，用来解决特定问题或执行特定任务。

2. 算法的特性（1）有穷性：算法必须在有限的步骤内结束。

（2）确定性：对于相同输入，算法应该产生相同的输出。

（3）可行性：算法必须可行，即算法中的每一步都可以通过已知的计算机能力来执行。

3. 算法的设计目标（1）正确性：算法应该能够解决给定的问题。

（2）可读性：算法应该易于理解和解释。

（3）高效性：算法应该能在合理的时间内完成任务。

二、算法的复杂度分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度表示算法执行所需的时间长度，通常用“大O记法”表示。

时间复杂度反映了算法的运行时间与输入规模之间的关系。

常见的时间复杂度包括：（1）O(1)：常数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模无关。

（2）O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的对数成正比。

（3）O(n)：线性时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模成正比。

（4）O(nlogn)：线性对数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模和对数成正比。

（5）O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的平方成正比。

（6）O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的运行时间与输入规模的指数成正比。

2. 空间复杂度算法的空间复杂度表示算法执行所需的内存空间大小。

常见的空间复杂度包括：（1）O(1)：常数空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模无关。

（2）O(n)：线性空间复杂度，表示算法的内存空间与输入规模成正比。

三、常见的算法设计思想1. 贪心算法贪心算法是一种选取当前最优解来解决问题的算法。

贪心算法的核心思想是从问题的某一初始解出发，通过一系列的局部最优选择，找到全局最优解。

2. 动态规划动态规划是一种将原问题分解成子问题来求解的方法。

动态规划通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

⽤Python计算最长公共⼦序列和最长公共⼦串（转）1. 什么是最长公共⼦序列？什么是最长公共⼦串？1.1. 最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）是⼀个在⼀个序列集合中（通常为两个序列）⽤来查找所有序列中最长⼦序列的问题。

这与查找最长公共⼦串的问题不同的地⽅是：⼦序列不需要在原序列中占⽤连续的位置。

最长公共⼦序列问题是⼀个经典的计算机科学问题，也是数据⽐较程序，⽐如Diff⼯具，和⽣物信息学应⽤的基础。

它也被⼴泛地应⽤在版本控制，⽐如Git⽤来调和⽂件之间的改变。

1.2 最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）问题是寻找两个或多个已知字符串最长的⼦串。

此问题与最长公共⼦序列问题的区别在于⼦序列不必是连续的，⽽⼦串却必须是连续的。

2. 如何求解最长公共⼦序列?例如序列str_a=world，str_b=wordl。

序列wo是str_a和str_b的⼀个公共⼦序列，但是不是str_a和str_b的最长公共⼦序列，⼦序列word是str_a和str_b的⼀个LCS，序列worl也是。

暴⼒查找？寻找LCS的⼀种⽅法是枚举X所有的⼦序列，然后注意检查是否是Y的⼦序列，并随时记录发现的最长⼦序列。

假设X有m个元素，则X有2^m个⼦序列，指数级的时间，对长序列不实际。

分析问题，设str_a=<x1,x2,…,xm>和str_b=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(str_a,str_b)表⽰str_a和str_b的⼀个最长公共⼦序列，可以看出如果str_a[m] == str_b[n]，则LCS (str_a, str_b) = str_a[m] + LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1])如果str_a[m] != str_b[n]，则LCS(str_a,str_b)= max{LCS(str_a[1:m-1], str_b), LCS (str_a, str_b[n-1])}LCS问题也具有重叠⼦问题性质：为找出LCS(str_a,str_b)，可能需要找LCS(str_a[1:m-1], str_b)以及LCS (str_a, str_b[n-1])。

