高中数学阶段质量检测(三)新人教A版必修1

章末检测一、选择题1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <03． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，N ＝B B ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8． 已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B ．－12C ．1D ．－19． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( ) A ．24B ．21C ．18D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－412. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为( )二、填空题13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______.14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．三、解答题17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．19．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 20．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．21．某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．答案1． C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8．A 9.A 10．B 11．D 12．B 13．－2 14．[25，＋∞) 15．(－∞，1] 16．{(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}17．解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A .∴2×(12)2＋3p ×(12)＋2＝0.∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B .∴2×(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)， 且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数． 19．解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10. 20．(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0＜a ≤1.21．解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10.∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8.因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元． 22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3，∴a ＝32.。

新教材高中数学新人教A 版必修第一册：集合的概念层级(一) “四基”落实练1．(多选)下列每组对象，能构成集合的是( ) A ．中国各地最美的乡村B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C ．2022年将参加北京冬奥会的优秀运动员D ．清华大学2020年入学的全体学生解析：选BD 中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A 不能；优秀运动员，无法确定集合中的元素，故C 不能．∴根据集合元素的确定性可知，B 、D 都能构成集合．2．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A 因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3)解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2,3)}，故B 正确． 4．(多选)设集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则下列表述正确的是( ) A ．{0}∈A B ．2∈A C ．{2}∈AD ．0∈A解析：选BD ∵集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A ，∵元素与集合是属于关系，故A 、C 不正确． 5．(多选)下列说法错误的是( )A ．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}B ．方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}C ．集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是相等的D ．若A ＝{x ∈Z|－1≤x ≤1}，则－1.1∈A解析：选BCD 根据集合的概念易知A 正确．B 错误，方程的根为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故其解集应写成{(2，－2)}．C 错误，{(x ，y )|y ＝1－x }是由直线y ＝1－x 上的所有点组成的集合，{x |y ＝1－x }是由符合y ＝1－x 的所有x 的值构成的集合，二者不相等．D 错误，由题意可知，A ＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A . 故选B 、C 、D.6．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈7．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a＋－bb＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a＋|b |b＝0. ∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．答案：38．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解：(1)因为方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x ＝2n ＋1，n ∈N ，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x |x ＝2n ＋1，且n ＜500，n ∈N}．层级(二) 能力提升练1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．2．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三个边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形．3．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a2 021＋b2 020＝________.解析：由题意，得b a＝0且a ≠0，a ≠1，所以b ＝0，a 2＝1，解得a ＝－1(a ＝1舍去)，所以a2 021＋b2 020＝－1.答案：－14．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．解：根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－－1＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.5．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤98.(3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．当集合A 中没有元素，即A ＝∅时， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素．层级(三) 素养培优练1．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4，有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．解析：若只有①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，而a ＝b ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，则有序数组为(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正确，则有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，则有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)． 故符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是6. 答案：62．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z}，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z}，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z}．(1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论． 解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z)， 令a ＝3k ＋1(k ∈Z)，b ＝3k ＋2(k ∈Z)，则m ＝a ＋b . 故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立．(2)设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ，则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.。

