二〇〇七年河南省高中数学竞赛

二〇〇七年河南省高中数学竞赛
获奖通报
各高中：
2007年河南省高中数学竞赛（即2007年全国高中数学联赛河南省预赛）的考试、评卷、复评工作已经结束。

现将我市获得一等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件），并推荐高中二年级获得一等奖的学生参加2007年全国高中数学联赛，望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在今年十月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。

请各校到市教研室数学组领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。

平顶山市教育局教研室
二○○七年七月五日
附件:平顶山市获一等奖学生及优秀辅导员名单（获二等奖、三等奖学生名单略）
获奖名单
高中一年级
高中二年级。

二〇〇七年河南省高中数学竞赛
获奖通报
各高中：
2007年河南省高中数学竞赛（即2007年全国高中数学联赛河南省预赛）的考试、评卷、复评工作已经结束。

现将我市获得一等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件），并推荐高中二年级获得一等奖的学生参加2007年全国高中数学联赛，望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在今年十月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。

请各校到市教研室数学组领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。

平顶山市教育局教研室
二○○七年七月五日
附件:平顶山市获一等奖学生及优秀辅导员名单（获二等奖、三等奖学生名单略）
获奖名单
高中一年级
高中二年级。

2007年全国高中数学联赛考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。

11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。

2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况通报2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2010年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。

一、高一年级数学竞赛获奖情况：河南省一等奖（19人）陈泽文实高张范一高尚元贺一高黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高黄佳男实高申威实高王玉博实高郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高张园豪二高河南省二等奖（60人）高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高陈博一高陈博文一高陈东晓二高范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高杨亚杰二高张诚实高张星魁二高赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高雷志超一高李超一高李东凯一高李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高河南省三等奖（74人）崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高白战奎一高崔文博二高豆鹿建一高分校杜朝阳新密中学付浩楠二高郭秋格实高刘超奇一高刘春阳一高分校刘伟涛一高刘亚蓓一高马健淇一高宋梦坤一高王亚宁一高分校王振军二高韦晓珂实高魏盟奇一高魏志潘一高杨聪伶一高赵爽宁新密中学柴晓萌二高冯俊凯二高李梦珂二高王龙海一高徐焕杰一高分校张萌一高白凯阳新密中学柴伟锋二高高红阳二高蒋钰尧新密中学李留华二高李权航新密中学刘敬洋一高分校刘晓天实高吕亚萌新密中学马笛新密中学申沛东二高宋怀珠二高孙瑞恒二高王程林一高分校王磊一高分校王梦真二高徐慧新新密中学徐鸣鸽二高姚栋威二高张曼玉新密中学张亚静二高张智焜实高赵豪奇二高白龙飞一高分校邢利爽新密中学张肇玉实高张亚萌实高李鑫帅实高二、高二年级数学竞赛获奖情况：河南省一等奖（16人）黄冰冰新密中学周雪登新密中学李云龙新密中学王政杰新密中学程科涵新密中学吴爽爽新密中学姚春霞实高周文博二高高帅实高陈慧霞实高李新建实高李夏雷一高吕彬彬一高高志鹏二高马清晨二高程璐一高河南省二等奖（45人）周龙刚新密中学于梦娇新密中学于云飞新密中学慕丽丽新密中学韩亚博新密中学李彦龙实高李阳实高李冰实高赵晓艳一高冯逸帆一高吕秋杰新密中学李玉博新密中学卢亚辉新密中学黄垚行实高樊浩勇实高刘荧星实高郑瑞光实高孙喆一高刘晓青一高王丽君二高李营浩实高冯耕毓二高李雪扬实高郑成龙一高朱英豪新密中学刘鸣娟二高李根锋二高马杰二高高银鸽二高赵一鸣实高宋娅凯新密中学尹兴月实高张炎杰实高钱会星实高李红阳实高贾志斌一高周小丹一高郑权一高杜国峰新密中学杨柯睿新密中学郑惠方新密中学李大鹏二高朱青林二高张小会二高杨世豪二高河南省三等奖（25人）樊璐璐实高王桂红新密中学黄志娟新密中学孟金鹏新密中学张智凯实高翟怡冰一高蔡丽星一高陈会琳一高郭春光一高分校杨振声二高杨晓航一高分校张瀚文新密中学白萧玉新密中学孙晶晶二高高培然二高陈柏坤二高王晓丹二高郭胜利二高刘金晓二高雷晓莉一高冯朋举一高张浩一高张敬二高钱炎伟二高马顺青二高新密市教体局教研室2010年9月1日。

