一次函数与几何综合(一)(讲义及答案)-最新教学文档

讲义主题：一次函数与代数和几何的综合一：课前纠错与课前回顾 1、作业检查与知识回顾 2、错题分析讲解 （1） （2） （3） ···二、课程内容讲解与课堂练习 题模一：与方程综合例1.1.1已知函数11y k x b =+与22y k x b =+的图象如图所示，则方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是_________例1.1.2如图，直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=mx+n 相交于点P （1，b ）．（1）求b 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）直线l 3：y=nx+m 是否也经过点P ？请说明理由．【讲透例题】 题模一：与方程综合 例1.1.1 【答案】()2,1【解析】该题考查的是一次函数图象问题． 两图象交点即为方程组的解，故是()2,1 例1.1.2【答案】（1）b=2（2）12x y =⎧⎨=⎩（3）经过 【解析】（1）∵（1，b ）在直线y=x+1上， ∴当x=1时，b=1+1=2； （2）方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩； （3）直线y=nx+m 也经过点P ．理由如下： ∵当x=1时，y=nx+m=m+n=2，∴（1，2）满足函数y=nx+m 的解析式，则直线经过点P ．【讲透考点】一．一次函数与一元一次方程的关系直线()0y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程()00kx b k +=≠的解．求直线y kx b =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程0kx b +=，解方程得bx k=-，直线y kx b =+交x 轴于0b k⎛⎫- ⎪⎝⎭，，bk-就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标．二．一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式()0y kx b k =+≠本身就是一个二元一次方程，直线()0y kx b k =+≠上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程()0y kx b k =+≠，因此二元一次方程的解也就有无数个．【相似题练习】随练1.1如图，已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ，根据图象可得方程组221x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是____．随练1.2直线1y x =-与直线25y x =-+的交点坐标是_____________．题模二：与不等式综合例1.2.1如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(),3A m ，则不等式24x ax ≥+的解集为（ ）A ．32x ≥B ．3x ≤C ．32x ≤D ．3x ≥例1.2.2直线y=-2x+m 与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞-1B ．m ＜1C ．-1＜m ＜1D ．-1≤m ≤1例1.2.3已知一次函数y=kx+b ，当0≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围是-2≤y ≤4，则kb 的值为____ A ．12B ．-6C ．-6或-12D ．6或12例1.2.4一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图象都经过点()2,1-． （1）分别求出这两个函数的解析式；（2）在下面的坐标系中分别画出这两个函数的图象； （3）求这两个函数图象与x 轴围成的三角形的面积； （4）直接写出不等式124k x k x ->的解集．【讲透例题】 题模二：与不等式综合 例1.2.1【答案】A【解析】∵点(),3A m 在2y x =的图象上，∴32m =，即32m =．∴点3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．观察图象可知不等式24x ax ≥+的解集为32x ≥．例1.2.2【答案】C 【解析】 联立221y x my x =-+⎧⎨=-⎩，解得1412m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵交点在第四象限，∴104102m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩①②，解不等式①得，m ＞-1， 解不等式②得，m ＜1，所以，m 的取值范围是-1＜m ＜1． 故选C ． 例1.2.3【答案】C 【解析】（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当x=0时，y=-2，当x=2时，y=4， 代入一次函数解析式y=kx+b 得：224b k b =-⎧⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=-⎩， ∴kb=3×（-2）=-6；（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=-2， 代入一次函数解析式y=kx+b 得：422b k b =⎧⎨+=-⎩，解得34k b =-⎧⎨=⎩， ∴kb=-3×4=-12． 所以kb 的值为-6或-12． 故选C ． 例1.2.4【答案】（1）342y x =-；12y x =-（2）见解析（3）43（4）2x >【解析】该题考查的是一次函数．（1）将点()2,1-代入到一次函数和正比例函数中1124k -=⋅- 212k -=⋅解得132k =，212k =-两函数解析式分别为342y x =- 12y x =-（2）（3）一次函数与x 轴交点183x =一次函数与正比例函数交点()()00,2,1x y =-三角形面积为101423x y ⋅⋅= （4）31422x x ->-解得2x >【讲透考点】一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围． 【相似题练习】随练1.3已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式k （x ﹣4）﹣2b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞2D ．x ＜3随练1.4如图，直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B ． （1）求直线AB 的解析式；（2）若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标； （3）根据图象，写出关于x 的不等式24x kx b -≥+的解集．随练1.5把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ） A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜4随练1.6如图，直线y=kx+b 经过点A （-1，-2）和点B （-2，0），直线y=2x 过点A ，则不等式2x ＜kx+b ＜0的解集为（ ）A ．x ＜-2B ．-2＜x ＜-1C ．-2＜x ＜0D ．-1＜x ＜0随练 1.7若一次函数y kx b =＋，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为__________．题模三：与三角形综合例2.1.1学习材料：对于函数y x =，首先化简绝对值得到()()00x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，然后作出函数图象如图4所示，解决问题：若函数23y x =-与y x a =-的图象围成一个平面区域是一个三角形，（1）直接写出实数a 的取值范围________； 求围成的三角形的面积． 