第8章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数．多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1 多元函数的极限与连续一、平面点集与n 维空间一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．1．平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点P 与二元有序实数组(,)x y 之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组(,)x y 与平面上的点P 看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面．二元有序实数组(,)x y 的全体，即2{(,),}R x y x y R =∈就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件C 的点的集合，称为平面点集，记作{(,)(,)E x y x y =满足条件}C ．例如，平面上以原点为中心，r 为半径的圆内所有点的集合是222{(,)}E x y x y r =+<．现在，我们引入平面中邻域的概念．设000(,)P x y 是平面上一点，δ是一正数．与点000(,)P x y 距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为0(,)U P δ或0()U P ，即00(,){ }{(,}U P P P P x y δδδ=<=<．不包含点0P 在内的邻域称为点0P 的空心δ邻域，记为0(,)UP δ 或0()U P ，即00(,){ 0<}{(,)0}U P P P P x y δδδ=<=<< ． 在几何上，邻域0(,)U P δ就是平面上以点000(,)Px y 为中心，δ为半径的圆的内部的点(,)P x y 的全体．下面利用邻域来描述点和点集之间的关系．任意一点2P R ∈与任意一个点集2E R ⊂之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点P 的某个邻域()U P ，使得()U P E ⊂，则称点P 是点集E 的内点（见图8-1）．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域()U P ，使得()U P E =∅ ，则称点P 是点集E 的外点（见图8-2）．（3）边界点：如果在点P 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点，则称点P 是点集E 的边界点（见图8-3）．E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ∂．E 的内点必定属于E ；E 的外点必定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点：若点P 的任何空心邻域0()U P 内总有E 中的点，则称P 为点集E 的聚点．聚点本身可能属于E 也可能不属于E ．显然，E 的内点一定是E 的聚点，E 的外点一定不是E 的聚点．例如，点集22{(,)14}D x y x y =≤+<，满足2214x y <+<的一切点是D 的内点；满足221x y +=的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足224x y +=的点也是D 的边界点，但它们不属于D ；点集D 连同它的外圆边界上的点都是D 的聚点．根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集：如果点集E 的点都是E 的内点，则称E 为开集．闭集：如果点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集． 例如，集合22{(,)14}x y x y <+<是开集；集合22{(,)14}x y x y ≤+≤是闭集；而集合22{(,)14}x y x y ≤+<既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面2R 和空集∅既是开集又是闭集．连通集：若点集E 中任意两点都可以用完全含于E 的有限条直线段所组成的折线相连接，则称E 是连通集．区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域．闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域． 例如，22{(,)14}x y x y <+<是区域；22{(,)14}x y x y ≤+≤是闭区域．有界集：对于点集E ，如果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称E 是有界点集．否则称为无界点集． 例如22{(,)1}x y x y +≤是有界闭区域，而22{(,)1}x y x y +>是无界的开区域．2．n 维空间称n 元有序实数组12(,,)n x x x 的全体为n 维空间，记为12{(,,,),1,2,,}n n i R x x x x R i n =∈= ．n R 中的每个元素12(,,,)n x x x 称为n 维空间中的一个点，i x 称为该点的第i 个坐标．设点12(,,,)n M x x x ，12(,,,)n N y y y 为nR 中的两点，我们规定M ，N 两点间的距离为MN =显然，当1,2,3n =时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到n R 中去．设0n P R ∈，δ是一正数，那么nR 中的点集 00(,){ ,}n U P P P P P R δδ=<∈就称为点0P 的δ邻域．有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区域等概念推广到n 维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面先看几个例子．例1 正圆锥体的体积V 和它的高h 及底面半径r 之间有关系213V r h π=．当r 和h 在集合{(,)0,0}r h r h >>内取定一组数时，通过关系式213V r h π=，V 有唯一确定的值与之对应． 例 2 一定量的理想气体的压强P 、体积V 和绝对温度T 之间有关系RT PV =，其中R 为常数．当V 、T 在集合{(,)0,0}V T V T >>内取定一组数时，通过关系式RT P V=，P 有唯一确定的值与之对应． 上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义．