第五章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】由tan α＜0,cos α＜0,所以角α的终边在第二象限． 2．函数y ＝sin x cos xcos 2x 的周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．3π2【答案】C 【解析】函数y ＝sin x cos x cos 2x ＝12sin 2xcos 2x ＝12tan 2x 的周期为π2.故选C ．3．已知tan α＝2,则1＋sin2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝( ) A ．32 B ．52 C ．4 D ．5【答案】D4．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A ．－43B ．43C ．34D ．－34【答案】B 【解析】易知sin θ ＝45,cos θ＝－35,tan θ＝－43,原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.5．在平面直角坐标系中,点P (sin 100°,cos 200°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为sin 100°＞0,cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＜0,所以点P (sin 100°,cos 200°)位于第四象限．故选D ．6．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2【答案】D 【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.故选D ．7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递减区间为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π(k ∈Z ) 【答案】D8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，1,在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1B ．22 C ．12D ．32【答案】C 【解析】由题意,得T 4＝5π12－π6,所以T ＝π,所以ω＝2,则f (x )＝sin(2x ＋φ)．将点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ),得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1,所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2,所以φ＝π6,即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.故选C ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列计算正确的选项有( )A ．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B ．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C ．1＋tan 15°1－tan 15°＝ 3 D ．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－32【答案】CD 【解析】对于A,sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1,故A 错误；对于B,sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1,故B 错误；对于C,1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3,故C 正确；对于D,cos 74°sin14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－32,故D 正确．故选CD ． 10．已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14的定义域为[m ,n ](m ＜n ),值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14,则n －m 的值不可能是( )A ．5π12B ．7π12C ．3π4D ．11π12【答案】CD 【解析】f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－14＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14＝12·1－cos 2x 2＋34sin 2x －14＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,所以不妨令2n － π6＝ π6,则2m － π6的最小值为－7π6,最大值为－π2,即当n ＝ π6时,m 的最小值为－π2,最大值为－ π6.所以n －m 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.所以n －m 的值不可能是C 或D ．故选CD ．11．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的可能取值为( )A ．－3π4B ．π4C ．0D ．－π4【答案】AB 【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象,由于所得函数为一个偶函数,则π4＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,故当k ＝0时,φ＝π4；当k ＝－1时,φ＝－3π4.故选AB ．12.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0,ω＞0,0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 D ．函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和8π3 【答案】BCD 【解析】由图可知,A ＝2,T 4＝2π3－5π12＝π4,所以T ＝2πω＝π,则ω＝2.又2×5π12＋φ＝π,所以φ＝π6,满足0＜|φ|＜π,则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1,所以f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝0,所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3 ，π6,得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2,则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增．由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12,所以2x ＋π6＝π6＋2k π或2x ＋π6＝5π6＋2k π,k ∈Z .取k ＝0,得x ＝0或π3；取k ＝1,得x ＝π或4π3.所以函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为π3＋π＋4π3＝8π3.故选BCD ． 三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知2sin θ＋3cos θ＝0,则tan(3π＋2θ)＝________.【答案】125 【解析】由同角三角函数的基本关系式,得tan θ＝－32,从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝125. 14．已知扇形弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为________cm 2.【答案】360π 【解析】由弧长公式l ＝|α|r ,得r ＝20100π180＝36π,所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π(cm 2)． 15．(2020年冀州区校级高一期中)已知θ为第二象限角,若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋θ－sin(θ－3π)＝________.【答案】2105 【解析】由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12,得tan θ＋11－tan θ＝12,解得tan θ＝－13.又θ为第二象限角,所以联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＝－13，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010,cos θ＝－31010.