广东省广州六中0809学年高一下学期期中考试(数学)1

广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）与向量=（， 1），=（1，）的夹角相等且模为的向量为（）A .B .C .D . ,2. （2分） (2017高二上·大连开学考) 在△ABC中，∠A=60°，a= ，b=3，则△ABC解的情况（）A . 无解B . 有一解C . 有两解D . 不能确定3. （2分） (2019高二上·石河子月考) 已知是等差数列的前项和，若，，则（）A . 5B . 10C . 15D . 204. （2分） (2020高一下·石家庄期中) 若函数当且仅当时取得最小值，则实数a的值为（）B . 24C . 16D . 365. （2分）已知向量，,则m=（）A . 2B . －2C . －3D . 36. （2分）在△ABC中，分别是，的中点，且，若恒成立，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）当m>1时，关于x的不等式x2+(m-1)x-m≥0的解集是（）A . {x|x≤1，或x≥-m}B . {x|1≤x≤-m }C . {x|x≤-m，或x≥1}D . {x|-m≤x≤1 }8. （2分）根据下列通项能判断数列为等比数列的是（）B . an=C . an=2﹣nD . an=log2n9. （2分）(2017·长春模拟) 球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2 ，AC⊥BC，则球O的表面积是（）A . 81πB . 9πC .D .10. （2分） (2016高一下·望都期中) 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A . a2＜b2B . a3＜b3C . ＞D . ac2＜bc211. （2分）已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,,,若,则（）A .B .C .D .12. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A . 72B . 66C . 60D . 30二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）(2019·唐山模拟) 设变量，满足约束条件，则的最大值为________．14. （1分） (2018高二上·淮安期中) 已知一个圆锥的侧面积是，若母线与底面所成角为，则此圆锥的底面半径为________．15. （1分） (2020高二上·哈尔滨开学考) 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是________．16. （1分）(2017·泉州模拟) 已知| |=2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于________．17. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）=x2cos ，数列{an}中，an=f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100=________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2019·巢湖模拟) 已知平面向量，，函数 .（1）求的单调区间；（2）在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，，求周长的取值范围.19. （10分） (2020高二上·嘉定期中) 已知向量，，当为何值时，（1）；（2）；（3）与的夹角为钝角.20. （10分） (2020高三上·长沙月考) 已知正项数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .21. （10分） (2020高一下·淄博期中) 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.（1）若 ,求的值;（2）若 ,求b,c的值.22. （10分） (2016高一下·江阴期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ，求数列{bn}的通项公式；（3）设cn=n（3﹣bn），求数列{cn}的前n项和为Tn ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

第 1 页 共 18 页 广东省高一下学期期中数学试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 选择题： (共12题；共24分) 1. （2分） (2020·聊城模拟) 数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）

A . 153 B . 190 C . 231 D . 276 2. （2分） (2019高二上·贺州月考) 在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于（ ） A . ±4 B . 4 C . －4 D . 16

3. （2分） (2018·中山模拟) 设 为等比数列{ }的前n项和, ,则 ＝（ ） A . 10 B . 9 C . -8 D . -5 第 2 页 共 18 页

4. （2分） (2018高一上·长春月考) 不等式 的解集为（ ） A . B . C . D . 5. （2分） S=（x﹣1）5+5（x﹣1）4+10（x﹣1）3+10（x﹣1）2+5（x﹣1）+1，则合并同类项后S=（ ） A . （x﹣2）5 B . （x+1）5 C . x5 D . x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 6. （2分） (2019高一上·重庆月考) 设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 对一切 成立，则实数 的取值范围为（ ）

A . B . C . D . 7. （2分） 设 若a-|b|>0，则下列不等式中正确的是（ ） A . b-a>0 B . a3+b3<0 C . b+a>0 第 3 页 共 18 页

D . a2-b2<0 8. （2分） 在△ABC中，,则的形状一定是（ ） A . 直角三角形 B . 等腰三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形

9. （2分） (2017高一下·宜春期末) 在数列{an}中，若 为定值，且a4=2，则a2a6等于（ ） A . 32 B . 4 C . 8 D . 16 10. （2分） (2016·嘉兴模拟) 已知等差数列 的等差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（ ） A . 4 B . 3