定义1 设D 是平面上的一个点集，如果对于D 内任意一点(,)P x y ，变量z 按照某一对应法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称z 是变量x 、y 的二元函数（或称z 是点P 的函数），记作(,),(,)z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈．其中点集D 称为函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 也称为因变量，数集{(,),z z f x y = (,)}x y D ∈称为该函数的值域．z 是x ，y 的函数也可记为(,)z z x y =．按照定义，在例1和例2中，V 是h 和r 的函数，P 是V 和T 的函数，它们的定义域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算式有意义的点的集合．例3 求下列函数的定义域．（1）ln()z x y =+； （2）22arcsin()z x y =+．解 （1）要使ln()x y +有意义，必须有0x y +>，所以定义域为 {(,)0}x y x y +>．（见图8-4），这是一个无界开区域．（2）要使22arcsin()x y +有意义，必须有221x y +≤，所以定义域为22{(,)1}x y x y +≤．（见图8-5），这是一个有界闭区域．设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，对任一点(,)x y D ∈，必有唯一的(,)z f x y =与之对应．这样，以x 为横坐标，y 为纵坐标，(,)z f x y =为竖坐标在空间就确定一个点(,,)P x y z ．当(,)x y 取遍D 上一切点时，相应地得到一个空间点集{(,,)(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈，这个点集称为二元函数(,)z f x y =的图形（见图8-6）．通常(,)z f x y =的图形是一张曲面，函数(,)f x y 的定义域D 便是该曲面在xOy 面上的投影．例如，由空间解析几何知道，25zx y =+的图形是一张平面，而函数22z x y =+的图形是旋转抛物面．2．n 元函数的概念定义2 设E 是nR 中的一个点集，如果对于E 中任意一点12(,,,)n P x x x ，变量u 按照某一对应法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称u 是定义在E 上的n 元函数，记作 1212(,,,),(,,,)n n u f x x x x x x E =∈ ，或(),u f P P E =∈．点集E 称为函数的定义域，数集1212{(,,,),(,,,)}n n u u f x x x x x x E =∈ 称为该函数的值域．在定义2中，分别令2n =和3n =，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元函数．三、二元函数的极限设二元函数(,)z f x y =定义在平面点集D 上，000(,)P x y 为点集D 的聚点，我们来讨论当点000(,)(,)P x y P x y →，即点0x x →，0y y →时函数(,)z f x y =的极限．这里000(,)(,)P x y P x y →是指点P 以任意的方式趋于0P ，亦即两点P 与0P 之间的距离趋于零，也就是00P P =→．与一元函数的极限概念类似，如果在000(,)(,)P x y P x y →的过程中，(,)P x y 所对应的函数值(,)f x y 无限接近于一个常数A ，则称当000(,)(,)P x y P x y →时，函数(,)z f x y =以A 为极限．下面用“εδ-”语言来描述这个极限的概念．定义3 设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，A 是一个常数．如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0(,)(,)P x y UP D δ∈ 时，恒有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称当000(,)(,)P x y P x y →时函数(,)z f x y =以A 为极限，记为 00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=或00lim (,)x x y y f x y A →→=， 也记作0lim ()P P f P A →=．二元函数的极限也称为二重极限．例4设(,)f x y =(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=．证 这里函数(,)f x y 的定义域是2D R =，点(0,0)O 显然为D 的聚点．由于(,)0sin 0f x y -=≤可见，对任意给定的0ε>，取δε=，则当0δ<<，即(,)(,)P x y U O D δ∈ 时，恒有(,)0f x y ε-≤<，成立，根据二元函数极限的定义，证得(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数A ．因此，当P 以某种特殊方式趋近于0P ，即使函数(,)f x y 无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在．但当P 以某种特殊方式趋近于0P 时，函数(,)f x y 的极限不存在，或者当P 沿两个特殊方式趋近于0P 时，函数(,)f x y 分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在． 例5 讨论22(,)xy f x y x y=+当(,)(0,0)x y →时是否存在极限． 解 当点(,)x y 沿着直线ykx =趋于(0,0)时，有2222222(,)(0,0) 0 lim lim 1x y x y kxxy kx k x y x k x k →→===+++． 其值因k 而异，这与极限定义中当(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数A 的要求相违背，因此当(,)(0,0)x y →时，22(,)xy f x y x y =+的极限不存在．以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的n 元函数()u f P =即12(,,,)n u f x x x = 上去．多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复．例6 求22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin 1x y ≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y→+=+． 