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2＋θ－sin(θ－3π)＝－cos θ＋sin θ＝2105.16．(2020年洛阳高一期中)已知函数f (x )＝sin x ＋2cos x 在x 0处取得最小值,则f (x )的最小值为________．【答案】－ 5 【解析】f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x ＋25cos x ＝5sin(x ＋α),其中cos α＝15,sin α＝25,所以当x ＝2k π－α－π2,k ∈Z 时,函数f (x )取得最小值为－ 5.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,求f (x )的值域．解：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2sin x cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6－sin 2x＝32sin 2x －32cos 2x －sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.18．已知角α是第三象限角,tan α＝12.(1)求sin α,cos α的值；(2)求1＋2sin π－αcos －2π－αsin 2－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α的值．解：(1)tan α＝sin αcos α＝12,sin 2α＋cos 2α＝1,故⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝55，cos α＝255，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－55，cos α＝－255，而角α是第三象限角,则sin α＜0,cos α＜0,故⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－55，cos α＝－255.(2)1＋2sin π－αcos －2π－αsin2－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos α2sin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1.∵tan α＝12,∴tan α＋1tan α－1＝－3.19．已知函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6 ＝12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4cos 2π6－12cos π6－32＝6－34.(2)设t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 则原函数化为g (t )＝4t 2－12t －32,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1,所以f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－9764，2.20．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.因为ω＞0,依题意得2π2ω＝π,所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由题意,知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时,π4≤4x ＋π4≤π2,所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1,所以1≤g (x )≤1＋22.故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.21．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－12(x ∈R )．(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－7π24＝310,求sin 2α的值．解：f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－12＝1＋cos 2x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x ＋12cos 2x ＋32sin 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋32sin 2x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0,所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32,则f (x )max ＝34,f (x )min ＝－32. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－7π24＝310,得32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π12＋π3＝310,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝15. 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－2×125＝2325. 22．已知x 0,x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)若关于x 的方程433f (x )－m ＝1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解,求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.由题意可知,f (x )的最小正周期T ＝π,所以2π2ω＝π,所以ω＝1.故f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32.(2)原方程可化为433×32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1.设y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3,0≤x ≤π2,当x ＝0时,y ＝2sin π3＝3；当x ＝π12时,y 的最大值为2.要使方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解,需使3≤m ＋1<2,即3－1≤m <1,所以m ∈[3－1,1)．。

章末综合检测（三） 成对数据的统计分析A 卷——基本知能盘查卷一、单项选择题1．可用来分析身高与体重有关系的是( ) A ．残差分析 B ．线性回归模型 C ．等高堆积条形图D ．独立检验解析：选B 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用线性回归模型来解决．2．两个变量y 与x 的经验回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y 与x 之间的关系，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1 C ．模型3D ．模型4解析：选A 两个变量y 与x 的经验回归模型中，它们的相关指数R 2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，所给出的四个选项中0.98是相关指数最大的值，所以拟合效果最好的模型是模型1.3．已知一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2＝( )A ．0B ．0.5C ．0.9D ．1选D4．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据为( ) A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析：选A 由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，即小概率值α＝0.05，则χ2＞3.841.5．观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1解析：选 B 根据表中数据得x －＝18×(－10－6.99－5.01－2.98＋3.98＋5＋7.99＋8.01)＝0，y －＝18×(－9－7－5－3＋4.01＋4.99＋7＋8)＝0，所以两变量x ，y 的经验回归方程过样本点的中心(0,0)，可以排除A 、C 、D 选项，故选B.6．2020年初，新型冠状病毒(COVID ­19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数(x ) 1 2 3 4 5 治愈人数(y )2173693142由表格可得y 关于x 的二次回归方程为y ^＝6x 2＋a ，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( )A ．5B ．4C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x 2，则t －＝15(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y －＝15(2＋17＋36＋93＋142)＝58，a ＝58－6×11＝－8，所以y ^＝6x 2－8.令x ＝4，得e 4＝y 4－y ^4＝93－6×42＋8＝5.7．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：喜爱程度 性别合计 男(Y ＝0) 女(Y ＝1) 爱好(X ＝0) 10 40 50 不爱好(X ＝1)20 30 50 合计3070100参考数据及公式：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635其中χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .