奥数最优化问题

●例5有10个村，坐落在从县城出发的一条公路（如图，距离单位都是千米），要安装水管，从县城输送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。

粗管每千米用8000元，细管每千米用2000元。

把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。

按你认为最节省的办法，费用应是多少？分析首先考虑全用粗管，因为8000元是2000元的4倍，所有G之后粗管，费用将减少。

在F与G之间不论安装粗管还是细管，花的钱一样多。

在F之前如果不安装粗管，需要5条以上的细管，费用将增加。

因此，工程的设计是：从县城到G安装一条粗管；G和H之间安装三条细管；H与I之间安装两条细管；I与J之间安装一条细管。

这样做，工程费用最少。

解8000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×3+5）=414000（元）●例6仓库内有一批14米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成3米和5米长的50根。

如果不计切割时的损耗，最少要从仓库最出多少根钢材？分析因为14=3×3+5，所有把每根14米的钢材切割成3根3米和1根5米的最少料。

但是这种“最优方案”会导致3米的大大多于5米的，不符合各50根的要求，于是应该想到13=5+5+3，即把14米的钢材切割成2根多5米的和1根3米的，每用一根钢材仅浪费1米的“次优方案”，这一方案中5米的多于3米的，因把“最优方案”与“次优方案”切割了Y根。

按“最优方案”可得3X根3米的，X根5米的；按“次优方案”可得Y根3米的，2Y根5米的。

根据3米的与5米的根数相等，可得：3X+Y=X+2Y得2X=Y因为3X+Y=50，所以3X+2X=5X，解之得X=10，这样Y=20，也就是说最少要从仓库取出10+20=30（根）钢材。

在我国古代数学著作《孙子算经》中，记载了这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?"这一问题及其解法，被中外数学家称之为”孙子定理“，也称为”中国剩余定理“。

●例7一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求满足条件的最小整数”。

分析这类问题的解题依据是：（1）如果被除数增加（或减少）除数的若干部，除数不变，那么余数仍然是2.例如：17÷3=5......2那么17依次加上（或减去）3的倍数，余数仍然是2.（2）如果被除数扩大（或缩小）若干部，除数不变，则余数也扩大（或缩小）相同的倍数。

例如25÷3=4......3如果将23扩大3倍，余数也扩大3倍变成9（实际余4）。

本题所求的最小的整数要满足三个条件，解答时可先求满足其中一个条件的数，再依次增加条件，最终找到满足所有条件的数。

解解法一：（1）先找出满足：“除以3余2”的最小的数2，再依次加上3的倍数，余数不变：2+3=5,5+3=8......(2)从中找到满足“除以5余3”的最小的数是8，我们再依次加上3和5的公倍数，仍然能满足前两个条件。

8+15=23,23+15=38，.....(3)上利数中满足“除以7余2”的最小的数是23.这是同时满足三个条件的最小的整数，如果依次加上3、5、7的公倍，仍然满足这三个条件。

因此，满足条件的最小整数是23解法二（1)先找出能不被3、5正处而被7除余1的数：15，能被3、7整除而被5除余1的数：21，能被5、7整除而被3除余1的数：70。

（2）题目中要求的数倍7、5、3除得的余数分别是2、3、2，用它们分别去乘15、21、70，再把积加起来：15×2+21×3+70×2=30+63+140=233、（3）233是满足条件的数，但不是最小的，从中减去3、5、7的公倍数，使得差小于他们的最小公倍数105，这个差就是满足条件的最小的数：233-105×2=23注解法一，小学生较易理解和掌握。

解法二更科学、简明，但理解起来有难度例8篮子里有若干只鸡蛋，每次去处5只，最最后剩3只；每次去处6只，最后剩下4只；每次去处7只，最后剩1只。

篮子里至少有多少只鸡蛋？分析本题与例1类型相同，鸡蛋的数量除以5余3，除以6余4，除以7余1.求篮子里至少有多少只鸡蛋，也就是求符合条件的最小的数。

解（1）“除以5余3”的最小的数是3，加上5的倍数：8、13、18、23、28……（2）从中找到满足“除以6余4”的最小的数是28，再一次加上5和6的公倍数30：58、88、118、148……（3）上列数中满足“除以7余1”的最小数是148.因此，148就是符合条件的最小的数，即篮子里至少148只鸡蛋。

例9一个数被7除余5，被4除余3，这个数被28除余几？分析先找出“被7除余5、被4除余3”的最小数，用这个数除以28的余数，就是所求的数。

解（1）“被7除余5”的数有：5、12、19、26……（2）从中找出满足“被4除余3”的最小的数是19，用19依次加上7和4的公倍数28，可以得到所有符合条件的数。

（3）因为19÷28的余数是19，其他符合条件的数被28除的余数也是19.因此，这个数被28除余19.例10再一次讨论会上，与会代表没3人一组，则多1人；每5人一组，则多2人；每7人一组，则多3人。

