高二数学选修1-2第三章复数测试题

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__________________________________________________ 高二数学同步测试选修1-2

（第三章）复数

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．方程2z+|z|=2+6i的解的情况是

（ ）

A．没有解 B．只有一解 C．有两解

D．多于两解

2．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 222log8(1log)xyixyi，则z= （ ）

A．2＋i B．1＋2i C．2＋i或1＋2i D．无解

3．下列命题中正确的是

（ ）

A．任意两复数均不能比较大小； B．复数z是实数的充要条件是z=z；

C．复数z是纯虚数的充要条件是z+z=0； D．i+1的共轭复数是i－1；

4．设)()11()11()(Nniiiinfnn，则集合)(nfxx中元素的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．无穷多个

5．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m （ ）

A．1 B．0 C．3 D．复数无法比较大小

6．设复数,zxyixyR，则满足等式20zx的复数z对应的点的轨迹是 （ ） __________________________________________________

__________________________________________________ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

7．若非零复数,xy满足220xxyy,则20052005()()xyxyxy的值是 （ ）

A．1 B．1 C．20042 D．20042

8．如图所示，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，点A、B、C分别对应复数32zzz、、，且z=2，则z=（ ）

A．i3 B．i3

C．i31 D．i31

9．复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1|< |z2|，则实数a的取值范围是 （ ）

A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>1

10．如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______．

A．1 B．2 C．2 D．5

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．已知关于x的实系数方程x2－2ax+a2－4a+4=0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则a的值为 ．

12．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x= ， y= ．

13．i＋i2＋i3+……+i2005= ．

14．已知x、y、t∈R，t≠－1且 t≠0，求满足x＋yi=1()1ttitt时，点(x, y)的轨迹方程

．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求zz12的值．

16．（12分）当m为何实数时，复数z＝2223225mmm+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

O x

B C y A z2z3z__________________________________________________

__________________________________________________ 17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z:(1)zz10是实数，且6101zz．(2)z的实部和虚部都是整数．

18．（12分）设复数|z－i|=1, 且z0, z2i. 又复数w使ziziww22为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由．

19．（14分）设虚数z1,z2，满足221zz.

（1）若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1, z2．

（2）若z1=1+mi(i为虚数单位，m∈R), 2||1z,复数w=z2+3,求|w|的取值范围．

20．（14分）已知：A、B是ABC的两个内角，jBAiBAm2sin252cos

其中i、j为相互垂直的单位矢量．若 | m| =423，试求tanA·tanB的值．

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参考答案

一、1．B；

2．C；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ 222log8(1log)xyixyi，∴22280log1logxyxy，∴32xyxy，

解得21xy或12xy, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

3．B；

4．C；解析：∵ nniinf)()(∴ 0)3(,2)2(,0)1(fff，,2)4(f，∴ 集合)(nfxx中的元素为2,0,2，选C．；

5．C；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，

∴2221030430mmmmm，解得||100或33或1mmmmm，∴ m=3.

当m＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件．

6．D；7．A；8．C；

9．A；利用复数模的定义得a222<5，选A；；

10．A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；

二、11．21；12．x=25, y=4；

13．i；解：此题主要考查in的周期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005

=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）

诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．

14．xy=1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．

∵ x＋yi=1()1ttitt，∴ 11txttyt， ∴xy=1, __________________________________________________

__________________________________________________ ∴ 点(x，y)的轨迹方程为xy＝1，它是以x轴、y轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．

三、

15． 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．

【解】 如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示．

由图可知，|zz12|＝52，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝5213252222()××＝45

∴ zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ

【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示．则|zz12|＝52，且

cos∠AOD＝5213252222()××＝45，sin∠AOD＝±35，

所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．

【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼． 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，

16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250mmm，

解得m=2，∴ m=2时，z为实数．

（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即223100250mmm，

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．22223203100250mmmmm，

解得m=－21, ∴当m=－21时，z为纯虚数．

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求． y A

D

O B x

C

y A

D

O x

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__________________________________________________ 17．分析与解答：

设z=a+bi (a,b∈R,且a2+b2≠0).

则22)(101010babiabiabiabiazz

ibabbaa)101()101(2222

由(1)知zz10是实数，且6101zz,

∴ 0)101(22bab 即b=0或a2+b2=10.

又6)101(122baa *

当b=0时，*化为6101aa无解．

当a2+b2=10时，*化为1<2a≤6, ∴321a.

由(2)知 a=1,2,3.

∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1，

因此，复数z为：1±3i或3±i.

此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．

18．分析与解答：设 z=a+bi, w=x+yi (a,b, x,y∈R).

由题z≠0, z≠2i 且|z－i|=1,

∴ a≠0, b≠0且a2+b2－2b=0.

222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222baaiyxxiyyxbaaibbayxxiyyxbiaibiaiyixyixziziwwu记