例7 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22u x y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y u x y u→→+==+． 例8 求222(,)(0,0)lim x y x y x y →+． 解 利用极坐标变换．令co s x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 四、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的定义．定义4 设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，且0P D ∈，如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →= （1） 则称二元函数(,)z f x y =在0P 点连续．若记0x x x ∆=-，0y y y ∆=-，则称0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-为函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的全增量．和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续性，即当 0000(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim (,)(,)0x y x y z f x x y y f x y ∆∆→∆∆→∆=+∆+∆-= 时，(,)f x y 在点000(,)P x y 连续．若函数(,)f x y 在D 上每一点都连续，则称(,)f x y 在D 上连续，或称(,)f x y 是D 上的连续函数．若(,)f x y 在0P 点不连续，则称0P 是函数(,)f x y 的间断点．当函数(,)f x y 在0P 点没有定义；或虽有定义，但当0P P→时函数(,)f x y 的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则0P 都是函数(,)f x y 的间断点．例如，考察函数22 ()(00)() 0 ()(00).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，例5中已说明，22(,)(0,0)limx y xy x y →+不存在，所以点(00)，是函数()f x y ，的间断点． 再如函数2()x y f x y x y -=-，在曲线2x y =上每一点处都没有定义，所以曲线2x y =上每一点都是该函数的间断点．根据极限的运算法则和多元函数连续性的定义，不难证明多元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）也都是连续函数．多元连续函数的复合函数也是连续函数．与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的．例如22sin()x y +，ln()x y +都是多元初等函数．根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再利用基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果需求极限0lim()P P f P →，而0P 正是初等函数()f P 定义区域内的一点，则00lim ()()P P f P f P →=．例9 求(,)(1,2)lim ln()x y x y →+．解 函数ln()x y +是多元初等函数，它的定义域{(,)0}D x y x y =+>是一个区域，而点(1,2)D ∈，所以(,)(1,2)lim ln()ln(12)ln3x y x y →+=+=．例10求(,)lim x y → 解(,)((,)(0,0)l i m l i x y x y →→=(,)(l i m 1 2.x y →=+=1+在点(0,0)的连续性．类似于闭区间上一元连续函数的性质，在有界闭区域上的多元连续函数具有以下几个重要性质：性质1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有最大值与最小值；性质2（有界性定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有界；性质3（介值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值．习题 8-11．判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、闭区域、有界集、无界集，并指出它们的边界和聚点． （1）{(,)0,0}D x y x y =≠≠；（2）2{(,)}D x y y x =>； （3）{(,)1}D x y x y =+≤．2．求下列函数的定义域，并作出定义域的草图：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln ln z x y =+； （3）22z=（4）z=3．求下列各极限： （1）2222(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++； （2）(,)(0,2)sin()lim x y xy x →； （3）22(,)limx y →； （4）(,)limy x y →．4．证明下列极限不存在： （1）22(,)(0,0)limx y xy x y →+； （2）(,)(0,0)limx y x yx y →+-． 5．求下列函数的间断点：（1）1sinx y+； （2）22tan()x y +． §2 偏导数与全微分一、偏导数1．偏导数定义及其计算在一元函数中，我们通过函数的增量与自变量增量之比的极限引出了导数的概念，这个比值的极限刻画了函数对于自变量的变化率．对于多元函数同样需要讨论它的变化率，由于多元函数的自变量多于一个，使得变化率问题变得较为复杂．在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，即讨论只有一个自变量变化，而其余自变量固定不变（视为常量）时函数的变化率．定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时（点（00,x x y +∆）仍在该邻域中），相应地函数有增量 0000(,)(,)f x x y f x y +∆-． 