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最新知识要点-空间直角坐标系

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精品文档 精品文档 第5讲 空间直角坐标系 ★知识梳理★ 1.右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标),,(zyxP作点的方法与步骤（路径法）： 沿x轴正方向（0x时）或负方向（0x时）移动||x个单位，再沿y轴正方向（0y时）或负方向（0y时）移动||y个单位，最后沿x轴正方向（0z时）或负方向（0z时）移动||z个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于CBA,,，点CBA,,在x轴、y轴、z轴的坐标分别是cba,,，则),,(cba就是点P的坐标 2、在x轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(cba， 在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(cbcaba; 3、点),,(cbaP关于x轴的对称点的坐标为),,(cba 点),,(cbaP关于y轴的对称点的坐标为),,(cba； 点),,(cbaP关于z轴的对称点的坐标为),,(cba； 点),,(cbaP关于坐标平面xOy的对称点为),,(cba； 点),,(cbaP关于坐标平面xOz的对称点为),,(cba； 点),,(cbaP关于坐标平面yOz的对称点为),,(cba； 点),,(cbaP关于原点的对称点),,(cba。 4. 已知空间两点),,(),,(222111zyxQzyxP，则线段PQ的中点坐标为)2,2,2(212121zzyyxx 精品文档 精品文档 5．空间两点间的距离公式 已知空间两点),,(),,(222111zyxQzyxP， 则两点的距离为221221221)()()(||zzyyxxPQ ， 特殊地,点),,(zyxA到原点O的距离为222||zyxAO; 5．以),,(000zyxC为球心,r为半径的球面方程为2202020)()()(rzzyyxx 特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为2222rzyx ★重难点突破★ 重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题1：点),,(cbaP到y轴的距离为 [解析]借助长方体来思考，以点PO,为长方体对角线的两个顶点，点),,(cbaP到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22ca 2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系 问题2：对于任意实数,,xyz，求222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值 [解析]在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)xyzxyz表示空间点(,,)xyz到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点

(1,2,1)之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)xyzxyz的最小值为

6。

3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 精品文档 精品文档 (3)得到一些简单的空间轨迹方程

★热点考点题型探析★ 考点1: 空间直角坐标系 题型1: 认识空间直角坐标系 [例1 ]（1）在空间直角坐标系中，ya表示 （ ） A．y轴上的点 B．过y轴的平面 C．垂直于y轴的平面 D．平行于y轴的直线 （2）在空间直角坐标系中，方程xy表示 A．在坐标平面xOy中，1，3象限的平分线 B．平行于z轴的一条直线 C．经过z轴的一个平面 D．平行于z轴的一个平面 【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程1x表示所有横坐标为1的点的集合 [解析]（1）ya表示所有在y轴上的投影是点)0,,0(a的点的集合，所以ya表示经过点)0,,0(a且垂直于y轴的平面 （2）方程xy表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合 【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如： 经过点)0,0,(a且垂直于x轴的平面上的点都可表示为),,(zya 题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题 [例2 ] 点),,(cbaP关于z轴的对称点为1P，点1P关于平面xOy的对称点为2P，则2P的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 [解析]因点P和1P关于z轴对称, 所以点P和1P的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点1P的坐标为),,(cba, 又因点1P和2P关于平面xOy对称, 所以点2P坐标为),,(cba 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找精品文档 精品文档 关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点2P为点),,(cbaP关于原点的对称点,故坐标为),,(cba 【新题导练】 1．已知正四棱柱1111ABCDABCD的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)ABD，

1(0,0,5)A，则1C的坐标为 。

[解析]正四棱柱1111ABCDABCD过点A的三条棱恰好是坐标轴， 1C

的坐标为（2，2，5）

2．平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(BA，对角线的交点为)4,0,1(M，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为

[解析]由已知得线段AC的中点为M,线段BD的中点也是M,由中点坐标公式易得 )5,1,3(C，)11,2,1(D

3．已知(4,3,1)M，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则（ ） A．abc B．cba C．cab D．bca [解析]借助长方体来思考, a、b、c分别是三条面对角线的长度。5,17,10cba，选C

考点2：空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 [例3 ] 如图：已知点(1,1,0)A，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PAAB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。 【解题思路】转化为距离问题，即证明222PBABPA [解析]设 ),0,0(cP)0,,0(bB， 对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PAAB恒成立， 则222PBABPA X

A

Y B O

Z P 精品文档

精品文档 222222222)0()0()00(])00()1()01[(])0()10()10[(cbbc

即22)1(3bb，解得：2b 所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PAAB恒成立 【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。 【新题导练】 4．已知(,5,21),(1,2,2)AxxxBxx，当,AB两点间距离取得最小值时，x的值为 （ ） A．19 B．87 C．87 D．1914

