最新数学奥林匹克竞赛河南省预赛高一数学竞赛试卷扫描版

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2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）

暨2021全国高中数学联合竞赛

加试（B卷）参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一．（本题满分40分）如图所示，I是ABC的内心，点,PQ分别为I在

边,ABAC上的投影．直线PQ与ABC的外接圆相交于点,XY（P在,XQ之

间）．已知,,,BIPX四点共圆，证明：,,,CIQY四点共圆．

证明：记ABC的外接圆为．

因为90APIAQI，故,,,APIQ四点共圆．因此

1

9090

2BPQBPIIPQIAQBACBIC．

又由,,,BIPX四点共圆可知BPXBIX，故

180BIXBICBPXBPQ，

因此,,CIX三点共线． ……………10分

由,,,BIPX共圆可知90BXIBPI，故BXIX，即BXCX．因此

90BACBXC．

于是四边形APIQ是正方形，PQ垂直平分线段AI． ……………20分

设Y

是

AC的中点，则由内心熟知的结论可知YAYI

，因此Y

是AI的中

垂线PQ与圆的交点．又直线PQ与圆相交于,XY两点，且Y

显然不同于X，

故Y

与Y重合．因此Y是

AC的中点． ……………30分

于是,,BIY三点共线．因此90IYCBYCBACIQC，进而

,,,CIQY四点共圆． ……………40分

二．（本题满分40分）求最大的正整数n，使得存在8个整数

1234,,,xxxx

和

1234,,,yyyy，满足：



0,1,,||14||14

ijijnxxijyyij．

解：设

n符合要求，则整数

12341234,,,,,,,xxxxyyyy满足：

1

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2022年全国高中数学联合竞赛（B1卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设10分和0分两档；其他各题的评阅，

请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评

分标准适当划分档次评分，解答题中第9、10小题5分为一个档次，第11、12小题10分为一

个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题10分，满分80分．

1. 若等差数列{}

na的各项非零，且12

34aa

a+

=，则

56

7aa

a+

的值为 ．

答案：4

5．

解：设{}

na的公差为d，则11

1()

4

2aad

ad++

=

+，即

12

7d

a=-．

令

17,2(0)atdtt==-¹，从而561

712914184

67125aaadtt

aadtt++-

===

+-．

2. 在平面直角坐标系中，圆W的方程为22

202220220xyxy+---=，则圆W的面积

为 ．

答案：2243p．

解：易知2222

:(10)(11)202210112243xyW-+-=++=．

设圆W的半径为r，则2

2243r=，于是圆W的面积为2

2243rpp=．

3. 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率

为 ．

答案：7

12．

解：连续掷两次骰子共有2

636=种情况，其中对每个{1,2,,6}kÎ，当第一次掷骰子所

得点数为k时，第二次掷骰子所得点数不小于k的情况数为7k-． 从而所求概率6

11217

(7)

363612

kpk

==⋅-==å

．

4. 设,RabÎ，若tan()2,tan(2)3abab+=+=，则tana的值为 ．

答案：13

9．

解：由于

2tantan(2)2tan()

tan(22)

1tantan(2)1tan()aabab

ab

高一数学奥林匹克竞赛题

一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分.

1.已知集合9,7,5,3,1A,8,6,4,2B，若BbAabaC,，则集合C的所有元素之和为________.

2.在ABC中，2,31sinABA,则CBCA的最小值为________.

3.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()1(xfxf，又当50x时，)7(log)(2xxf，则)2018(f的值为________.

4.若13cos2coscos3sin2sinsinxxxxxx，则x________.

5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11NnnxffxfxfxfRaaxxfnn，若xxf)(2018没有零点，则a的取值范围是________.

6.若对任意1,1x，恒有),,(22Rcbacbaxx成立，则当c取得最小值时，函数)(32)(Rxcxbxaxxf的最小值为________.

7.用x表示不大于x的最大整数，方程xxxx3015106的最小正解为________.

8.函数)1sin(sin)(xxxf的值域为________.

9.已知平面向量2OBOA，且2OBOA，若1,0t，则BAtBOAOABt)1(2的最小值为________.

10.已知函数)0()(2acbxaxxf，其中cba,,是整数，若)(xf在)1,0(上有两个不相等的零点，则b的最大值为________.

二.解答题：本大题共5小题，共120分.

11.已知函数bxxxfa11log)(是奇函数)1,0(aa

（1）求b的值及函数)(xf的定义域；

（2）是否存在实数a使得)(xf的定义域为nm,，值域为mnaalog1,log1？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

奥林匹克竞赛数学试题

一、选择题

1. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)，\( b \)，\( c \) 为常数。若 \( f(1) = 3 \)，\( f(2) = 7 \)，\( f(3) =

15 \)，则 \( a \) 的值为：

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 一个等差数列的前五项和为 35，第五项为 7，求该等差数列的公差。

3. 在直角坐标系中，点 \( A(2,3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( B \) 的坐标是：

A. (3,2)

B. (2,2)

C. (3,3)

D. (2,3)

4. 已知圆的周长为 \( 4\pi \)，求该圆的面积。

二、填空题

5. 一个等比数列的前三项和为 7，且第一项与第二项之和为 4，求该等比数列的第三项。

6. 一个正方形的对角线长度为 10cm，求该正方形的面积。

7. 已知一个三角形的两边长分别为 5cm 和 12cm，且夹角为 60 度，求第三边的长度。

三、解答题

8. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots

+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

9. 一辆汽车从 A 点出发，以每小时 60 公里的速度向 B 点行驶。同时，另一辆汽车从 B 点出发，以每小时 40 公里的速度向 A 点行驶。如果两地相距 240 公里，求两辆汽车相遇的时间。

10. 一个无限等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，已知

\( S_{10} = 110 \)，\( S_{20} - S_{10} = 440 \)，求 \( S_{30}

\)。

四、综合题

11. 在平面直角坐标系中，点 \( P \) 到原点 \( O \) 的距离为 5，点 \( P \) 到直线 \( y = x \) 的距离为 4，求点 \( P \) 的坐标。