2022-2023学年广东省广州市天河八十九中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知α是第二象限角，则点P （cos α，tan α）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设AB →=(2，3)，BC →=(1，−4)，则AC →=（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（3，﹣7）D ．（1，7）3．已知i 为虚数单位，则1+3i 1−2i=（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．3+2i4．cos240°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√325．在△ABC 中，若a =√2，b =√6，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°6．要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度7．下列命题正确的是（ ） A ．若a →•b →=a →•c →，则b →=c →B ．若|a →+b →|＝|a →−b →|，则a →•b →=0 C ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →D ．若a →与b →是单位向量，则a →•b →=18．已知菱形ABCD 边长为2，∠B =π3，点P 满足AP →=λAB →，λ∈R ，若BD →•CP →=−3，则λ的值为（ ） A ．12B ．−12C ．13D ．−13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设复数z 1＝1﹣i ，z 2＝i （i 为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A ．z 2是纯虚数 B ．z 1﹣z 2对应的点位于第二象限 C ．|z 1﹣z 2|＝1D ．z 1=1+i10．下列各式中结果为零向量的是（ ）A ．AB →+MB →+BO →+OM →B ．AB →+BC →+CA →C ．OA →+OC →+BO →+CO →D ．AB →−AC →+BD →−CD →11．下列等式成立的是（ ） A ．cos 215°−sin 215°=√32B ．12sin40°+√32cos40°=sin70°C ．sin π8cos π8=√24D ．tan15°=2−√312．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosB cosC=b2a−c ，S △ABC=3√34且b ＝3，则（ ）A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ． 14．已知x ，y ∈R ，若（x ﹣1）+yi ＝1+i ，则x +y ＝ ．15．已知a →=(3，4)，b →=(1，−7)，则b →在a →方向上的投影向量的坐标为 ．16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →•BE →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝（1+ai ）（1+i ）+2+4i （a ∈R ）．（1）若z 在复平面中所对应的点在直线x ﹣y ＝0上，求a 的值； （2）求|z +2|的取值范围．18．（12分）已知α，β均为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−513． （1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．19．（12分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，2），b →=（4，y ），c →=（1，﹣2），且a →⊥c →，b →∥c →． （1）求x ，y 的值； （2）求|a →+b →|的值．20．（12分）已知a →=（2sin x ，cos 2x ），b →=（√3cos x ，2），f （x ）=a →•b →． （1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．21．（12分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB ＝120°，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界P A 、PB 的距离分别为RS ＝4m ，RT ＝6m ，（m 为长度单位）．陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在P A ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息． （1）求点S 到点T 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值．22．（12分）在△ABC 中．内角A 、B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2+bc ＝a 2． （1）求证：A ＝2B ； （2）求6b+2c bcosB的取值范围．2022-2023学年广东省广州市天河八十九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知α是第二象限角，则点P （cos α，tan α）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵α是第二象限角，∴cos α＜0，sin α＞0，∴tan α＜0，∴点P （cos α，tan α）在第三象限． 故选：C ．2．设AB →=(2，3)，BC →=(1，−4)，则AC →=（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（3，﹣7）D ．（1，7）解：AB →=(2，3)，BC →=(1，−4)，则AC →=AB →+BC →=(3，−1)． 故选：A ．3．已知i 为虚数单位，则1+3i 1−2i=（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．3+2i解：1+3i 1−2i=(1+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+5i 1−(2i)2=−5+5i 5=−1+i ．故选：C ．4．cos240°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32 D ．−√32解：cos240°＝cos （180°+60°）＝﹣cos60°=−12， 故选：B ．5．在△ABC 中，若a =√2，b =√6，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°解：由正弦定理，可得asinA =bsinB，则sin B =bsinA a =√6×122=√32，因为a ＜b ，所以B 为锐角或钝角，所以B ＝60°或120°． 故选：D ．6．要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解：把函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象， 故选：B ．7．下列命题正确的是（ ） A ．若a →•b →=a →•c →，则b →=c →B ．若|a →+b →|＝|a →−b →|，则a →•b →=0 C ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →D ．若a →与b →是单位向量，则a →•b →=1解：∵|a →+b →|=|a →−b →|，∴(a →+b →)2=(a →−b →)2，∴a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2，∴a →⋅b →=0， 故选：B ．8．已知菱形ABCD 边长为2，∠B =π3，点P 满足AP →=λAB →，λ∈R ，若BD →•CP →=−3，则λ的值为（ ） A ．12B ．−12C ．13D ．−13解：由题意可得 BA →⋅BC →=2×2×cos60°＝2，BD →•CP →=（BA →+BC →）•（BP →−BC →）＝（BA →+BC →）•[（AP →−AB →）−BC →] ＝（BA →+BC →）•[（λ﹣1）•AB →−BC →]＝（BA →+BC →）•[（1﹣λ）•BA →−BC →] ＝（1﹣λ）BA →2−BA →⋅BC →+（1﹣λ）BA →•BC →−BC →2 ＝（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4＝﹣6λ＝﹣3， ∴λ=12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设复数z 1＝1﹣i ，z 2＝i （i 为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A ．z 2是纯虚数 B ．z 1﹣z 2对应的点位于第二象限 C ．|z 1﹣z 2|＝1D ．z 1=1+i解：z 2＝i 为纯虚数，故A 正确；z 1＝1﹣i ，z 2＝i ，则z 1﹣z 2＝1﹣i ﹣i ＝1﹣2i ，故z 1﹣z 2对应的点（1，﹣2）位于第四象限，故B 错误， |z 1−z 2|=√12+(−2)2=√5，故C 错误； z 1=1+i ，故D 正确． 故选：AD ．10．下列各式中结果为零向量的是（ ） A ．AB →+MB →+BO →+OM →B ．AB →+BC →+CA →C ．OA →+OC →+BO →+CO →D ．AB →−AC →+BD →−CD →解：由向量加法的法则得A ：AB →+MB →+BO →+OM →=AB →+MB →+BM →=AB →，故结果不为零向量， B ：AB →+BC →+CA →=AC →+CA →=0→，结果为零向量，C ：OA →+OC →+BO →+CO →=BO →+OA →=BA →，结果不为零向量，D ：AB →−AC →+BD →−CD →=AB →+BD →−（AC →+CD →）=AD →−AD →=0→，结果为零向量； 故选：BD ．