动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。

例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。

此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。

注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。

当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。

所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。

几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。

时间复杂度为O(n^2)。

2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。

3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。

4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。

5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。

二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。

2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。

3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。

三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。

时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。

2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。

时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。

3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。

时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。

4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。

四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。

时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。

最长公共⼦序列-空间优化-BITOJ <空间优化>求两个字符串的最长公共⼦序列的长度。

输⼊：第⼀⾏字符串 S1第⼆⾏字符串 S2（注：字符为英⽂字母，⼤⼩写均可。

字符串长度⼤于等于1 ，各不⼤于10000）输出：数字 M ，为最长公共⼦序列长度。

例如：输⼊：BDCABAABCBDAB输出：4测试输⼊期待的输出时间限制内存限制额外进程测试⽤例 11. ABKLMNABCDI↵2. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ↵1. 6↵1秒256KB0思路：典型的动态规划问题dp[i][j]:表⽰a串前i个字符与b串前j个字符的最长公共字符的个数，dp[n][m]即为最后的结果。

显然：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; if(a[i]==b[j])dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); if(a[i]!=b[j])于是可以递推下去，求解dp[n][m]。

这⾥提出⼀点⼩⼩的空间优化：递推的时候，我们需要求解dp[i][j]，因此需要⽤到dp[i-1][j-1]，dp[i-1][j],dp[i][j-1];这三个状态。

可以看出不需要dp[i-2],dp[i-3]...等状态，于是这⾥可以有空间优化。

最典型的奇偶优化，因为只需要存储dp[i],dp[i-1]这两个相邻的状态，i,i-1,⼆者必须是⼀个奇数⼀个偶数，所以奇偶优化就显得很⽅便。

奇偶递推式：dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j-1]+1;if(a[i]==b[j])dp[i&1][j]=max2(dp[(i-1)&1][j],dp[i&1][j-1]);if(a[i]!=b[j])这样dp数组可以优化到：2*m，m为字符串中长度最短的那个。

View Code1 #include<stdlib.h>2 #include<string.h>3 #include<stdio.h>4#define max2(a,b) (a>b)?a:b5#define N 1000167char str[2][N];8int dp[2][N];9int main()10 {11int i,j,k,n,m;12while(~scanf("%s%s",str[0],str[1]))13 {14 n=strlen(str[0]);15 m=strlen(str[1]);16 memset(dp,0,sizeof(dp));17for(i=1;i<=n;i++)18for(j=1;j<=m;j++)19if(str[0][i-1] == str[1][j-1])20 dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j-1]+1;21else22 dp[i&1][j]=max2(dp[(i-1)&1][j],dp[i&1][j-1]);23 printf("%d\n",dp[n&1][m]);24 }25return0;26 }。

亚马逊面试题1.算法题：一个股价序列，告诉每个时间点的股价，问什么时候买什么时候卖获利最大？时间复杂度O(n)2.（1）有0，1，2到99这100个正整数，中间丢失了一个，剩余的99个数打乱顺序放在一个数组里，问怎样找到丢失的那个数。

直接说了一个时间空间复杂度都为O(n)的算法（瞬秒），能把空间复杂度优化到O(1)的（2）有一个有序的环形数列，从小到大排好了，比如：4，5，6，1，2，3，从第四个位置开始当成环形看，就是一个有序数列1，2，3，4，5，6。

问题是在这个数列中找到给定的关键字。

我想到了用二分找到这个环形的开头位置i，那么[0，i]，[i+1，n-1]就是有序的，再次做二分即可。

对方说能想到lgn的复杂度很好，但是希望能够只要一次二分就完成。

1.英文自我介绍加一个英文问答：Why A mazon？2.基础知识：数组、链表、map的区别和用法3.最长公共子序列（动态规划，时空复杂度都是O(n^2)）可以把空间复杂度降到O(n)，后缀数组（数据结构）4.电影院售票系统设计：面向对象思想设计5.股价题，空间复杂度优化到O(1)6.给一个n行m列的矩阵框，每个格点放着若干大米，小鸡从左下角点出发，只能往右或者往上走，问小鸡最多能吃掉多少大米。

