高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5

a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，

解析：(1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0. 因为 sin B≠0，所以 tan A＝ 3.因为 0<A<π，所以 A＝3π. (2)由正弦定理得 3π＝sin1 B，
sin3 得：sin B＝12. 由 a>b 知 A>B，所以 B＝π6， 所以 C＝π－π3－6π＝π2， ∴S△ABC＝21ab＝ 23.
又山高为
a，则－
CF
＝
hcos αsin β sin β－α
－
a
＝
40×
23× 1
3 2 －35＝60－35＝25.故选
B.
＝192，∴CD＝8 3海里，即灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3海里．
方法归纳 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个 三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解．
微点 2 测量高度问题 例 4 在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为 15°的看台上， 同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为 60°和 30°.若 同一列的第一排和最后一排之间的距离为 10 6米(如图所示)，则旗杆 的高度为________米．
解析：如图所示，假设缉私船用 t(t>0)小时在 D 处追上走私船，两船 所用时间相等，则有 CD＝10 3t，BD＝10t.
由题意知 AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 在△ABC 中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝ ( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6，所以 BC＝ 6.
解析：如图所示，记看台上的一列为 BC，旗杆为 OP，

1 强基础 固本增分
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
2= b2+c2-2bccos A
a
,



sin
b2=a2+c2-2accos B,
公式 =
= sin =2R
c2= a2+b2-2abcos C
考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量
例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分
别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若 a=√3,则△ABC 外接圆的半径长为( B )
A.√3
C.√2
B.1
1
D.2
解析 由(b-c) -a =-bc,得 b +c -a =bc,再由余弦定理,得 cos
是等边三角形.

,所以

b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所
2 +2 -2
A= 2
=

2
=
1
.因为
2
A∈(0,π),所
[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( A )
A.钝角三角形

AD=sin60°=2,在△ACD 中,由余弦
定理,得 AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以

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D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
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D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
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(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
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（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
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在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理