2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
一试（A卷）试题（含参考答案）
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第
10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1. 设复数910iz（i为虚数单位），若正整数n满足2023nz，则n的
最大值为 ．
答案：2．
解：22910181nnnnzz．因21812023z，而当3n时，
181132023nnnz，故n的最大值为2．
2. 若正实数,ab满足lg2ba，lglg5abab，则lg()abab的值为 ．
答案：20．
解：因为lglglglg102aabbba，所以
lglglglglglglg()()()52220abababbaabababab．
3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,xyz，则事件
“
777CCCxyz”发生的概率为 ．
答案：1
27．
解：由于162534
777777CCCCCC，因此当,,{1,2,3,4,5,6}xyz时，事
件“
777CCCxyz”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}xyz”成立，相应的概率为321
627．
4. 若平面上非零向量,,
满足
，2||
，3||
，则||
的
最小值为 ．
答案：23．
解：由
，不妨设(,0),(0,)ab
第1页， 共4页 2024年竞赛数学试卷西班牙数学奥林匹克
一、解答题
1
、2024个不同的素数 𝑝𝑝
1, 𝑝𝑝
2,⋯ , 𝑝𝑝
2024满足条件: 𝑝𝑝
1+𝑝𝑝
2+⋯+𝑝𝑝
1012=𝑝𝑝
1013+𝑝𝑝
1014+⋯+
𝑝𝑝
2024
设 𝐴𝐴=𝑝𝑝
1𝑝𝑝
2⋯𝑝𝑝
1012,𝐵𝐵=𝑝𝑝
1013𝑝𝑝
1014⋯𝑝𝑝
2024⋅
求证: |𝐴𝐴−𝐵𝐵|≥4.
2
、给定正整数𝑛𝑛 ,
实数 𝑥𝑥
1, 𝑥𝑥
2,⋯ ,𝑥𝑥
𝑛𝑛>1满足𝑥𝑥
1𝑥𝑥
2⋯𝑥𝑥
𝑛𝑛=𝑛𝑛+1.
求证:(1
12
(𝑥𝑥
1−1
)+1)(1
22
(𝑥𝑥
2−1
)+
1)⋯(1
𝑛𝑛2
(𝑥𝑥
𝑛𝑛−1
)+1)≥𝑛𝑛+1,
并说明等号何时成立.
3
、设△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴为不等边三角形,𝑃𝑃为三角形内部一点，满足∠𝑃𝑃𝐵𝐵𝐴𝐴=∠𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴.
直线𝑃𝑃𝐵𝐵和∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴的内角
平分线交于点𝑄𝑄,
直线𝑃𝑃𝐴𝐴和∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴的外角平分线交于点𝑅𝑅.点𝑆𝑆满足𝐴𝐴𝑆𝑆∥𝐴𝐴𝑄𝑄,𝐵𝐵𝑆𝑆∥𝐴𝐴𝑅𝑅,
求证:𝑄𝑄,𝑅𝑅,𝑆𝑆三点
共线.
4
、实数𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐,𝑑𝑑满足𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑=1,𝑎𝑎+1
𝑎𝑎+𝑏𝑏+1
𝑏𝑏+𝑐𝑐+1
𝑐𝑐+𝑑𝑑+1
𝑑𝑑=0
求证:𝑎𝑎𝑏𝑏,𝑎𝑎𝑐𝑐,𝑎𝑎𝑑𝑑中至少一个等于
−1.
5
、给定平面上的两点𝑝𝑝
1=(𝑥𝑥
1,𝑦𝑦
1),𝑝𝑝
2=(𝑥𝑥
2,𝑦𝑦
2),
用𝑅𝑅(𝑝𝑝
1,𝑝𝑝
2)
表示边与坐标轴平行、且以𝑝𝑝
1
和𝑝𝑝
2为
对角顶点的矩形，即 �(𝑥𝑥,𝑦𝑦)∈𝑅𝑅2
1
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2024年全国高中数学联合竞赛
加试（A卷）参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一．（本题满分40分）给定正整数r．求最大的实数C，使得存在一个公比
为r的实数等比数列
1{}
nna
，满足
naC对所有正整数n成立．（x表示实数x
到与它最近整数的距离．）
解：情形1：r为奇数．
对任意实数x
，显然有1
2
x，故满足要求的C不超过1
2．
又取
{}
na的首项
11
2a，注意到对任意正整数n，均有1n
r为奇数，因此
1
1
22n
nr
a
．这意味着1
2
C满足要求．从而满足要求的C的最大值为1
2．
…………10分
情形2：r为偶数．
设*
2()rmmN．对任意实数，我们证明
1a与
2a中必有一数不超过
21m
m，从而
21m
C
m
．
事实上，设
1ak
，其中k是与
1a最近的整数（之一），且1
0
2．
注意到，对任意实数x及任意整数k，均有xkx，以及xx．
若0
21m
m
，则
1
21m
ak
m
．
若1
212m
m
，则2
2
2
21m
m
m
m
，即
21m
mrm
m
，此时
21
21m
aarkrrr
m
． …………30分
另一方面，取
1
21m
a
m
，则对任意正整数n，有1
(2)
21n
nm
amm
，由二
项式展开可知11
(211)(1)
2121nn
nmm
amK
mm
，其中K为整数，故
21
nm
a
m
．这意味着
21m
C
m满足要求．
从而满足要求的C的最大值为
212(1)mr
mr
． 2
综上，当r为奇数时，所求C
的最大值为1
2；当r为偶数时，所求C的最大
值为
2(1)r
r． …………40分
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）
暨2021年全国高中数学联合竞赛
一试（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．等差数列{a
n}满足a
2021＝a
20+a
21＝1，则a
1的值为__________．
2．设集合A＝{1，2，m}，其中m为实数．令B＝{a2｜a∈A}，C＝A∪B．若C的所有元素之和为6，则
C的所有元素之积为__________．
3．设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)＝f(1)·x+2f
x－1，则f(x)在(0，+∞)上的最小值为
__________．
4．设函数f(x)＝cosx+log
2x（x>0），若正实数a满足f(a)＝f(2a)，则f(2a)－f(4a)的值为__________．
5．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，B－C＝2
3
，则△ABC的面积为__________．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝2px（p>0）的焦点为F，过Γ上一点P（异于O）作Γ的切线，
与y轴交于点Q．若|FP|＝2，|FQ|＝1，则向量OP
与OQ
的数量积为__________．
7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各
次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a1，a
2，a
3，则事件“|a
1－a
2|+|a
2－a
3|+|a
3－a
1|＝6”发生的概率为
__________．
8．设有理数r＝p
q∈(0，1)，其中p，q为互素的正整数，且pq整除3600．这样的有理数r的个数为__________．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．已知复数列{z
n}满足：z
1＝3
2，zn+1＝
nz(1+z
ni)（n＝1，2，…），其中i为虚数单位．求z
2021
的值．10．在平面直角坐标系中，函数y＝
1
1x
x
的图像上有三个不同的点位于直线l上，且这三点的横坐标之和为