已知与会代表人数350—400之间，就是与会代表的人数。

解：（1）“被除3余1”的数有：1、4、7……（2）从中找出满足“被5除余2”的最小的数是7，用7依次加上3和5的公倍数15：22、37、52、.....（3）上列数中满足“除以7余3”的最小的数是52.（4）因为人数在350－400之间，所以用52依次加上3、5和7的最小公倍数105;157/262/367、.......那么，与会代表共有367人。

例11在500以内的整数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大数是多少？分析先找出符合条件的最小的数，再加上4、5和7的公倍数的若干倍，找到500以内最大的数。

解（1）“被除4余3”的数有：3、7.....（2）从中找到满足“被5除余2"的最小的数是7，用7依次加上4和5的公倍数20:27、47、67、.....（3）上列数中满足”除以7余4“的最小的数是67.（4）4、5和7的最小公倍数是140,67+140×3=487.因此，满足条件的最大的数是487.例12在小于1000的整数中，除以3余2，除以5余2，除以7余4的数共有多少个？分析先找出符合条件的最小的数，再加上3、5和7的公倍数的若干倍，找出1000以内符合条件的最大的数，将若干倍加上1，也就是满足条件的数的个数。

解（1）”被出3余2、被5除余2“的最小数，也就是3和5的最小公倍数加上2：3×5+2=17（2）用17依次加上3和5的公倍数15:32、47、.....（3）上列数中满足“除以7余4”的最小的数是32.（4）[3,5和7]=105,32+105×9=9779+1=10，所以满足条件的数共有10个“一堆草可供8头牛吃6天，这堆草可供10头牛吃几天?",这个问题分成简单，因为草的问题是固定不变的，于是可以得到，可供12头牛吃：8×6÷12=4（天）但如果将“一堆草”改为“一片正在生长的草地”，此时问题就复杂多了，因为草的总量是在不断变化的（假设其均匀变化）。

这类工作总量不固定但均匀变化的问题称为牛吃草问题，由于这类问题首先由牛顿提出的，因而也叫牛顿问题。

此类题，它的解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握方法，正确解答。

例13牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？分析如果我们将1头牛1天的吃草量看作1份，则9头牛20天共吃了1×9×20=180份草，而15头牛10天共吃了1×15×10=150份草，同一片牧场原有草的份数相等，产生180－150=30份草的差异是由（20—10）天中长出的新草，因此可以先求每天新生的草是30÷（20—10）=3（份），再从吃草总量中减去一共新生的草，就是牧场上原有的草，由于每天都新生出3份的草量，可供3头牛吃，所以18头牛中只有（18—3）头牛在吃原有草，原有草可供（18—3）头牛吃几天，就是所求的问题。

解（1）每天新生的草：（9×20—15×10）÷（20—10）=3（2）牧场原有的草：9×20—3×20=120（3）18头牛吃的天数：120÷（18—3）=8（天）答要供18头牛吃，可以吃8天说明解答“牛顿问题”的基础，是要通过两种不同吃法所产生的差异，来先求出每天新生的草，接着再求出原来牧场上的草，通过假设每天涨几份草就被几头牛吃掉，剩下的牛只能吃原来的草，然后再求出吃的天数。

由于草没有具体的数量，往往假设1头牛1天吃1份草。

例14有一口水井，持续不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量都相等，如果使用8架抽水机抽水，60分钟可以抽完水，现在要在18分钟内抽完水，需要多少架抽水机？分析我们可将么分钟每架抽水机抽出的水量看作1份，分别求出每分钟涌出的水量和井中原有的水量，而实际抽水量应是原来水量与18分新涌出的水量之和，一架抽水机18分钟可抽水（1×18）份，有几个（1×18）份，就是所求抽水机的数量。

解（1）每分钟涌出水量：（5×60—8×30）÷（60—30）=2（2）井中原有水量：5×60—2×60=180（3）实际抽水量：180+2×18=216（4）所用抽水机架数：216÷18=12（架）答需要12架抽水机。

说明抽水问题与牛顿问题类似，也必须先求出每分钟涌水的水量和原来有的水量，要求用多少台抽水机，则可先求出实际抽水量（即原来水量与新涌水的水量之和）再求所用的抽水机数例15有一漫池水，池底有泉水总能均匀地向外涌出，如果用25部售水机6天可以将水池抽干，如果用20部抽水机12天可将水池抽干，如果每部抽水机水量相等，要使这一池水永远抽不干，则至多只能用多少部抽水机抽水？分析我们可以假设1部抽水机1天的抽水量为1份，可以先求出每天新涌出了多少份水，要使这池水永远不干，每天抽掉的水量不能超过每天新涌出的水量，因此每天最多只能抽掉新涌出的水。

解（1）每天新涌出的水量：（20×12—25×6）÷（12—6）=15（2）至多安排抽水机的部数15÷1=15（部）答至多安排15部抽水机说明这一题与一般的“牛顿问题”不同，它要使原有水留下来，唯一的方法是抽得的水只能等于或小于新涌出的水量。