高二数学奥林匹克竞赛河南省预赛试题

20120122年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:327766373636=××+++C C C .填:327.2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x −−3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(<−−<<<<<=Ωy x y x y x ,面积29=ΩS ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:}3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >−−+>−−+−−>+<−−<<<<<=面积89=A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==ΩS S A P A .填:41.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ∆是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=−=OC MC MO .填:1.4.解:原式可化为o 10tan 322tan2tan1=−αα,两边平方得o 10tan 3222cos2sin 2sin 2cos=−+αααα，o 10tan 322sin 2+=α,oo o o o o o oo o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤<x 时,根据)()(b f a f =可得1=ab ,当4>x 时,根据)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<<c ,所以abcd 36)6()12(2+−−=−==c c c cd ,当54<<c 时,3532<<abcd .填:)35,32(.6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=−−+a a a a 可化为8)2(2122122=+−+a a q a q a ,8)1)(2(212=−+q a a ,182212−=+q a a ,且1>q ,令12−=q t ,则0,12>+=t t q .782a a +=61622q a q a +=t t q q q a a 326612)1(818)2(+=−=+=)133(82t t t +++.设)(t f =)133(82t t t +++,则=)(/t f ))12()1((8)132(8132(8222232tt t t t t t t −+=−+=−+.所以)(t f 在)21,0(上是减函数,在),21(+∞是增函数.54)21()(min ==f t f .填:54.7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当22,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.填:312.8.解:当122+<≤k kx 时,[]k x =2log ,因为204822012210241110=<<=,所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=−×.[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,32222++=−S +…+921029×−=81942282922101010−=−×−=×−−,8194=S .所以原式=8194+9890=18084.填:18084.二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.又,60AB BC ABC =∠=�∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形.CO ∴=,又2,EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ⊂平面,∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E −−，)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=−==,.………8分设平面DCE 的法向量),,(z y x =.⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==−0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎩⎨⎧=−=+0303c a b a ,令1=a ,则3,3=−=c b ，m =)3,3,1(− (12)分772,cos ==〉〈n m .所以二面角A EC D −−的余弦值为7.………………………16分三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+−+x x x ,22/)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,022)1ln(>+−+x xx ,即22)1ln(+>+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此22)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kxx f ++<11)(可化为0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .令2)1ln()1()(kx x x x x g −−++=，则kx x x g 2)1ln()(/−+=，k xx g 211)(//−+=.当0>x 时,1110<+<x,令12≥k ,则0)(//<x g ,)(/x g 在),0(+∞是减函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,…………………15分所以当21≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .当01<<−x 时,111>+x,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(−是增函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在)0,1(−是减函数,因此0)0()(=>g x g .所以当21≤k 时,对于01<<−x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kxx f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++−+xx kx x x .令=)(x g x x kx x ++−+1)1ln(2,则2/)1()12()(x k kx x x g +−+−=当⎩⎨⎧≥−≥0120k k ,即21≥k 时,在),0(+∞上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,所以xkxx f ++<11)(.………………………15分当⎩⎨⎧≤−≤−+−012012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(−上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=>g x g ,所以xkxx f ++<11)(.因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.……………20分四.解:(1))21)(2()21()2(222121112111++−++=++++=+++=+=++n nn n n n n n x x x x x x x a =n n a x 2121211212121211+−++=++−++.…………………5分)221(21212211−+−=−+n n a a ,又44232212112211−=−+=−a .所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧−221n a 是以4423−为首项,2121+−为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:1)2121(4423221−+−−=−n n a ,即1)2121(4423221−+−−+=n n a .…………………………………10分(2)因为1211)12(2211−<+−=−−=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(−<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …nb +()()+−+−<21212…()n12−+=()2222121212212=−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−n .……………………………20分五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :1411=+y y x x ,PB :1422=+y y xx ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和1422=+n y mx 同时成立,于是直线AB 的方程:14=+ny mx..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422ny x my x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=−+−+n mx x m n 所以222148m n mx x +=+,2222141616mn n x x +−=,)44(64)1616)(4(4642222222−+=−+−=∆n m n n m n m .又根据14=+ny mx得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +−=−⋅−=,2222121484)(2)(m n n x x m n y y +=+−=+.………10分于是22121221212211)()(),(),(nn y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++−+++−=−−⋅−−=⋅=6432022222−+++−n m mn m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m −=,代入上式得:⋅=11163442+−n ,又因为1602≤≤n ，所以16,022==m n ，即点)0,4(±P 时,⋅有最小值433,当0,1622==m n ,即点)4,0(±P 时,⋅有最大值16165.………………………20分。