则下列结论正确的是( )A ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关B ．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关C ．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关D ．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关 解析：选A 零假设为H 0：是否爱吃零食与性别相互独立，即是否爱吃零食与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×10×30－40×20250×50×30×70≈4.762>3.841＝x 0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 0不成立，即认为是否爱吃零食与性别有关．同理可得，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为爱吃零食与性别无关；根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为爱吃零食与性别有关．8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：选A 将y ^＝7.675代入回归方程，可计算得x ≈9.262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.262≈0.83，即约为83%.二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性经验回归模型中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在经验回归模型中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：选ACD 由于线性相关系数|r |≤1，且当|r |越大，线性相关性越强，故r <0时，选项B 不正确，A 、C 、D 均正确．10．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423 B ．y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648 C ．y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493 D ．y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578解析：选BC 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故正确的为B 、C.11．以下关于线性经验回归的判断中，正确的选项为( )A ．若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为经验回归直线B ．散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点C ．已知线性经验回归方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 D ．线性经验回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势解析：选BCD 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线，所以A 错误；B 正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69，所以C 正确；D 正确．12．有两个分类变量X 与Y ，其2×2列联表如下表所示：X Y 合计 Y ＝0 Y ＝1X ＝0 a20－a 20 X ＝115－a 30＋a 45 合计155065其中a,15－a 均为大于5的整数，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，则a 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．6解析：选BC 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X 与Y 之间有关，需要χ2的值大于或等于3.841，由χ2＝65×[a 30＋a －20－a15－a ]220×45×15×50＝1313a －6025 400≥3.841，解得a ≥7.69或a ≤1.54.而a >5且15－a >5，a ∈Z ， 所以a ＝8或a ＝9. 三、填空题13．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：吸烟量年龄合计不超过40岁 (Y ＝0)超过40岁 (Y ＝1) 不多于20支/天(X ＝0) 50 1565多于20支/天 (X ＝1) 10 25 35 合计6040100则χ2＝________(保留到小数点后两位有效数字)． 解析：由列联表知χ2＝100×10×15－50×25260×40×65×35≈22.16.答案：22.1614．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生情况，具体数据如下表：性别专业非统计专业 (Y ＝0)统计专业 (Y ＝1) 男(X ＝0) 13 10 女(X ＝1)720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844>3.841，所以能根据小概率值α＝________，我们断定主修统计专业与性别有关系．解析：因为P (χ2≥3.841)＝0.05，所以小概率值α＝0.05. 答案：0.0515．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性经验回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为________．x3 4 5 6y2.5 m 4 4.5解析：根据所给的表格可以求出x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋m ＋4＋4.54＝11＋m 4，因为这组数据的样本点的中心在线性经验回归直线上， 所以11＋m4＝0.7×4.5＋0.35，所以m ＝3.答案：3 四、解答题16．(12分)为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干名大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1 000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0)610 女(X ＝1)90 合计800(1)根据题意完成表格．(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意做志愿者工作与性别是否有关？ 参考公式及数据：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.01 x α2.7063.8416.635解：(1)性别 是否愿意做志愿者 合计 愿意(Y ＝0)不愿意(Y ＝1)男(X ＝0) 500 110 610 女(X ＝1) 300 90 390 合计8002001 000(2)零假设为H 0：愿意做志愿者工作与性别是相互独立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝1 000×500×90－110×3002610×390×800×200＝3 000793≈3.783<3.841＝x 0.05， 所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，即愿意做志愿者工作与性别是无关的．17．(12分)自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视．某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0)不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)2050B 城高中家长(X ＝1) 20 合计100(1)完成上面的列联表；(2)根据上面列联表的数据，能否根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断家长对自主招生关注与否与所处城市有关系；(3)为了进一步研究家长对自主招生的看法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层随机抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率．参考公式：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．附表：P (χ2≥x α)0.10 0.05 0.010 x α2.7063.8416.635解：(1)列联表如下： 城市高中家长是否关注合计关注(Y ＝0) 不关注(Y ＝1)A 城高中家长(X ＝0)203050B 城高中家长(X ＝1) 30 20 50 合计 5050100(2)零假设为H 0：家长对自主招生关注与否与所处城市相互独立，即家长对自主招生关注与否与所处城市无关．根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝100×20×20－30×30250×50×50×50＝4>3.841.所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为家长对自主招生的关注与否与所处城市是有关的．