(广东专用)高考数学第一轮复习用书 第22课 函数模型及应用 文

再由 C(0)＝8，得 k＝40，∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， 又∵隔热层建筑费用为 6x(万元)， ∴f(x)＝20×3x4＋0 5＋6x＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝38x＋005＋6x＝61x＋60100＋(6x＋10)－10， ∵0≤x≤10， ∴6x＋10＞0，
【解析】 当m∈[0.5,3.2]时，[m]所有可能值为0,1,2,3共四个， 故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}．
【答案】 B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企
业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业
(2011·四川高考改编)里氏震级M的计算公式为： M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A0是相应的标准地震的振幅． (1)假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时 标准地震的振幅为0.001，求此次地震的震级；
(2)2011年3月11日，日本东海岸发生9.0级特大地震；2008年5 月12日，中国汶川发生8.0级强震，那么9.0级地震的最大振幅 是8.0级地震最大振幅的多少倍？
，
因此(5－b)2＝0，∴b＝5，k＝1.
(2)由(1)知 p＝2(1－t)(x－5)2，且 q＝2－x，
由 p＝q，∴(1－t)(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5)2＝－x，
因此 t＝1＋x－x 52，0＜x≤4， 又 t′＝x－5x2－－25x4x－5＝－xx－＋553， 当 0＜x≤4 时，(x－5)3＜0，∴t′＞0. ∴t＝1＋x－x 52，在(0,4]上是增函数， ∴当 x＝4 时，t 有最大值为 5. 故关税税率的最大值为 50%.

2021-2022年高考数学一轮总复习 1.11函数模型及其应用课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·日照模拟)下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )C解析：根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案：A2．(xx·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )A BC D解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案：B3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A.答案：A4．(xx·安徽名校联考)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )A BC D解析：由题意得，f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜t≤22，－t－22＋1⎝⎛⎭⎪⎫22＜t＜2，1t≥2，故其图象为C.答案：C5．(xx·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A．10 B．11C．13 D．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x x＋1x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，所以选A.答案：A6．某医院研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )A ．4小时B ．478小时C ．41516小时D ．5小时解析：当0＜t ≤1时，y ＝4t ，当t ≥1时，y ＝(12)t －3；当y ≥14时，4t ≥14，则t ≥116.或(12)t －3≥14＝(12)2，∴t －3≤2，t ≤5，从而时间t ＝1516＋4＝41516.答案：C 二、填空题7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元部分10%y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，5%x －800，800＜x ≤1300，10%x －1300＋25，x ＞1300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为______元．解析：若x ＝1300元，则y ＝5%(1300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x ＞1300. ∴10%(x －1300)＋25＝30，得x ＝1350(元)． 答案：13508．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，所获利润y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30，该二次函数的对称轴为x ＝10.2，又x ∈N ，所以当x ＝10时，能获最大利润．L max ＝－15＋30.6＋30＝45.6.答案：45.69．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：根据题目条件可知，c －a ＝x (b －a )，b －c ＝b －a －(c －a )＝(1－x )(b －a )，最佳乐观系数满足：c －a 是b －c 和b －a 的等比中项，所以有[x (b －a )]2＝(1－x )(b －a )(b －a )，又因为(b －a )＞0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，又0＜x ＜1，所以x ＝－1＋52.答案：－1＋52三、解答题10．(xx·武汉模拟)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域． (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解析：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD ，所以x －48－y ＝42， 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．11．(xx·长沙模拟)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制会产生一些次品，根据经验知道，其次品率p 和日产量x (万件)之间大体满足关系：p ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ，1≤x ≤c ，23，x ＞c(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如p ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数． (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？解析：(1)当x ＞c 时，p ＝23，所以T ＝13x ·2－23x ·1＝0，当1≤x ≤c 时，p ＝16－x，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－x ·x ·2－16－x ·x ·1＝9x －2x 26－x . 综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x －2x 26－x，1≤x ≤c ，0，x ＞c .(2)由(1)知，当x ＞c 时，每天的盈利额为0， 当1≤x ≤c 时，T ＝9x －2x 26－x ＝15－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－x＋96－x ≤15－12＝3. 当且仅当x ＝3时取等号．所以(ⅰ)当3≤c ＜6时，T max ＝3，此时x ＝3. (ⅱ)当1≤c ＜3时，由T ′＝2x 2－24x ＋546－x 2＝2x －3x －96－x2知，函数T ＝9x －2x26－x在[1,3)上递增，所以T max ＝9c －2c26－c，此时x ＝c .综上，若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润． 若1≤c ＜3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．12．(xx·苏州模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解析：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此该项目不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000.所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040 ＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x.即x＝400时，yx取得最小值200.因为200＜240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．20012 4E2C 丬?S27602 6BD2 毒38065 94B1 钱40466 9E12 鸒38234 955A 镚39042 9882 颂29666 73E2 珢{22160 5690 嚐 c(。