很简单的动态规划，瞬秒。

然后他又和我讨论了优化空间复杂度的问题，我说可以从O(n^2)优化到O(n)的，对方表示满意。

第三轮是面试官和我讨论一个open question，这个题目感觉很有意思：给一个图片，这个图片是由n*m个小图片拼成的，它的色调是左上角最浅，越往右下角色调越深。

问我有没有什么办法做出这样的图片。

我的想法是对这n*m个小图片的色调从浅到深排序，然后斜着从小到大填充这个大矩形。

1 2 43 5 76 8 9对色调排序是把每个小图片的RGB三个值（范围0~255）做统计，最后去掉个数过少的然后做加权平均，哈希出每个小图片的色调值然后再排序即可（没有标答，你可以自己定义规则，只要合理就行）。

一、实验目的本次实验旨在通过实际编程操作，深入理解并掌握几种常见的编程高效算法，如排序算法、查找算法、动态规划等，并分析这些算法的效率，为实际编程工作提供理论依据和实现指导。

二、实验内容1. 排序算法（1）冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，它重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。

遍历数列的工作是重复地进行，直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。

（2）快速排序快速排序是一种分而治之的算法，它将原始数组分成较小的两个子数组，分别对这两个子数组进行快速排序，最后合并这两个有序的子数组。

（3）归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，它将两个或两个以上的有序数列合并成一个新的有序数列。

2. 查找算法（1）顺序查找顺序查找是一种最简单的查找算法，它从数组的第一个元素开始，依次将每个元素与要查找的值进行比较，直到找到或遍历完整个数组。

（2）二分查找二分查找是一种高效的查找算法，它将有序数组分成两个子数组，每次比较要查找的值与中间元素的大小，然后根据比较结果确定要查找的元素所在的位置。

3. 动态规划动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域广泛使用的方法。

它通过将复杂问题分解成小问题，以递归或迭代的方式求解小问题，从而得到整个问题的最优解。

（1）最长公共子序列最长公共子序列问题是动态规划的一个经典问题，它要求找出两个序列中最长的公共子序列。

（2）最长递增子序列最长递增子序列问题是寻找一个序列中，递增子序列的最长长度。

三、实验步骤1. 编写冒泡排序、快速排序、归并排序、顺序查找、二分查找等算法的代码。

2. 编写最长公共子序列和最长递增子序列的动态规划算法代码。

3. 分别对各种算法进行测试，比较它们的执行时间。

4. 分析实验结果，总结各种算法的优缺点。

四、实验结果与分析1. 排序算法冒泡排序的执行时间较长，不适合处理大数据量；快速排序的执行时间相对较短，适合处理大数据量；归并排序的执行时间稳定，但需要额外的空间。

最长子序列算法最长子序列（Longest Common Subsequence，LCS）算法是一种常见的动态规划算法，用于解决字符串匹配问题。

它的主要目的是找到两个字符串中最长的公共子序列。

在介绍该算法之前，我们需要先了解什么是子序列。

一个字符串的子序列是指从该字符串中删除某些字符而不改变其相对顺序后得到的新字符串。

例如，对于字符串“abcdefg”，“abc”、“ace”、“bdf”都是它的子序列。

那么，最长公共子序列就是指两个字符串中都存在的最长子序列。

例如，对于字符串“abcdefg”和“acdfg”，它们的最长公共子序列为“adf”。

接下来，我们将介绍如何使用动态规划求解最长公共子序列。

1. 状态定义我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示第一个字符串前i个字符和第二个字符串前j个字符之间的最长公共子序列长度。

其中dp[0][j]和dp[i][0]表示空串与另一个串之间的LCS长度均为0。

2. 状态转移方程当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符相同时，则该字符必然属于LCS中，并且LCS长度加一：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符不同时，则该字符不能同时属于LCS中，此时需要考虑两种情况：（1）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度大于等于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

（2）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度小于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i][j-1]。

综上所述，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1, if str1[i]==str2[j]dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), if str1[i]!=str2[j]3. 最终结果最终结果即为dp[m][n]，其中m和n分别为两个字符串的长度。