如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x y zx ∂∂，00(,)x y fx ∂∂，00(,)x z x y 或00(,)x f x y ①，即0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆． （1）类似地，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)limy f x y y f x y y∆→+∆-∆， （2）记作00(,)x y z y∂∂，00(,)x y f y∂∂，00(,)y z x y 或00(,)y f x y ．①偏导数记号x z ，x f 也常记作x z '，x f '．由偏导数的定义可知，二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y ， 实际上就是把y 固定在0y 时，一元函数0(,)f x y 在0x 点的导数0d (,)d x x f x y x =；00(,)y f x y 就是一元函数0(,)f x y 在0y 点的导数0d (,)dyy y f x y =．如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点(,)x y 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数(,)z f x y =对自变量x 的偏导函数，记作z x ∂∂，fx∂∂ x z 或(,)x f x y ．类似地，可以定义函数(,)z f x y =对自变量y 的偏导函数，记作z y ∂∂，f y∂∂，y z 或(,)y f x y ．偏导函数也简称为偏导数．显然函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在点00(,)x y 处的函数值．至于实际求(,)z f x y =的偏导数，并不需要用新的方法，因为偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数(,)z f x y =看成是另一个自变量的一元函数的导数．计算f x ∂∂时，只要把y 看作常数，而对x 求导数；类似地，计算f y∂∂时，只要把x 看作常数，而 对y 求导数．二元以上的函数的偏导数可类似定义．例如三元函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处对x 的偏导数可定义为(,,)(,,)(,,)limx x f x x y z f x y z f x y z x∆→+∆-=∆其中(,,)x y z 是函数(,,)u f x y z =的定义域的内点．求二元以上函数对某个自变量的偏导数也只需把其余自变量都看作常数而对该自变量求导即可．例1 求二元函数arctanyz x=的偏导数． 解 对x 求偏导数时，把y 看作常数，则222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 对y 求偏导数时，把x 看作常数，则222111z xyx x yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 例2 设323(,)2f x y x x y y =+-，求(1,3)x f ，(1,3)y f ．解 方法一：先求出偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，再求偏导函数在点(1,3)的函数值．2(,)34x f x y x xy =+，22(,)23y f x y x y =-，所以 (1,3)15x f =，(1,3)25y f =-．方法二：将(1,3)x f 转化为当3y =时，计算一元函数(,3)f x 在1x =处的导数，32(,3)627f x x x =+-，所以 211d (,3)(1,3)(312)15d x x x f x f x x x ====+=．将(1,3)y f 转化为当1x =时，计算一元函数(1,)f y 在3y =处的导数，3(1,)12f y y y =+-，所以 233d (1,)(1,3)(23)25dyy y y f y f y ====-=-．例3已知函数r =2221r r r x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证 求rx∂∂时，把y 和z 看作常数，则r x x r∂==∂，由于所给函数关于自变量对称①，所以r y y r∂=∂，r z z r ∂=∂，从而有22222221r r r x y z x y z r ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例4 已知理想气体的状态方程是PV RT =（R 是常数），求证1P V TV T P∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂． 证2P R T R TV V V V ∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂⎝⎭， V RT RT T P P ∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭， T PV V P P RR∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭， 故21P V T RT R V RT V T P V P R PV∂∂∂⋅⋅=-⋅⋅=-=-∂∂∂． 从例4不难说明偏导数的记号P V ∂∂，V T ∂∂，TP∂∂是一个整体记号，不能像一元函数的导数d d y x那样看成分子与分母之商，否则将导致1P V TV T P ∂∂∂⋅⋅=∂∂∂的错误结论． 2．偏导数的几何意义在空间直角坐标系中，二元函数(,)z f x y =的图像是一个空间曲面S ．根据偏导数的定义，00(,)x f x y 就是把y 固定在0y ，一元函数0(,)f x y 在0x 点的导数．而在几何上，一元函数0(,)z f x y =表示曲面S 与平面0y y =的交线10(,):z f x y C y y =⎧⎨=⎩，则由一元函数导数的几何意义知，00(,)x f x y 就是曲线1C 在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线0x PT 对x 轴的斜率，即0x PT 与x 轴正向所成倾角的正切tan α（见图8-7）． 同理，00(,)y f x y 就是曲面S 与平面0x x =的交线20(,):z f x y C x x =⎧⎨=⎩在点0P 处的切线①若函数表达式中任意两个自变量对调后，仍表示原来的函数，则称函数关于这两个自变量对称．0y PT 对y 轴的斜率tan β（见图8-8）．3．偏导数与连续的关系我们知道，若一元函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 必在点0x 处连续．但对于 二元函数(,)z f x y =来讲，即使在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，也不能保证函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．