2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分140分一、填空题（满分64分）1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为22，则点M 到面ABC 的距离为_________________.4、若锐角α满足23tan10tan2tan2oαα=+，则角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=L二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD-的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,2AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 三、（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=（1）当时0x >，求证：（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，求实数的值.四、（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++（1）设na =，求数列{}n a 的通项公式.（2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五、（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值.2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分)2+x x ＞01.｛5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为2xx ＜0（A ） 8. （B ） 11. （C ）13·1/4 （D ）15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c 的不同的两个根，则a 、b 、c 之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x ²-2x ，则f(x)在x ∈[-4,-2]上的最小值为（A）-1/9 （B）-1/3 （C）1/3 （D）1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+和无理数π=3.14159265358...满足f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)若函数f(f(n)的值域记为M ，则A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，则S△CPN-S△BPM等于（A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则P，Q，R的大小关系为（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。

2012年全国高中数学联赛河南省预赛（高二）试题本试卷满分140分一．填空题（满分64分）1.在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________.2.将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3.在ABC ∆中，26C B ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B之间的距离为M 到面ABC 的距离为_________________. 4.若锐角α=+α的度数为________________.5.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()f a f b f c === ()f d ，则abcd 的取值范围是_________________.6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______ _.7.一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.8.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012++++= _ _.二.（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABC π∠=，2AB EC ==，AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值.三.（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=. （1）当时0x >，求证：2()2f x x >+； （2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x +<+成立，求实数的值.四.（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++. （1）设n a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五.（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）A．在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线B．在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆C．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线D．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=3，则该双曲线方程为（）A． B. C. D.3．双曲线上的一点P到它一个焦点的距离为4，则点P到另一焦点的距离是（）A．2 B.10 C.10或2 D.144．直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离5．如右图所示的不等式的区域为（）A．B．C．D．6．椭圆，点M在椭圆上，等于-2，则△F1MF2的面积等于（）A．1 B． C．2 D．7．已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为，则此双曲线的离心率为（）A． B. C. 或 D.8．已知直线交抛物线于、两点，则△ ( )A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．抛物线x2= -y的焦点为________，准线是_________________.10．过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|= ______. 11．过点（0,4）可作__________条直线与双曲线有且只有一个公共点.12．已知F为抛物线y2 = 4x的焦点，过此抛物线上的点M作其准线的垂线，垂足为N，若以线段NF为直径的圆C恰好经过点M，则圆的标准方程是________________________.13．如图，过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是____________. xkb1三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．（本题满分12分）求下列圆锥曲线的标准方程（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e= 的椭圆（2）准线为，且a+c=5的双曲线（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线15．（本题满分12分）已知圆，圆，点P满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点Q（1,2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。

1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题
考生注意：1. 本试卷共五道大题，满分140分.
2. 解答书写时不要超过密封线.
一． 填空题（共8小题，每小题8分，满分64分）
1．已知数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 都是1,2,,n 的一个排列，则
1n i i i a b =∑的最大值为 ．
2．若长方体的一条体对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别记为α，β，γ
，则
的最小值为 ．
3．已知x ，y 为实数，则的最小值为 ． 4．ABC ∆
中，三边长分别为AB =
BC =
，CA =
AB BC CA AB ⋅+⋅⋅ 的值为 ．
5．已知a ，b ，且，则23a b c ++的最小值为 ． 6．从不超过2013的正整数确定的集合{1,2,3,,2013} 中先后取出两个正整数a ，b （a ，b 可以相等）组成数对（a ，b ），则（a ，b ）恰为方程3322
x y x y +=的解的概率为 ． 7．四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，对角线2AC =，
BD =AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，1AE =，
2CF =，则四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分体积
为 ．
8．平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A --，B ，C 是曲线。