穷举法求解最长公共子序列啥是最长公共子序列呢？简单来说，就是在两个序列中找到一个共同的部分，而且这个部分的顺序不能乱。

想象一下，你跟小伙伴一块玩拼图，虽然每块拼图都不一样，但拼出来的图案得跟朋友那一块拼出来的图案一模一样，这可不是件容易的事儿。

说白了，就是要在一堆字符里找到那些相同的，而且顺序得对，真是个考脑筋的活儿！咱们先来想象一个场景，假设你有两个字符串，一个是“abcde”，另一个是“ace”。

从这两个字符串里，咱们要找出最长的公共子序列。

嘿，这个时候就像是在找宝藏一样，得一个个地去翻找。

你会发现，“a”、“c”、“e”都在这两个字符串里。

哇，这可真是个小惊喜，找到了！但要注意哦，它们的顺序不能变。

所以，最长公共子序列就是“ace”了。

这样一想，是不是感觉有点意思呢？好啦，现在咱们来谈谈穷举法。

听起来高大上，其实就是一个个试，试到你觉得“哎呀，我真是个天才”才行。

咱们得列出所有可能的子序列。

这可不是随便说说，你得有耐心。

比如说，从“abcde”中，咱们能列出“a”、“b”、“c”、“d”、“e”，还有“ab”、“ac”、“ad”，甚至“abc”、“abd”，直到“abcde”都得试试，直到没什么好试的为止。

听上去是不是有点让人心累，但一想到最后的结果，心里就乐开了花。

继续深入想想，穷举法可真是个老办法，但就是简单有效。

想想就像家里大扫除，把所有角落都翻遍，终于找到那个丢失已久的遥控器。

每个可能的组合都得看一遍，有些看起来毫无关系的组合，搞不好就能是答案呢！所以，穷举法就是个“捡漏”的过程，得慢慢来，着急可没用。

就像那句老话说得好，磨刀不误砍柴工，先找出所有的子序列，才能确定哪个是最长的。

说到这里，可能有人会问，这样做是不是太慢了？当然了，穷举法的时间复杂度就像在爬一座大山，越往上走越累。

为了找到答案，你可能得经历无数次的“失败”，但是一旦找到了，成就感简直爆棚。

就像考试前那种紧张，最后交卷时的轻松感，啊，真是太棒了。

什么是最长公共子序列？
什么是最长公共子序列（LCS）？
最长公共子序列是指在两个序列中找到的最长的公共子序列，该子序列不需要在原序列中是连续的，但在两个序列中的顺序保持一致。

为了更好地理解最长公共子序列，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们有两个序列：ABCBDAB 和 BDCABA。

我们的目标是找到这两个序列的最长公共子序列。

首先，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

我们可以创建一个二维数组来存储两个序列之间的最长公共子序列的长度。

数组的行和列分别表示两个序列，数组中的每个元素表示对应位置的最长公共子序列的长度。

接下来，我们可以使用以下递推公式来填充数组：
如果两个序列的当前元素相等，则最长公共子序列的长度为前一个元素的最长公共子序列长度加1。

如果两个序列的当前元素不相等，则最长公共子序列的长度为前一个元素的最长公共子序列长度的最大值。

通过填充数组，我们可以得到最长公共子序列的长度。

然后，我们可以根据填充数组的过程来找到最长公共子序列。

最后，我们可以得到最长公共子序列为BCAB，长度为4。

总结起来，最长公共子序列是指在两个序列中找到的最长的公共子序列，不需要在原序列中是连续的，但在两个序列中的顺序保持一致。

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题，通过填充数组来得到最长公共子序列的长度，并根据填充数组的过程来找到最长公共子序列。