这是因为偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在只能保证一元函数0(,)z f x y =和0(,)z f x y =分别在0x 和0y 处连续，但不能保证(,)x y 以任何方式趋于00(,)x y 时，函数(,)f x y 都趋于00(,)f x y ． 例5 求二元函数22()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处的偏导数，并讨论它在点(0,0)处的连续性．解 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．0(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．我们在第一节已经知道(,)f x y 在点(0,0)处不连续．当然，(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 的偏导数存在． 例6讨论函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数与连续性．图8-7 图8-8解 因为(,)f x y =2R 是一个区域，而2(0,0)R ∈，因此(,f x (0,0)处连续．但00(0,0)(0,0)(0,0)limlim x x x x f x f f x x∆→∆→∆+∆-==∆∆不存在．由函数关于自变量的对称性知，(0,0)y f 也不存在．4．高阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,)x zf x y x ∂=∂，(,)y z f x y y∂=∂， 一般来讲，在D 内(,)x f x y ，(,)y f x y 仍然是x ，y 的函数，如果(,)x f x y ，(,)y f x y 关于x ，y 的偏导数也存在，则称(,)x f x y ，(,)y f x y 的偏导数是函数(,)z f x y =的二阶偏导 数．按照对两个自变量求导次序不同，二元函数(,)z f x y =的二阶偏导数有如下四种情形：对x 的二阶偏导数：2222(,)xx z z ff x y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 先对x 后对y 的二阶偏导数：22(,)xy z z ff x y y x x y x y∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭， 先对y 后对x 的二阶偏导数：22(,)yx z z ff x y x y y x y x ⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭， 对y 的二阶偏导数：2222(,)yy z z f f x y y y y y⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭①．如果二阶偏导数的偏导数存在，就称它们是函数(,)f x y 的三阶偏导数，例如2323z z x x x ⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭，2322z zy x x y⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭等．类似地，我们可以定义四阶，五阶，…，n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．如果高阶偏导数中既有对x 也有对①二阶偏导数记号xx f ，xy f ，yx f ，yy f 也常记作xxf ''， xy f ''， yx f ''， yy f ''．y 的偏导数，则此高阶偏导数称为混合偏导数，例如2z x y ∂∂∂，2zy x∂∂∂．例7 求函数2x yz e +=的所有二阶偏导数．解 由于2x y z e x +∂=∂，22x y ze y+∂=∂， 因此有 2222()x y x yz z e e x x x x++∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 222()2x y x y z z e e x y y x y++∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 2222222(2)2(2)4.x y x y x y x yz z e e y x x y xz z e e y y y y++++⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，在此例中，两个二阶混合偏导数相等，即22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂，但这个结论并非对任何函数 成立，只有在满足一定条件时，二阶混合偏导数才与求偏导的次序无关．对此，我们不加证明地给出下面的定理．定理1 如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂在区域D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等．换句话说，两个二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关．对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数．而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求偏导的次序无关．例8验证函数ln z =满足拉普拉斯（Laplace ）方程22220z zx y∂∂+=∂∂．证因为221lnln()2z x y ==+，所以2222222222222222()2()()()z x x x yz z x x y x x y xx x x x x y x y x y ∂=∂+∂∂∂∂+-⋅-⎛⎫==== ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭，，利用函数关于自变量的对称性，在22zx∂∂的结果中，将x 与y 互换，便得到2222222()z x y y x y ∂-=∂+， 因此 222222222222220()()z z y x x y x y x y x y ∂∂--+=+=∂∂++．二、全微分1．全微分的定义我们知道一元函数()y f x =在点0x 可微是指：如果当自变量x 在0x 处有增量x ∆时，函数增量y ∆可表示为00()()()y f x x f x A x o x ∆=+∆-=∆+∆，其中A 与x ∆无关，()o x ∆是当0x ∆→时较x ∆高阶的无穷小量，则称()y f x =在点0x 可微，并称A x ∆为()f x 在点0x 处的微分，记为d y A x =∆．