11．下列等式成立的是（ ） A ．cos 215°−sin 215°=√32 B ．12sin40°+√32cos40°=sin70°C ．sin π8cosπ8=√24D ．tan15°=2−√3解：cos 215°−sin 215°=cos30°=√32，故A 正确；12sin40°+√32cos40°=sin40°cos60°+cos40°sin60°＝sin100°＝sin80°，故B 错误； sin π8cosπ8=12⋅2sin π8cos π8=12sin π4=√24，故C 正确； tan15°＝tan （45°﹣30°）=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−√331+√33=2−√3，故D 正确． 故选：ACD ．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosB cosC=b2a−c ，S △ABC=3√34且b ＝3，则（ ）A ．cosB =12 B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√2解：由cosB cosC=b 2a−c及正弦定理可得，2sin A cos B ﹣sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C +sin C cos B ＝sin （B +C ）＝sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B =12，即B =π3， 因为S △ABC =12ac sin B =√34ac =3√34，所以ac ＝3， 因为b ＝3，由余弦定理可得，a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝（a +c ）2﹣9＝9，则a +c ＝3√2． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ﹣2π ．解：由于经过了1小时，分针转过一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是﹣2π， 故答案为：﹣2π．14．已知x ，y ∈R ，若（x ﹣1）+yi ＝1+i ，则x +y ＝ 3 ．解：根据复数相等，列式得{x −1=1y =1，解得{x =2y =1，所以x +y ＝3．故答案为：3．15．已知a →=(3，4)，b →=(1，−7)，则b →在a →方向上的投影向量的坐标为 （﹣3，﹣4） ． 解：∵a →=(3，4)，b →=(1，−7)，∴b →在a →方向上的投影向量的坐标为：a →⋅b →|a →|⋅a→|a →|=3−2825(3，4)=(−3，−4)．故答案为：（﹣3，﹣4）．16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →•BE →的最小值为2116．解：因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．故如图，建立如图所示的坐标系．则A （1，0），连接AC ，易证Rt △ACD ≌RtACB ，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°＝∠BAx ＝60°，∴DC =ADtan60°=√3．x B ＝1+1×cos60°=32，y B =sin60°=√32．∴B(32，√32)． 设E （0，m ），（0＜m ＜√3）． ∴AE →=(−1，m)，BE →=(−32，m −√32)．∴AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =（m −√34）2+2116． 故当m =√34时，AE →•BE →的最小值为2116． 故答案为：2116．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝（1+ai ）（1+i ）+2+4i （a ∈R ）．（1）若z 在复平面中所对应的点在直线x ﹣y ＝0上，求a 的值； （2）求|z +2|的取值范围．解：（1）z ＝（1+ai ）（1+i ）+2+4i ＝（3﹣a ）+（a +5）i ， 所以z 在复平面中所对应的点的坐标为（3﹣a ，a +5）， 因为z 在复平面中所对应的点在直线x ﹣y ＝0上， 所以3﹣a ﹣（a +5）＝0，解得a ＝﹣1；（2）|z +2|＝|（5﹣a ）+（a +5）i |=√(5−a)2+(a +5)2=√2a 2+50≥5√2， 故|z +2|的取值范围是[5√2，+∞）．18．（12分）已知α，β均为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−513．（1）求cos2α的值； （2）求sin β的值． 解：（1）∵sinα=45，∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（45）2=−725；（2）∵α为锐角，sinα=45， ∴cos α=√1−sin 2α=35， ∵α，β均为锐角，∴0＜α+β＜π，∵cos(α+β)=−513．∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=1213，∴sin β＝sin[（α+β）﹣α]＝sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=1213×35−（−513）×45=5665． 19．（12分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，2），b →=（4，y ），c →=（1，﹣2），且a →⊥c →，b →∥c →． （1）求x ，y 的值； （2）求|a →+b →|的值． 解 （1）由a →⊥c →得a →⋅c →=0 即x •1+2•（﹣2）＝0，所以x ＝4． 由b →∥c →得4×（﹣2）﹣y ×1＝0， 所以y ＝﹣8．（2）因为a →=（4，2），b →=（4，﹣8）， 所以a →+b →=（8，﹣6）， 所以|a →+b →|＝10．20．（12分）已知a →=（2sin x ，cos 2x ），b →=（√3cos x ，2），f （x ）=a →•b →． （1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解：a →=（2sin x ，cos 2x ），b →=（√3cos x ，2），由f （x ）=a →•b →=2√3sin x cos x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1 （1）∴f （x ）的最小正周期T =2π2=π．由2k π+π2≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ． 得：k π+π6≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ． ∴f （x ）的单调递减区间为[k π+π6，2π3+kπ]，k ∈Z ．（2）x ∈[0，π2]上时，可得：2x +π6∈[π6，7π6]当2x +π6=7π6时，函数f （x ）取得最小值为2sin 7π6+1＝0．当2x +π6=π2时，函数f （x ）取得最小值为2sin π2+1＝3．故得函数f （x ）在区间[0，π2]上的最大值3，最小值0．21．（12分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB ＝120°，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界P A 、PB 的距离分别为RS ＝4m ，RT ＝6m ，（m 为长度单位）．陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在P A ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息． （1）求点S 到点T 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值．解：（1）连接ST ，在△RST 中，∠SRT ＝180°﹣∠APB ＝60°，由余弦定理知，ST 2＝RS 2+RT 2﹣2RS •RT cos ∠SRT ＝42+62﹣2×4×6cos60°＝28， ∴ST ＝2√7．第11页（共11页）（2）由正弦面积公式知，S △PMN =12|PM |•|PN |sin120°=√34|PM |•|PN |， ∵S △PMN ＝S △PRM +S △PRN =12|PM |•|RS |+12|PN |•|RT |=12|PM |×4+12|PN |×6＝2|PM |+3|PN |，∴√34|PM |•|PN |＝2|PM |+3|PN |≥2√6|PM|⋅|PN|， ∴|PM |•|PN |≥128，当且仅当2|PM |＝3|PN |，即|PM |＝8√3，|PN |=16√33时，等号成立， 此时S △PMN =√34|PM |•|PN |≥√34×128＝32√3，故当PM 等于8√3m 时，该三角形PMN 区域面积最小，面积的最小值为32√3m 2．22．（12分）在△ABC 中．内角A 、B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2+bc ＝a 2．（1）求证：A ＝2B ；（2）求6b+2c bcosB 的取值范围．（1）证明：在△ABC 中，由余弦定理得到：cb +b 2＝a 2＝c 2+b 2﹣2cb cos A ， 所以b ＝c ﹣2b cos A ．由正弦定理得到sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ＝sin A cos B ﹣cos A sin B ＝sin （A ﹣B ）， 因为A ，B ∈（0，π），则A ﹣B ∈（﹣π，π），所以A ﹣B ＝B 或A ﹣B ＝π﹣B （舍去），所以A ＝2B ；（2）解：由（1）得A ＝2B ，c ＝b （1+2cos A ），所以0＜B ＜π3，12＜cosB ＜1， 所以6b+2c bcosB =6+2(4cos 2B−1)cosB =8cos B +4cosB ∈[8√2，12）， 故6b+2c bcosB 的取值范围为[8√2，12）．。