最长不重复子序列最长不重复子序列是指在一个序列中，不包含重复元素的最长连续子序列。

这个问题是一种经典的动态规划问题，其解决方法被广泛应用于许多领域，包括字符串匹配、图像识别、生物信息学等等。

最长不重复子序列的问题可以用两种不同的方法来解决：一种是基于动态规划的方法，另一种是基于滑动窗口的方法。

下面我们将分别介绍这两种求解方法。

一、基于动态规划的方法动态规划可以分为两个步骤：状态转移和边界处理。

最长不重复子序列的求解方法也遵循这两个步骤。

状态转移定义 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长不重复子序列的长度，dp[i] 的值可以通过如下公式计算：当 s[i] 不在以第 i-1 个元素结尾的最长不重复子序列中时，dp[i]=dp[i-1]+1。

当 s[i] 已经在以第 i-1 个元素结尾的最长不重复子序列中时，dp[i] 的值取决于 s[i] 在子序列中的位置与 i-1、i-2 的位置关系，即dp[i]=min(dp[i-1]+1,i-j)，其中 j 是 s[i] 在当前子序列中的位置。

通过状态转移方程，我们可以得到最终的动态规划状态数组 dp，输出 dp 中的最大值即为所求的最长不重复子序列的长度。

边界处理在边界处理中，我们需要处理 dp[0] 的值，即以第 1个元素结尾的最长不重复子序列的长度。

这个值可以初始化为 1。

代码实现以下是最长不重复子序列的动态规划算法的 Python代码：``` def lengthOfLongestSubstring(s: str) ->int: dp = [1] * len(s) for i in range(1,len(s)): j = i - 1 while j >= i -dp[i - 1] and s[j] != s[i]: j -= 1 dp[i] = min(dp[i - 1] + 1, i - j) return 0 ifnot s else max(dp) ```二、基于滑动窗口的方法滑动窗口算法是一个比较简单、高效的算法，主要用于解决字符串/数组中，寻找一个子串/子序列/连续子数组，使其满足一定条件的问题。

最长公共子序列的时间复杂度最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列。

它是动态规划中一个经典问题，应用广泛，例如字符串比较、DNA序列比较、版本控制等领域。

1. LCS问题的定义和性质LCS问题定义：给定两个序列X和Y，求它们的最长公共子序列。

LCS问题性质：（1）LCS一定是两个序列的一个子序列。

（2）LCS不一定是唯一的。

（3）LCS不要求在原序列中连续出现。

2. LCS问题的解法LCS问题可以采用动态规划算法解决。

具体来说，可以使用一个二维数组dp[i][j]表示X[1...i]和Y[1...j]的最长公共子序列长度。

其中，dp[i][j]可以通过以下三种情况转移得到：（1）当X[i]=Y[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；（2）当X[i]!=Y[j]时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])；（3）当i=0或j=0时，dp[i][j]=0。

最终得到的dp[m][n]即为X和Y的最长公共子序列长度。

3. 时间复杂度分析对于LCS问题，动态规划算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n 分别为X和Y的长度。

这是因为在计算dp[i][j]时，需要依赖dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]和dp[i][j-1]，而每个dp值只需要计算一次，因此总共需要计算m*n个dp值。