[解析]75)78(14191214)33()23()1(||22222xxxxxxAB 当x87时，||AB取得最小值 5．已知球面222(1)(2)(3)9xyz，与点(3,2,5)A，则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 。 [解析]球心6),3,2,1(ACC，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和3 6．已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)ABCa，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。 [解析] 222(11)(12)(21)14AB， 2222(1)(10)(23)(1)2ACaa，

2222(1)(20)(13)(1)20BCaa，

因为BCAB，所以，若,,ABC三点共线，有BCACAB或ACBCAB， 若BCACAB，整理得：2518190aa，此方程无解； 若ACBCAB，整理得：2518190aa，此方程也无解。 所以不存在实数a，使A、B、C共线。 精品文档 精品文档 ★抢分频道★ 基础巩固训练 1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成（ ） A．090 B．0135 C．045 D．075 解析：选B 2. 点(3,4,5)P在yoz平面上的投影点1P的坐标是 （ ） A．(3,0,0) B．(0,4,5) C．(3,0,5) D． (3,4,0) 解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B 3. 三棱锥ABCO中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(CBAO此三棱锥的体积为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6 [解析] OCOBOA,,两两垂直，13212131ABCOV 4．（2007山东济宁模拟）设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于( ) A．10 B．10 C．38 D．38 [解析] A 点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为)5,3,2(B,

10)]5(5[)]3(3[)22(222AB 5．（2007年湛江模拟）点)3,2,1(P关于y轴的对称点为1P， P关于平面xOz的对称点为

2P，则||21PP=

[解析] )3,2,1(1P，)3,2,1(2P，56||21PP 6．正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是

[解析] QP,不共面，PQ为正方体的一条对角线，34PQ，正方体的棱长为4，

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课件10：4.3.1 空间直角坐标系

课件10：4.3.1 空间直角坐标系


[成功破障] 如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1 中，以正方体的3条棱所在直线为轴建立空间直 角坐标系Oxyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐 标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M 的坐标．
解：(1)由题意知 P 的坐标为23，23，13，
P 关于 y 轴的对称点 P′的坐标为－23，23，－13.
(2)设线段 C1D 上一点 M 的坐标为(0，m，m)，
则有|MP|＝
－232＋m－232＋m－132
＝ 2m2－2m＋1＝
2m－122＋12.
当 m＝12时|MP|取得最小值 22，所以点 M 为0，12，12.
题型二 空间中点的对称
[例2] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的
坐标分别是________．
(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1
关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为
P3，则点P3的坐标为________．
答案：(1)(1,2,1)，(1，－2,1)
A. 2a
2 B. 2 a
C．a
D．12a
答案：B
空间直角坐标系的应用误区
[典例] 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2， 侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
解：取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC，分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝ 3，可得 A(0， －1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)．
空间直角坐标系ppt课件

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坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
空间直角坐标系课件

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空间直角坐标系课件空间直角坐标系课件空间直角坐标系是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。

本文将通过介绍空间直角坐标系的定义、特点以及应用等方面，来探讨这一主题。

一、定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，分别是x轴、y轴和z轴。

这三个轴构成了一个三维的坐标系，用来描述空间中的点的位置。

在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x 轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。

空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直：x轴与y轴、x轴与z轴、y轴与z轴两两垂直。

2. 坐标轴上的单位长度相等：在空间直角坐标系中，每个坐标轴上的单位长度相等，通常表示为1。

3. 坐标轴上的正方向：x轴正方向为从左向右，y轴正方向为从下向上，z轴正方向为从里向外。

二、应用领域空间直角坐标系在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。

1. 几何学中的应用空间直角坐标系在几何学中被用来描述点、直线、平面等几何图形。

通过坐标系中的点的位置关系，可以计算两点之间的距离、直线的斜率、平面的方程等。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算向量的坐标。

2. 物理学中的应用在物理学中，空间直角坐标系常被用来描述物体的运动、力的作用等。

通过坐标系中的点的位置变化，可以计算物体的位移、速度、加速度等物理量。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算力的分解、合成等问题。

3. 工程学中的应用在工程学中，空间直角坐标系被广泛应用于建筑、机械、电子等领域。

通过坐标系中的点的位置关系，可以计算建筑物的结构、机械零件的尺寸、电子元器件的布局等。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算工程中的力、力矩等问题。

三、坐标系的转换在实际应用中，有时需要将一个空间直角坐标系转换为另一个空间直角坐标系。

坐标系的转换可以通过旋转、平移等方式进行。

通过坐标系的转换，可以方便地进行坐标的变换和计算。

空间直角坐标系课件

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contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
THANK YOU
向量的模和向量的数量积