(3)关注的人共有50人，按照分层随机抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，从5人中抽取2人有C 25＝10种不同的方法，A ，B 两城市各取一人有C 12C 13＝2×3＝6种不同的方法，故所抽取的2人恰好A ，B 两城市各一人的概率为C 13C 12C 25＝610＝0.6.B 卷——高考能力达标卷一、单项选择题1．下列属于相关关系的是( ) A ．利息与利率 B ．居民收入与储蓄存款 C ．电视机产量与苹果产量 D ．某种商品的销售额与销售价格解析：选B A 与D 是函数关系，C 中两变量没有关系，B 中居民收入与储蓄存款是相关的，但不具有函数关系．2．已知一个经验回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75解析：选A x －＝1＋7＋5＋13＋195＝9，因为经验回归直线必过样本点的中心(x －，y －)， 所以y －＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.3．已知每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的经验回归方程y ^＝56＋8x ，则下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元解析：选C 根据经验回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其经验回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的经验回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列说法错误的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．经验回归直线过样本点的中心C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 选项错误．6.如图所示的是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比例约为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：选C 由题图可知女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．7．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．8．为考察数学成绩与物理成绩的关系，某老师在高二随机抽取了300名学生，得到下面的列联表：物理成绩数学成绩合计85～100分 (Y ＝0)85分以下 (Y ＝1) 85～100分(X ＝0) 37 85 122 85分以下(X ＝1)35 143 178 合计72228300 根据表中数据，分析数学成绩与物理成绩有关联的出错率不超过( ) A ．0.5% B ．1% C ．0.1%D ．5%解析：选D 由表中数据代入公式得 χ2＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514>3.841＝x 0.05，所以判断的出错率不超过5%. 二、多项选择题9．给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有( ) A ．一种药物对某种病的治愈率 B ．两种药物治疗同一种病是否有区别 C ．吸烟得肺病的概率 D ．吸烟与性别是否有关系答案：BD10．对于经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －)B ．x 增加1个单位时，y 平均增加b ^个单位 C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^解析：选ABC 经验回归方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值．11．下列说法中正确的有( ) A ．若r >0，则x 增大时，y 也相应增大 B ．若r <0，则x 增大时，y 也相应增大C ．若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上D ．|r |越接近1，相关关系越强解析：选ACD 若r >0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故A 正确．r <0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故B 错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故C 正确，D 正确．12．根据如下样本数据：得到的经验回归方程为y ＝b x ＋a ，则( ) A.a ^>0 B.a ^<0 C.b ^>0D.b ^<0解析：选AD 根据题意，画出散点图(图略)．根据散点图，知两个变量为负相关，且经验回归直线与y 轴的交点在y 轴正半轴，所以a ^>0，b ^<0.三、填空题13．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两名同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案：2014．为了判断高三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取70名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (≈4.667，则在犯错误的概率不大于________的前提下认为选修文科与性别有关．解析：由题意知， χ2≈4.667，因为6.635>4.667>3.841，所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下认为选修文科与性别有关．答案：0.0515．已知x ，y 之间的一组数据如下表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l 1：y ＝13x ＋1与l 2：y ＝12x ＋12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是______________.解析：用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1032＋⎝⎛⎭⎪⎫5－1132＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－722＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫5－922＝12. 因为S 2<S 1，故用直线l 2：y ＝12x ＋12拟合程度更好．答案：y ＝12x ＋12四、解答题16．(12分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上．若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，则使用微信的人中75%是青年人．如果规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中，中年人有40人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，请完成下面的2×2列联表；使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0)不经常使用微信(X ＝1) 合 计(2)根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析该公司经常使用微信的员工与年龄的关系．解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：使用微信 年龄合计青年人(Y ＝0)中年人(Y ＝1)经常使用微信 (X ＝0) 8040120不经常使用微信(X ＝1) 55 5 60 合 计 13545180(2)零假设为H 0：该公司经常使用微信的员工与年龄相互独立，即该公司经常使用微信的员工与年龄无关．将列联表中的数据代入公式可得， χ2＝180×80×5－40×552135×45×120×60≈13.333>10.828＝x 0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为该公司经常使用微信的员工与年龄有关．17．(12分)淘宝网卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：评分等级 [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 女/人 2 7 9 20 12 男/人 3918128(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人，求恰有1人是男性的概率；(2)规定：评分等级在[0,3]为不满意该商品，在(3,5]为满意该商品．完成下面列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析性别与对商品满意度是否有关.性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1)女(X ＝0) 男(X ＝1) 合计解：(1)因为从评分等级(4,5]的20人中随机选取2人，共有C 220＝190种选法，其中恰有1人为男性的共有C 112C 18＝96种选法，所以所求概率P ＝96190＝4895.(2)列联表如下：性别评分等级合计满意该商品 (Y ＝0)不满意该商品(Y ＝1) 女(X ＝0) 32 18 50 男(X ＝1) 20 30 50 合计5248100 零假设为H 0：性别与对商品满意度相互独立，即性别与对商品满意度无关．由公式得χ2＝100×32×30－20×18250×50×52×48≈5.769>3.841＝x 0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即可以认为性别与对商品满意度有关．。