例2.1.2已知一次函数31y x =+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，点P 在坐标轴上，若ABP △是等腰三角形，则满足条件的点P 共有_____个，坐标分别是__________． 【讲透例题】 题模一：与三角形综合 例2.1.1【答案】（1）3a <（2）()2233a -【解析】该题考查的是函数的图象与面积问题． （1）根据图象可直接写出实数a 的取值范围为3a <（2）分别联立()23y x a y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩和()23y x a y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得到两交点坐标662,33a a +-⎛⎫⎪⎝⎭和()6,62a a -- 两函数图象与x 轴交点分别为()3,0和(),0a - 所以围成的三角形面积为()()()()()11162662636232223a S a a a a a a -⎛⎫=--⨯----⨯---⨯ ⎪⎝⎭()2233a =-例2.1.2【答案】6个；()230-，30⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()230，)30，()01-，，()03， 【解析】由题意得()3,0A -，()0,1B ，分两种情况来讨论，一种是AB 为等腰三角形的底边，此时作AB 的垂直平分线，与坐标轴交点即为所求，一种是AB 为等腰三角形的腰，故一共可得P 点6个，分别是()230-，30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()230，)30，()01-，，()03， 【讲透考点】 一、面积计算在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积．如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1．如图（1），过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加：1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x =+=⋅-=+=⋅-△△△△△； 2．如图（2），首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积：ABC DAC AEB CBF DEBF S S S S S =---△△△△四边形二、与等腰三角形的综合已知等腰三角形的两个顶点，如何找第三个顶点：如图，已知点A B 、是等腰三角形PAB △的两个顶点，则顶点P 的位置如图虚线所示：然后利用勾股定理或者全等三角形求解即可．【相似题练习】BA随练2.1如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点()0,4C ，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求COM △的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 为何值时COM AOB △≌△，并求出此时M 点的坐标．随练2.3一次函数y=43x+4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在x 轴上取一点，使△ABC 为等腰三角形，则这样的点C 最多有____个．题模四：与四边形综合例2.2.1如图，已知直线l ：y x =，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以11A B 为边作正方形1112A B C A ，过点2A 作x 轴的垂线交直线l 于点2B ，以22A B 为边作正方形A 2B 2C 2A 3，…；则点5A 的坐标为_____________，点C n 的坐标为________________例2.2.2在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．y Cx AM B O例2.2.3已知：直线162y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点： （1）求A 、B 两点的坐标；（2）将该直线沿y 轴向上平移6个单位后的图象经过C （﹣6，a ）、D （6，b ）两点，分别求a 和b 的值；（3）直线y=kx 将四边形ABCD 的面积分成1：2两部分，求k 的值．【讲透例题】 题模二：与四边形综合 例2.2.1【答案】()16,0；()12,2n n -【解析】该题考查的是一次函数找规律．直线y x =，点1A 坐标为()1,0，过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，可知1B 点的坐标为()1,1，以1A 、1B 为边作正方形1112A B C A ，11121A B A A ==，2112OA =+=，点A 2的坐标为()2,0,C 1的坐标为()2,1，这种方法可求得B 2的坐标为()2,2，故点A 3的坐标为()4,0，C 2的坐标为()4,2，此类推便可求出点点A 5的坐标为()16,0，点C n 的坐标为()12,2n n -．故答案为()16,0，()12,2n n -． 例2.2.2【答案】（32，0）; （1，0） 【解析】分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3， ∴OA=OB=3， ∴∠BAO=45°， ∵DE ⊥OA ，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=12OA=32，∴E（32，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=2OF，AF=2EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=22OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．例2.2.3【答案】（1）()12,0A ；()0,6B -（2）3a =-；3b =（3）52-或110- 【解析】该题考查的是一次函数综合． （1）当0x =时，6y =-，则点()0,6B -； 当0y =时，12x =，则点()12,0A ；（2）由题意得直线CD 的解析式为：12y x =， ∴点()6,3C --，即3a =-； ∴点()6,D b ，即3b =；（3）设直线y kx =交线段AB 于点E ，则1362ABO S OA OB ∆=⨯=，1182CBO S CF OB ∆=⨯=，1182ADO S OA DG ∆=⨯=， 即可得72ABCD S =四边形，设△EBO 的面积为s ，则△AEO 的面积为()36s -，四边形COBE 的面积为()18s +，四边形ODAE 的面积为()54s -， ①若12COBE ODAES S =四边形四边形，即181542s s +=-， 解得：6s =，则162E OB x ⨯⨯=，解得：2E x =， 代入直线AB 的解析式，可得5E y =-， ∵点()2,5E -在直线y kx =上， 解得：52k =-； ②若2COBE ODAES S =四边形四边形，则18254ss+=-， 解得：30s =，则1302E OB x ⨯⨯=，解得：10E x =， 代入直线AB 的解析式，可得1E y =-， ∵点()10,1E -在直线y kx =上， 解得：110k =-； 综上：k 的值为52-或110-．【讲透考点】 与四边形综合与四边形综合的题目关键是抓住特殊四边形所独有的特征，确定四边形的所有可能情况，然后根据图形运用全等或者勾股定理解题． 【相似题练习】随练2.2如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()3,0，()0,5． （1）直接写出点B 的坐标；（2）若过点C的直线CD交AB边与点D，且把长方形OABC的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式；（3）设点P沿O-A-B-C的方向运动到点C（但不与点O、C重合），求△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．