对于二元函数，我们也用类似的方法来定义可微性及全微分．定义2 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，点00(,)x x y y +∆+∆为该邻域内任意一点，若函数在点00(,)x y 处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为 ()z A x B y o ρ∆=∆+∆+， （3）其中A ，B 仅与点00(,)x y 有关，而与x ∆，y ∆无关，ρ=()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量，即0()lim0o ρρρ→=，则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处是可微的，并称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分，记作00(,)d xy z ，即(,)d x y z A x B y =∆+∆． （4）2．可微性条件定理2（可微的必要条件） 若(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则 （1）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；（2）(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，且00(,)x A f x y =，00(,)y B f x y =．证（1） 设(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，根据可微的定义有0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，当(,)(0,0)x y ∆∆→时，有0ρ=，于是()0o ρ→，从而有0000(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim(,)(,)x y x y z f x x y y f x y ∆∆→∆∆→∆=+∆+∆- (,)(0,0)lim()0x y A x B y o ρ∆∆→=∆+∆+=，所以(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．（2）因为(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则有0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，上式对任意的x ∆，y ∆都成立，特别地，当0y ∆=时，x ρ=∆，则有0000(,)(,)()f x x y f x y A x o x +∆-=∆+∆，等式两边同除以x ∆，再令0x ∆→，得000000()(,)(,)limlim x x A x o x f x x y f x y A x x∆→∆→∆+∆+∆-==∆∆， 即(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数存在，且00(,)x f x y A =．同理可证(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数也存在，且00(,)y f x y B =．证毕．根据此定理，(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分可以写成0000(,)d (,)(,)x y x y z f x y x f x y y =∆+∆．与一元函数的情形一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即d x x ∆=，d y y ∆=，所以(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分又可以写成0000(,)d (,)d (,)d x y x y z f x y x f x y y =+． （5）如果函数(,)z f x y =在区域D 上每一点都可微，则称函数在区域D 上可微，且(,)z f x y =在D 上全微分为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂． （6） 在一元函数中，函数在某点可导与可微是等价的，但对于多元函数来说，情形就不同了，函数的偏导数存在，不一定能保证函数可微．当偏导数存在时虽然在形式上能写出0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆+∆，但它与z ∆的差不一定是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量，62只有当0000[(,)(,)]()x y z f x y x f x y y o ρ∆-∆+∆=时，即00000[(,)(,)]limx y z f x y x f x y y ρρ→∆-∆+∆=时，才能说函数在该点可微．例如本节例5中所讨论的函数22()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以3222[(0,0)(0,0)](0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)][()()]x y z f x f y f x y f f x f y x y x y ρ∆-∆+∆+∆+∆--∆+∆=∆∆=∆+∆，如果考虑点(,)x y ∆∆按照y x ∆=∆的方式趋向于点(0,0)，这时有233(,)(0,0)022322()limlim[()()]2()x y x y xx y x x y x ∆∆→∆→∆=∆∆∆∆==∞∆+∆∆，即0[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可微．当然由本节例5可知，函数(,)f x y 在点(0,0)处不连续，由定理2知不连续则不可微，因此(,)f x y 在点(0,0)处的不可微．此例题说明偏导数存在只是可微的必要条件而不是充分条件．但是如果将可偏导的条件加强为偏导数连续，则函数就可微了．定理3（可微的充分条件） 若函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存 在，且(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．