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现在计算这曲线弧的长度.
取参数t为积分变量,
其变化区间为 [ , ].
对应于 [ , ]上任一小区间 [t, t dt]的小弧段的
长度的近似值,
即弧长元素为
ds (dx)2 (dy)2 2 (t ) 2 (t )dt
弧长 s 2 (t ) 2 (t )dt . 6
a
4
例 计算曲线
x
s b 1 y2 dx a
y nn sin d 的弧长 0
(0 wk.baidu.comx nπ).
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1
sin
x n
dx
nx0π
dx
n0πt
ndt
π
0
1 sin t ndt
1 a2 cos2 xdx
设椭圆的周长为s2
π
s2 2 0
( x)2 ( y)2dt 2 π 0
(sin t )2 (1 a2 )(cost )2dt
π
2
1 a2 cos2 tdt
0
π
2
1 a2 cos2 xdx s1 .
0
8
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
x r cos
y
r
sin
x r( ) cos
y
r(
) sin
(
)
为参数的参数 方程
弧长元素为 ds (dx)2 (dy)2 r 2 ( ) r2 ( )d
7.4 平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形 小结 思考题 作业
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线
y
Mi
弧上的两个端点,
在
M2 M1
弧上插入分点
A M0,
M1 ,, M i , , M n1 ,
A M0
M n B,依次用弦将
O
相邻两点联结起来,
例 求星形线
s 2 (t ) 2 (t )dt
x2 3 y2 3 a2 3(a 0)的全长.
解 星形线的参数方程为 对称性
x a cos3 t
y
a sin 3
t
(0 t 2π)
y
s 4s1 第一象限部分的弧长
π
a
4 2 ( x)2 ( y)2 dt 0 π
a
a
O
x
a
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
7
例 证明正弦线 y a sin x (0 x 2π)的弧长
等于椭圆
x y
cos t 1 a2 sin t
(0
t
2π) 的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1
对称性
π
s1 2 0
1 y2dx 2 π 0
π
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2 sin
t cos 2
t dt 2
n π sin t cos t dt 4n.
0 2
2
5
三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t ), (t)
(
t
)
其中 (t ), (t ) 在[a, b]上具有连续导数.
例 求阿基米德螺线
r a (a 0)上相应于
从0到2π的弧长.
解
s r 2 ( ) r2 ( )d
2πa
o
x
2π
2π
a2 2 a2d a
2 1d
0
0
a [2π 1 4π2 ln( 2π 1 4π2 )]. 2
x 2 a2dx x x 2 a 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C
2
2
11
四、小结
平面曲线弧长的概念
2
a
计算介于 x b与x b之间一段弧长度.
解 y ach x , y sh x
a
a
y a
1 ( y)2
1
sh
x
2
a
ch x a
b O
bx
所求弧长为
s
bx ch dx 2
b
ch
x dx
2ash
x
b
2ash b .
b a
0a
a0
弧段的长, 小切线段的长为:
(dx)2 (dy)2 1 y2 dx
弧长元素 (弧微分)
ds 1 y2 dx, 弧长 s b 1 y2 dx. a
3
(chx) shx
chxdx shx C s
b a
1 y2 dx
例 悬链线方程
y a (e x a e x a ) ach x
光滑曲线弧是可求长.
2
二、直角坐标情形
设曲线弧为y = f (x)
y
y f (x)
(a x b),其中f (x)在
[a, b]上有一阶连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取积分变量为x,
在[a, b]上
dy dx
o a x x dx b
x
任取小区间 [ x, x dx], 以对应小切线段的长代替小
3π
a2 sin
6
a2 sin
4
cos
2d
0
3
3 3
a
3π sin
2
d
3 πa.
0 3
2
r
3a sin
2
cos
3
3
1 3
a sin
2
3
cos
3
10
弧长 s r 2 ( ) r 2 ( )d . 9
s r 2 ( ) r2 ( )d
例 求极坐标系下曲线
r
a sin
3
的长.
3
(a 0) (0 3π)
解 s r 2 ( ) r2 ( )d
得到一条内接折线.
M n1
B Mn
x
记每条弦
的长度为
|
M i1 M i
|,
i
1,2,, n,令
max |
1 i n
Mi1 Mi
|.
如果当分点无限增加,
且 0时,折线长度的极限
n
lim
0
|
i 1
M i1 M i
|
存在, 则称此极限为曲线弧
AB的
弧长(长度).
