高等数学教学教案 多元函数的极值及其求法

o
x
设有一列实验数据
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
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特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b
使 y ax b 满足:
n
y
M (a,b) ( yk axk b)2 min
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
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设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
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• 偏差 ri yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对
值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
n
[ yi f (xi )]2 min
y
i0
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理:
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
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三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:

第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义，对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若有),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件（称驻点）例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，定理2（充分条件）则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00， （1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为：66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - （-3,0）-12 0 6 - 不是极值 （1,0）12 0 6 + 极小值-5 （-3,2）-12 0 -6 + 极大值31 （1,2） 12 0 6- 不是极值 例4解，令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点，⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值，解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上，即x y -=6，得 4,021==x x ，,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子，问长、宽、高各为多少时，才能使所用材料最省？ 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ，高为y ，则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时，所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题：x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为：)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,，就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。

第10讲多元函数的极值
会计学
1
第一页，编辑于星期二：十一点 四十四分。
一.无约束极值
极大值和极小值的定义
设
在
内有定义.
u f (X ) U( X 0 ) Rn
若
总有
X Uˆ (X0),
则称
为函数
f (X0)
称为函数的极大点
X0
的极大值
(极小值).
f (X)
(极小点).
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第二页，编辑于星期二：十一点 四十四分。
第三十二页，编辑于星期二：十一点 四十四分 。
例7
例
求函数
在条件
f (x, y, z) xyz
下的极小值, 并证明此时不等式成立：
其中, x、y、z、a > 0为实数.
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第三十三页，编辑于星期二：十一点 四十四分 。
作拉格朗日函数 解
令
第33页/共42页
第三十四页，编辑于星期二：十一点 四十四分 。
应用题, 又仅有唯一的个驻点, 故该驻点即
由 为极值点, 从而所求球内接长方体的边长为
V
x
V
y
0 02x
2y 2
2x2 zx22 a.2
y y
2 2
3
a2 a2
解之得
a
xy ,
3
第25页/共42页
第二十六页，编辑于星期二：十一点 四十四分 。
二.有约束极值（条件极值）
对自变量附加一定条件的极值问题就
函数
在点
处
取极大值.
例1
z 1 x2 y2
(0, 0)
函数
在点
例2
z x2 y2

解方程组
F f 0 x x x 求驻点 . F f 0 y y y

F 0
3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)
第二步 判别
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
y z V 2 ( x z y z ) x y z 使在条件 x 0下水箱表面积 S
解方程组
Fy 2 z x x z 0
Fx 2 z y y z 0

z
x
y
Fz 2 ( x y ) x y 0
y z V 0 F x 0
,
z
y
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示: F 2 ( x z y z ) y ( x y z V ) 2x 0

长、宽、高尺寸相等 .
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f( x ,y ) ,即解方程组
得驻点 ( 2 , 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 2
高为
8 2 2
2
时, 水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 2 x 2 x cos A ( 24 24 2 x )x sin 2 2 2 24 x sin 2 x sin x cos sin

必要条件 z f ( x , y )在( x0 , y0 )有极值
f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0
证 不妨设 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 )
都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) , 故当 y y0， x x0时，
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
f x ( x 0 , y 0 ) 0; f y ( x0 , y0 ) 0 . 类似地可证
第八节 多元函数的极值 及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数最值 三、条件极值
观察二元函数 z
xy e
x y
2 2
的图形
一、多元函数极值（一元函数极值的推广）
1.极值的定义 fx (,x 设函数 zyf ( y) ) 在点 ( xx 0 , y0 ) 的某邻域 U ( )
( x ,y x) U ( ), 有定第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) 求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号， 再判定是否是极值.
必有
推广 如果三元函数 u f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的 必要条件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0

F z 2 (x y )x y 0
F xyzV00
2 y 1 z 0

2
x
1
z

0
2 x 2 y 0
x y y 2z
xyzV00
xy2z32V0,
22
四川大学数学学院 邓瑾
得唯一驻点
xy2z32V0,
A 在点(1,0) 处 A 12, B 0 , C 6 ,
A C B 21260, A 0,
f(1,0)5为极小值;
5
四川大学数学学院 邓瑾
在点(1,2) 处 A 1 2 ,B 0 ,C 6 A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,f(1,2)不是极值;
1 1

z z

zxx z yy

zx2
z
2 y

2zxx 2z yy

0 0
zxx
zyy
1 2z
z zxy zy zx 2zxy 0 zxy 0
8
四川大学数学学院 邓瑾
1
1
A z x x |P 2 z , B z x y |P 0 ,C z y y |P 2 z ,
值与最小值. 解 如图,先求函数在D内的驻点.
解方程组
D
xy6
y
ffx y ((x x ,,yy)) 2 x x 2((4 4 y x x yy)) x x 22 yy 0 0 得 区 域 D 内 唯 一 驻 点 ( 2 , 1 ) ,
且 f (2,1) 4,
A<0 时取极大值; 则: 1) 当ACB20时, 具有极值 A>0 时取极小值.