证 函数(,)f x y 的全增量z ∆可以表示为000000000000(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)],z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y ∆=+∆+∆-=+∆+∆-+∆++∆-63在第一个方括号中，变量0y y +∆保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于x 的一元函数0(,)f x y y +∆的增量；在第二个方括号中，变量0x 保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于y 的一元函数0(,)f x y 的增量．对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理得010002(,)(,)x y z f x x y y x f x y y y θθ∆=+∆+∆∆++∆∆，（10θ<，21θ<）． 由于(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，因此有01000(,)(0,0)lim(,)(,)x x x y f x x y y f x y θ∆∆→+∆+∆=， 00200(,)(0,0)lim(,)(,)y y x y f x y y f x y θ∆∆→+∆=，即 01000(,)(,)x x f x x y y f x y θα+∆+∆=+，00200(,)(,)y y f x y y f x y θβ+∆=+，其中当0x ∆→，0y ∆→时，0α→，0β→．从而0000(,)(,)x y z f x y x f x y y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆．而20)x y αβρ∆+∆≤0αβ≤+→，(0x ∆→，0)y ∆→所以(,)(0,0)lim0x y x yαβρ∆∆→∆+∆=，又由于0x ∆→，00y ρ∆→⇔→①，所以0lim0x yραβρ→∆+∆=，即当0ρ→时，有()x y o αβρ∆+∆=．①由于,x yx yρ∆∆≤=∆+∆，所以有0x ∆→，00y ρ∆→⇔→．64于是证明了(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．证毕．注意偏导数连续只是函数可微的充分条件，不是必要条件．例9 证明22221(sin ()(00)(,) 0 ()(00)x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩)，，，，，，，，在点(0,0)处可微，但在点(0,0)处偏导数不连续．证 20(0,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0()x x x f x f f x x x ∆→∆→+∆-==∆=∆∆， 由于函数关于自变量是对称的，则(0,0)0y f =．于是[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆22220(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]lim1[()()]sin[()()]lim x y f x y f f x f y x y x y ρρρρ→→+∆+∆--∆+∆=∆+∆∆+∆=221sinlim0ρρρρ→==，所以函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．当(,)(0,0)x y ≠时，由22221(,)(sinf x y x y x y =++)有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y=-+++， 222222(,)(0,0)(,)(0,0)121lim(,)lim 2sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y →→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭， 当点(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，由于222(,)(0,0)0 011lim 2sinlim2sin 0x y x y x x x y x →→===+，6522222(,)(0,0)0 02121limcos lim cos x y x y x x y x y x x →→==++不存在，所以(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，即(,)x f x y 在点(0,0)处不连续，同理(,)y f x y 在点(0,0)处也不连续．根据前面的讨论，函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示：偏导数连续连续以上关于全微分的定义及可微的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元及三元以上的函数．例如，若三元函数(,,)u f x y z =的三个偏导数都存在且连续，则它的全微分存在，并有d d d d u u uu x y z x y z∂∂∂=++∂∂∂． 例10 求函数222z x y xy =+在点(1,2)处的全微分．解24z xy y x ∂=+∂，2(1,2)(1,2)(4)12zxy y x ∂=+=∂，222z x xy y ∂=+∂，2(1,2)(1,2)(22)6zx xy y ∂=+=∂，由于z x ∂∂，zy∂∂在点(1,2)处连续，所以函数222z x y xy =+在点(1,2)处可微，且有 (1,2)(1,2)(1,2)d d d 12d 6d z zz x y x y x y ∂∂=+=+∂∂． 例11 求函数2xyzu exy z =++的全微分．解xyz u yze y x ∂=+∂，xyz uxze x y∂=+∂，2xyz u xye z z ∂=+∂ 由于u x ∂∂，u y ∂∂，u z∂∂连续，所以函数2xyz u e xy z =++可微，且有 d ()d ()d (2)d xyz xyz xyz u yze y x xze x y xye z z =+++++．66例12 求函数22z x y =在点(2,1)-处，当0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分d z 和全增量z ∆．解22z xy x ∂=∂，2(2,1)(2,1)24z xy x --∂==∂，22z x y y ∂=∂，2(2,1)(2,1)28zx y y --∂==-∂，由于z x ∂∂，zy∂∂在点(2,1)-处连续，所以函数22z x y =在点(2,1)-处可微，且 (2,1)(2,1)(2,1)d 4(0.02)(8)(0.01)0.16z zz x y x y ---∂∂=∆+∆=⨯+-⨯-=∂∂，2222(20.02)(10.01)2(1)0.1624z ∆=+⨯---⨯-=．