广东省广州市第六中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}210,01x A xB x x x x ⎧⎫+=<=-≤⎨⎬-⎩⎭,则A B ⋂=（ ）A. {}11x x -≤≤B. {}01x x <≤C. {}01x x ≤≤D.{}01x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】先求集合A 和集合B ，然后取交集即可. 【详解】{}10|111x A xx x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭,{}{}20|01B x x x x x =-≤=≤≤,则{}|01A B x x ⋂=≤<, 故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.设,a b R ∈，若0>-b a ，则下列不等式正确的是（ ） A. 0b a ->B. 0>+a bC. 033<+b aD.022<-b a【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质对选项逐个进行判断即可. 【详解】00||a a b b ⇒>->, A 项，||a b b >，则b-a<0,故A 项错误；B 项，||-a b b >，则a+b>0,故B 项正确；C 项，||a b >⇒333||a b b ≥->，则33+0a b >,故C 项错误；D 项，a >|b |⇒22a b >，即220a b ->，故D 项错误. 故选：B【点睛】本题考查不等式性质的应用，属于基础题.3.如图，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50cm ，45,105ACB CAB ∠=︒∠=︒后，可以计算出,A B 两点的距离为（ ）252B. m 225C. m 250D. m 350【答案】C 【解析】分析：利用正弦定理求解。