详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点，若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。

数学教学一直是中小学教育中的难点之一，其中多元函数及求极值问题更是让许多学生头痛。

在教学中，教案的设计是至关重要的一环，如何设计一个更加有效的教案，帮助学生解决多元函数及求极值问题，是每一位数学教师必须面对的问题。

一、教学目标在设计教案的时候，要明确自己的教学目标是什么。

多元函数与极值问题的目标是，培养学生对多元函数和极值问题的基本概念和性质的理解，及其应用能力，并通过大量的实例训练，使学生掌握求多元函数的极值的方法。

二、教学过程1.引入课题教师应该通过引入问题激发学生的兴趣，例如可以通过一个简单的问题来引出多元函数及极值问题，例如：小明要把一块长方形牛皮纸分成两块，让其中一块制成一个长方体的盒子，另一块制成一个正方的盒子，如何划分使两盒子的总表面积最小？这个问题很好的体现了多元函数与极值问题的应用，可以引出多元函数和极值问题的定义。

2.知识点讲解老师应该对多元函数和极值问题进行详细的讲解。

通过讲解，学生应该了解多元函数的基本概念和性质，以及求多元函数极值的常用方法。

可以采用返璞归真的方法，从一元函数逐步引入多元函数的概念。

3.教师示范教师可以通过一个例子来演示一下如何求多元函数的极值。

通过对实例的分析，学生应该进一步了解多元函数的求解过程。

4.学生独立练习教师可以通过讲解之后的习题让学生进行独立练习。

练习过程可以分步进行，从最基础的题目开始，逐步提高难度。

在练习的过程中，学生应该对多元函数和极值问题的知识点有更深入的了解，并逐渐掌握方法和技巧。

三、教学方法在设计教案时，选择合适的教学方法也是十分重要的。

在多元函数及求极值问题的教学中，应该采用多种教学方法，例如口头讲解、演示、练习等多种方式结合，以丰富教学手段，增加学生学习的兴趣。

其中，演示和练习是十分重要的环节。

在教师演示的过程中，学生可以通过老师的示范了解方法，帮助学生更好的掌握知识点；在练习的环节中，学生可以自己找出问题所在，并独立解决，提高自己的思考能力和解决问题的能力。

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例7 设三正数 x、y、z的和为12，
求x 3 y 2 z 的最大值
解
设F ( x , y , z ) x 3 y 2 z (x y z 12)
令
Fx 3 x 2 y 2 z 0 F y 2 x 3 yz 0 x3 y2 0 Fz
同理f y ( x0 , y0 ) 0
返回
故f x ( x 0 , y0 ) 0
注意：偏导数存在的极值点
定理1
?
驻点
例如，点 ( 0, 0) 是函数 z xy 的驻点，
z x y, z x (0,0) 0;
z y x , z y (0,0) 0.
但点 (0, 0) 不是极值点.
返回
过 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 的切平面方程为
x x 0 y y0 z z 0 化简为 2 2 1, 2 a b c
该切平面在三个轴上的截距各为
y0 z0 x0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 0 , 2 c b a
返回
Ex 求f ( x , y ) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x的极值
解
令
f x ( x, y) 3 x 2 6 x 9 0 f y ( x , y ) 3 y 2 6 y 0
( ( ( 得驻点 (1,0)、 1,2)、 3,0)、 3,2)
x y z 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1, a b c
2
2
2
o
y
x
2 y0 2 z0 2 x0 则 Fx |P 2 ， F y | P 2 ， Fz | P 2 a b c

z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个 变量由其余变量表示出来)，这时， 上述方法就行不 通了. 可是， 实际中又有大量这类问题需要解决， 为此， 下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即 当0 | x x0 | 时, 有
第三步 根据极值的充分条件， 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解 定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值？ 有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题：
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， (极小值)