河南高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数，则（）A．B．4C．-4D．2.复数（为虚数单位）所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（）A．为的和B．为的算数平均数C．和分别是中最大的数和最小的数D．和分别是中最小的数和最大的数4.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6.已知实数满足不等式组，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数，当时，的概率为（）A．B．C．D．8.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A．1B．C．D．09.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．10.设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（）11.已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（）A．B．2C．D．12.已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量，向量，则_____________.2.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是____________.3.若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.4.已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.三、解答题1.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.2.《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望.3.如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.4.已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.5.已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.6.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.7.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，，且，求证：.河南高三高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知函数，则（）A．B．4C．-4D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】分段函数的表示与求值.2.复数（为虚数单位）所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】,对应的点位于第二象限，故选B.【考点】复数的运算与复数的几何意义.3.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（）A．为的和B．为的算数平均数C．和分别是中最大的数和最小的数D．和分别是中最小的数和最大的数【答案】C【解析】据程序框图可知，分别为中的最大数和最小数，故选C.【考点】程序框图.4.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,,所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.对数与指数的性质；2.充分条件与必要条件.5.若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，再沿轴向右平移个单位长度,得到函数的图象，由得，故函数的图象的一个对称中心是，故选D.【考点】1.图象的平移和伸缩变换；2.三角函数的图象与性质.6.已知实数满足不等式组，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，作出不等式组所表示的平面区域，分析知当，时，取得最大值，且，又因为，解得，故选D.【考点】线性规划.7.已知函数，当时，的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由及得，所以所求概率为，故选D.【考点】1.三角函数的图形与性质；2.几何概型.8.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A．1B．C．D．0【答案】C【解析】因为函数是上的单调函数，且，所以可设（为常数），即，又因为，所以，令，显然在上单调递增，且，所以，，，故选C.【考点】1.函数的表示与求值；2.函数的单调性.9.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，同理可求，所以，故选C.【考点】1.向量的线性运算；2.向量数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积.10.设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（）【答案】D【解析】由可得，当时，函数取得极值，所以是方程的一个根，所以，即，所以函数，由此得函数相应方程两根之积为，对照四个选项，D不成立，故选D.【考点】1.导数与函数的极值；2.函数与方程.11.已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】设数列的公比为，则由得，解之得或（舍去），因为存在两项满足，所以，解之得，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是,故选A.【考点】1.等比数列的性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的性质与基本不等式，属中档题；对于解决数列与不等式的综合问题的常用方法有：数列与不等式的恒成立问题，通常通过构造函数，利用函数的单调性、极值等解决；数列与有关的最值问题，通常通过适当的变形构造基本不等或函数求解；与数列有关的不等式证明问题，要灵活应用不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.12.已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，则，故函数在上单调递增，又因为，所以成立，当且仅当，因此不等式的解集为，故选B.【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查.导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，通常通过构造函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最值或极值、特殊点的值，从而得到不等式，解出相应的参数值或求出不等式的解集.二、填空题1.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.2.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】设，则对成立等价于，即，解之得或，即实数的取值范围是.【考点】函数与不等式恒成立.3.若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为的正方体切去一个三棱锥所剩下的部分，故其体积.【考点】三视图.【名师点睛】本题考查三视图，属基础题；三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.4.