此例中z ∆与d z 的差仅为0.0024．3．全微分在近似计算中的应用设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则它在点00(,)x y 处的全增量为00000000(,)(,)(,)(,)()x y z f x x y y f x y f x y x f x y y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，其中()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量．因此，当x ∆，y ∆都很小时，有近似公 式 0000d (,)(,)x y z z f x y x f x y y ∆≈=∆+∆， 上式有时也写成00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y +∆+∆≈+∆+∆． （7）利用上面的近似公式（7）可以计算函数的近似值． 例13 计算 3.96(1.08)的近似值．解 把 3.96(1.08)看作是函数(,)yf x y x =在 1.08x =， 3.96y =时的函数值(1.08,3.96)f ．取01x =，04y =，0.08x ∆=，0.04y ∆=-．由于1(,)y x f x y yx -=，(1,4)4x f =，(,)ln y y f x y x x =，(1,4)0y f =，67(1,4)1f =，应用近似公式（7）有3.96(1.08)(1,4)(1,4)0.08(1,4)(0.04) 140.080(0.04) 1.32.x y f f f ≈+⨯+⨯-=+⨯+⨯-=例14 金属圆锥体受热变形，底面半径由30cm 增加到30.1cm ，高由60cm 减少到59.5cm ，求圆锥体体积变化的近似值．解 设圆锥体的底面半径、高和体积依次为r 、h 和V ，则圆锥体体积为213V r h π=． 记r 、h 和V 的增量依次为r ∆、h ∆和V ∆．应用近似公式（7）有221d 33V V V V r h rh r r h r h ππ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂． 将30r =，60h =，0.1r ∆=，0.5h ∆=-代入上式，得圆锥体体积变化的近似值232130600.130(0.5)3330().V cm πππ∆≈⨯⨯⨯+⨯⨯-=- 即圆锥体的体积约减少了330cm π．习题 8-21．求下列函数的偏导数：（1）yz x =； （2）sin x z xe y =； （3）ln()z x x y =+； （4）z =（5）z = （6）ln(z x =+；（7）arctan1x yz xy +=-； （8）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （9）z yu x =； （10）zyu x =．2．设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x ．683．求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 4．求下列函数的二阶偏导数：（1）44224z x y x y =+-； （2）xyz e =； （3）2sin (2)z x y =+； （4）arctan x z y=． 5．验证： （1）11x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=满足方程222z z xy z x y∂∂+=∂∂； （2）ln()x yz e e =+满足方程2222220z z z x y x y ⎛⎫∂∂∂⋅-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭；（3）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂；（4）1u r =满足方程2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂，其中r =6．设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂，32zx y∂∂∂． 7．考察函数221sin ()(00)() 0 ()(00)y x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处的偏导数是否存在．8．求下列函数的全微分： （1）y z x=； （2）yz x =； （3）xyz xe y =+； （4）222ln()u x y z =++． 9．求下列函数在指定点的全微分：（1）xyz e =，在点(2,1)处； （2）arctanyz x=，在点(1,1)处．6910．求函数z xy =，当10x =，8y =，0.2x ∆=，0.1y ∆=-时的全增量和全微分．11．证明函数222(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩， ， 在点(0,0)处连续，且偏导数存在，但在点(0,0)处不可微．12．求下列各式的近似值：（1） 1.98(1.03)； （2．13．金属圆柱体受热变形，半径由20cm 增加到20.02cm ，高由30cm 增长到30.03cm ，求圆柱体体积变化的近似值．§3 多元函数微分法一、复合函数微分法1．复合函数微分法在一元函数中，我们介绍了复合函数的求导法则：如果函数()u x ϕ=在点x 处可导 而()y f u =在对应点u (())u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处可导，且有d d d ()()d d d y y u f u x x u xϕ''=⋅=⋅． 现在将这一微分法则推广到多元复合函数的情形，并按照多元复合函数的不同的复合情形，分三种情况讨论．（1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 设函数()u t ϕ=，()v t ψ=在点t 处可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),()]z f t t ϕψ=在点t 处可导，并且有d d d d d d z z u z v t u t v t∂∂=+∂∂． （1） 证 给t 以增量t ∆，相应地()()u t v t ϕψ==，有增量u ∆和v ∆，从而函数(,)z f u v = 有增量z ∆．因为函数(,)z f u v =在点(,)u v 可微，故有()z z z u v o u vρ∂∂∆=∆+∆+∂∂，其中ρ=()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量．上式两端同时除以t ∆，得()z z u z v o t u t v t tρ∆∂∆∂∆=++∆∂∆∂∆∆，。