2020年高考理科数学一轮总复习函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[基础梳理]1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)列表：(2)描点：⎝ ⎛⎭⎪⎫－ω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω－ω，A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－ω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω－ω，－A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－ω，0.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤12个小环节构成6条路线：(以③⑨○12线路为例) ③把y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象； ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx ＋φ)；○12最后把所有点的纵坐标变为原来的A (A >0)倍，横坐标不变，就得到y ＝A sin(ωx＋φ)的图象．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义ωT 2π1．平移变换的两种单位长度由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 与最值的关系 A ＝y max －y min 2，b ＝y max ＋y min 2.[四基自测]1．(教材改编)电流i (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是i ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流i 变化的初相、周期分别是( ) A.π3，150 B.π6，1100 C.π3，1100 D.π6，150答案：A2．(教材改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案：B3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4答案：A4．(教材改编)由y ＝sin x ______得到y ＝sin 13x ，________得到y ＝2sin 13x ，________得到y ＝2sin(13x －π6)．答案：横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 向右平移π2个单位长度5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)由曲线C 1：y ＝cos x ，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C 2：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.答案：23π 12考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换◄考能力——知法[例1] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.答案：D(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0.①若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；②令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象． 解析：①∵f (x )＝sin x 的增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ， ∴－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(ω＞0)，k ∈Z ， ∴－π2ω＋2k ωπ≤x ≤π2ω＋2kωπ，k ∈Z . 由于f (x )＝2sin(ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，23π上递增，∴[－π4，23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k ωπ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≥23π－π2ω＋2k ωπ≤－π4，∴0＜ω≤34(1＋4k )(k ∈Z )．②当ω＝2时，f (x )＝2 sin(2x )向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象．即函数y ＝g (x )的解析式为y ＝g (x ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.列表：作图：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，故ω＝2πT ＝2，因此g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.答案：A2．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)由y ＝sin x 经过怎样的变换得到f (x )＝cos(ωx ＋φ)的图象(x ∈R )． 解析：(1)最小正周期T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∴sin φ＝－32.∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎛⎪⎫2x －π，列表：图象如图所示．(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴由y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，即f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．考点二 由函数图象求解析式◄考能力——知法 [例2] (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D ．y ＝cos 2x解析：由题图知，A ＝1， 34T ＝11π12－π6＝912π＝34π， 所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2.所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的图象向右平移π6个单位长度得 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选B. 答案：B(2)已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由图可知T 4＝π3－π12＝π4，A ＝2， 即T ＝π，A ＝2，故ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得 －5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )1．求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . 2．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.1．函数y ＝f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ，ω，φ的值分别为( )A ．1，π，π4 B ．－1，π，π4 C ．1,2，π4D ．1，π，－π4解析：由题图知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，A ＝1，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4. 答案：A2．(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位长度得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝sin π2(x ＋1) B ．g (x )＝sin π8(x ＋1) C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋1D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋1解析：由题图可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，横坐标变为原来的2倍得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，再向右平移1个单位长度，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －1)＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π8＝sin π8(x ＋1)．答案：B考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质的综合应用◄考素养——懂理 角度1 三角函数图象变换与性质综合问题[例3] (1)(2019·洛阳高三期中测试)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12·sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位长度后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，当k ＝－1,0,1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4.故选B. 答案：B(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，点P 、Q 、R 在f (x )的图象上，坐标分别为(－1，－A )、(1,0)、(x 0,0)，△PQR 是以PR 为底边的等腰三角形，将函数f (x )的图象向右平移5个单位长度后得到函数g (x )的图象，则关于g (x )的说法中不正确的是( ) A ．g (x )是偶函数B ．g (x )在区间[0,4]上是减函数C ．g (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．g (x )在[－1,3]上的最小值为－ 6。

第十二节函数模型及其应用一、基础知识批注——理解深一点1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝kx(k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x(a >0)．(1)形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x(a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n<a x幂函数模型y ＝xnn >0可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小n ≤1时，增长较慢；当n 值较大n >1时，增长较快.二、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(3)幂函数增长比直线增长更快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (二)选一选1．在某个物理实验中，测量后得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 由x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；由x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. (三)填一填4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 二次函数、分段函数模型[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0<x ≤75(x ∈N *)，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10x －30，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10x －602＋21 000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． [解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5. 2．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000 ＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003 km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二 指数函数、对数函数模型[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解] (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 以上过程用框图表示如下：[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ 解：(1)当声强为10－6W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12， 得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12， 得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0. ∴I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1722＋1 210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．15立方米D ．16立方米解析：选 C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x >10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e－kt，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e－kt，即0.01＝e－kt，得－kt ＝ln 0.01，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， 当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．11。