已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】将圆的方程整理为标准形式得，所以圆心为，半径，设点为直线上一点，据题意得存在使成立，解之得，即实数的取值范围为.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，属中档题.在解决直线与圆、圆与圆的位置关系时，在尽可能的应用几何意义求解，本题的实质是两圆有公共点问题，即两圆距大于等于两半径之差而小于两半径之和，代数法求解不条例此题，因为只能判断直线与二次曲线公共点的个数，不能直接判断两个二次曲线的位置关系.三、解答题1.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用基本量法，即用表示已知条件，列出方程组，求出即可求数列的通项公式；（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式参变分离得，由基本不等式求的最小值即可.试题解析：（1）设数列的公差为，则即………………2分又因为，所以………………4分所以.………………5分（2）因为，所以.………………7分因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立.………………9分又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.………………12分【考点】1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式.【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力.2.《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）的分布列为.【解析】（1）设位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身, 从人中随机抽取两人共有种情况；其中选出的2人导师为其转身人数和为的有种情况，由此可求其概率；（2）的所有可能取值为，分别计算其概率，即可得到概率分布列，由期望公式计算期望即可.试题解析：（1）设6位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身.从6人中随机抽取两人有种情况，………………2分其中选出的2人导师为其转身人数和为4的有种，………………3分故所求概率为.………………5分（2）的所有可能取值为3,4,5,6,7.………………7分；；；；.………………9分所以的分布列为………………10分.………………12分【考点】1.古典概型；2.离散型随机变量的概率分布列与期望.3.如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接,只要证明所以平面平面，由面面平行的性质可证平面；（2）由题意先证明侧面底面，由面面垂直的性质可证平面，所以可以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可.试题解析：（1）证明：连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接.因为是的重心，所以.………………1分又，所以.又据三棱柱性质知，所以.………………2分又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.………………3分又因为平面，所以平面.………………4分（2）连接.因为，，，所以，所以，所以.因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面.因为，，所以是等边三角形，所以.………………6分以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，所以.………………8分设平面的一个法向量为，则所以令得，………………10分所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.……………12分【考点】1.空间面面、线面平行的判定与性质；2.空间线面、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.4.已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）直线总经过定点.【解析】（1）设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；（2）由（1）可知，，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；（3）由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.试题解析：（1）设，则，，………………1分∴，化简，得，∴椭圆的方程为.………………3分（2），，∴，………………4分又∵，∴，.代入解，得（舍）∴，………………6分，∴.即直线方程为.………………7分（3）∵，∴.设，，直线方程为.代直线方程入，得.………………9分∴，，∴=，∴，……………11分∴直线方程为，∴直线总经过定点.………………12分【考点】1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确.5.已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）若函数有两个零点，试判断的符号，并证明.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】（1）求函数的导数，由可求的值；（2）由（1）可知，且定义域为，先讨论当时的零点是否符合题意，当时，由，两式作差并整理得，则，设，，，，所以有，构造函数，讨论函数的单调性与符号，可知的符号.试题解析：（1），又∵.………………2分所以.………………3分（2）函数的定义域是.………………4分若，则.令，则.又据题设分析知，∴，.又有两个零点，且都大于0，∴，不成立.………………5分据题设知不妨设，，.………………6分所以.所以.………………7分又，所以.………………9分引入，则.所以在上单调递减.………………10分而，所以当时，.易知，，所以当时，；当时，.………………12分【考点】1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.6.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，两式平方相加消去参数即可得到曲线的普通方程；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），将此参数方程代入椭圆的普通方程得，由题意可知，利用根与系数关系及条件，消去得，即，解之即可.试题解析：（1）由曲线的参数方程，得所以曲线的普通方程为.………………3分（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）.………………4分代入曲线的直角坐标方程，得，………………6分所以………………7分由题意可知.………………8分所以，即.………………9分解得.所以直线的斜率为.……………………10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线参数方程的应用.7.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，，且，求证：.【答案】（1）不等式的解集为或；（2）见解析.【解析】（1）由绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数表示为分段函数的形式，逐段解不等式即可；（2），用作差比较法证即可.试题解析：（1）………………1分当时，则，解得；当时，不成立；当时，由，解得.………………4分所以原不等式的解集为或.………………5分（2）即.………………6分因为，，所以，………………9分所以.故所证不等式成立.………………10分【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的证明.。