此外，在动态规划过程中还需要对二维数组进行初始化，即将所有的dp[0][j]和dp[i][0]都设为0。

这一步操作的时间复杂度也是O(mn)。

因此，LCS问题的总时间复杂度为O(mn)。

4. 总结LCS问题是一个经典的动态规划问题，在实际应用中有广泛的应用。

其时间复杂度为O(mn)，可以通过动态规划算法解决。

在实现时需要注意对二维数组进行初始化，并且可以使用滚动数组等优化技巧来减少空间复杂度。

基于位运算的最长公共子串算法浙江唐文斌[摘要]本文来自于参考文献[1]。

本文描述了一个对于确定有限字符集的基于位运算的最长公共子串算法。

该算法在普通计算机上运行效率明显高于常规的动态算法。

其时间复杂度为(||/*||)O A w B ⎡⎤⎢⎥。

其中w 表示我们在w 位的整数上进行位操作。

[问题介绍]最长公共子串（Longest-common-subsequence ,LCS ）问题，是求两个字符串A 和B 的公共子串的最大可能长度。

例如，字符集S={’A’,’C’,’G’,’T’}，’GCTAT’和’CGATTA’的最大公共子串（以下简称LCS ）为’GTT’，其长度为3。

在这里定义一些变量:A,B 分别是两个给定的串。

S 为A 、B 串所涉及的字符集。

[常规常规动态规划算法动态规划算法]设L[i ,j]等于A[1..i],B[1..j]的LCS.则有L[i,j]=1+L[i-1,j-1]如果(A[i]=B[j])Max(L[i-1,j],L[i ,j-1])其他复杂度为O(|A|*|B|)[基于位运算的动态规划算法]根据上面的动态规划算法，状态函数L 具有如下性质：L[i-1,j-1]≤L[i,j-1],L[i-1,j]≤L[i,j]|L[i,j]-L[i-1,j-1]|≤1对于L 的每一行，相邻的两个元素的最多只相差1。

这样一来，我们就可以用一个二进制的矩阵描述出L :( 1..[,][,]k jL i j M i k ==∑)#bits90001100010111111|T string B90100100010111111|T80010001000111111|C70000100010011111|T-Row[11]71000000100011111|A-Row[10]71000010000011111|G60000010100001111|A50000000100001111|A50000100000001111|T40000000010000111|T30000000000100011|C31000000000010001|G20000000100000100|A10000000000000100|T_________________________________.matrix M ijString A:G T C T T A C A T C C G T T C G这里，我们将串A从右往左写，串B从下往上写。

最长公共子序列空间复杂度《最长公共子序列：一场神秘的探索之旅》我今天想跟大家聊一个超级有趣又有点烧脑的东西——最长公共子序列。

这可不是一个随随便便就能理解的概念哦。

我先给大家讲个小故事吧。

有两个小朋友，小明和小红。

小明有一串漂亮的彩色珠子，珠子的颜色顺序是红、蓝、绿、黄、紫。

小红呢，也有一串珠子，颜色顺序是蓝、绿、紫。

这时候，我们就可以来找找他们珠子颜色序列里的最长公共子序列啦。

就好像是在找两个小伙伴之间共同的小秘密一样。

你看，蓝、绿、紫就是他们珠子颜色序列的最长公共子序列。

那在数学和计算机的世界里呢，最长公共子序列可就没这么简单喽。

想象一下，我们有两个超级长的数字序列或者字母序列。

比如说，一个序列是1、3、4、5、6、7、7、8，另一个序列是3、5、6、7、8。

要找出它们的最长公共子序列，这就像在两个超级大的迷宫里找相同的路线一样困难。

我有一次和我的好朋友小刚一起研究这个最长公共子序列。

小刚特别聪明，他说：“这就像是在两本不同的故事书里找相同的情节一样。

”我觉得他这个比喻可太妙了。

我们开始在纸上写写画画。

我们先从第一个数字或者字母开始对比。

要是两个序列的第一个元素是一样的，那这个元素肯定在最长公共子序列里呀。

可是如果不一样呢？那就得继续往后看。

这时候我就有点犯愁了，这么多数字或者字母，一个一个对比，那得花多长时间啊。

小刚却很兴奋，他说：“这就像一场冒险，每一个对比都是我们探索路上的一个小挑战。

”他还说，我们可以从简单的情况开始想。

比如说，如果两个序列其中一个特别短，只有一两个元素，那找最长公共子序列就很容易啦。

就像我们走在一条只有几步路的小路上，一眼就能看到尽头。

我听了他的话，觉得很有道理。

我们开始尝试一些小例子。

比如序列[1]和序列[1]，那最长公共子序列就是[1]啦。

再比如序列[1,2]和序列[2,1]，最长公共子序列就是[]，因为没有相同的元素顺序。

可是当我们遇到长一点的序列，又开始头疼了。