题模五：动点问题例2.3.1如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A． N处B． P处C． Q处D． M处【讲透例题】题模三：动点问题例2.3.1【答案】C【解析】到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．【讲透考点】动点问题1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4．确定临界位置和情况进行计算．【相似题练习】随练2.4如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0）B．(-12，-12)C．(2，-2)D．(-2，-2)随练2.5如图，点P是菱形ABCD边上一动点，若∠A=60°，AB=4，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是____A ．A 选项B ．B 选项C ．C 选项D ．D 选项随练2.6已知直线12y x b =+经过点()5,3A ，且与y 轴交于点B ，若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，C 点坐标是_____三、课后练习（写出各题的主要解答过程。

专题04一次函数与几何综合班级：________________姓名：________________类型一、角度问题例．如图1，已知函数122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 与点A 关于y 轴对称．(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线AB 于点P ，交直线BC 于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标；②连接BM ，如图2，若BMP BAC ∠=∠，求点P的坐标．类型二、三角形全等问题例．在平面直角坐标系内，先将直线134y x =--向上平移3个单位长度，然后再向右平移8个单位长度，得到的直线L 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)在y 轴上有一点()0,8C ，在x 轴上有一动点D ，它从A 点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，求COD △的面积S 与点D 的移动时间t 之间函数关系式；(3)当t 为何值时COD AOB △△≌?并求此时D 点的坐标．例．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点()2,C m 为直线2y x =+上一点，直线12y x b =-+过点C ．(1)求m 和b 的值；(2)直线12y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，设ACP △的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；②是否存在t 的值，使ACP △为等腰三角形？若存在，求出t 的值：若不存在，请说明理由．例．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(),4A m ，与x 轴交于点()4,0B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =___________，m =___________，k =___________；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；②若DEF 为直角三角形，求点D 的坐标．类型五、等腰直角三角形存在性问题例．如图1，直线AB 的解析式为3y kx =+，D 点坐标为()40，，点O 关于直线AB 的对称点C 在直线AD 上．(1)求直线AB 的解析式；(2)如图2，在x 轴上是否存在点F ，使2ABF ABC S S = ，若存在求出F 点坐标，若不存在，请说明理由；(3)点P 是直线AB 上方第一象限内的动点．如图3，当ABP 为等腰直角三角形时，直接写出点P 的坐标．。

一次函数与几何综合（一）（讲义及答案）-最新教学文档一次函数与几何综合（一）（讲义）课前预习1. 小明认为，在一次函数y=kx+b 中，x 每增加 1，kx+b 就增加了k，y 也就增加了k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x 每增加1 个单位长度，y 增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x 从1 变到 2 时，y 的值由3 变到 5，即x 每增加 1 个单位长度，y 就增加 2 个单位长度，因此k 的值就是 2．再结合b 为函数图象与y 轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法．请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式．知识点睛1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为，BM 即为，则k = AM．BM②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．2. 设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1l2；②若k1·k2= ，则直线l1l2．3. 一次函数与几何综合解题思路坐标一次函数几何图形①要求坐标，；②要求函数表达式，；③要研究几何图形，．3 = 3精讲精练1. 如图，点 B ，C 分别在直线 y =2x 和 y =kx 上，A ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 A BCD 是正方形，则 k 的值为．第 1 题图第 2 题图2. 如图，点 A ，B 分别在直线 y =kx 和 y =-4x 上，C ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 A BCD 是长方形，且 A B :AD =3:2，则 k 的值为．3. 如图，已知直线 l ： y = - 3 x + 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴 3交于点 B ，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 A C 的表达式为．第 3 题图第 4 题图4.已知点 A 的坐标为(5，0)，直线 y =x +b （b >0）与 y 轴交于点B ，连接 A B ，∠α=75°，则 b 的值为．5.如图，△OA B 是边长为2 的等边三角形，过点A 的直线y=-x+m与x轴交于点C，则点C的坐标为．6.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为( -，0)，直线P Q 的斜率为，则将直线P Q 绕点P逆时针旋转90°所得直线的表达式为．7.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，OA=m，OB=n，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD，CD 所在直线l2 与直线l1 交于点E，则l1l2；若直线l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则k1·k2= ．第7题图第8题图8.如图，直线y =-4 x + 8 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，线段3AB 的垂直平分线交x 轴于点C，交AB 于点D，则直线CD 的表达式为．9.如图，在平面直角坐标系xOy 中放入一张长方形纸片ABCO，点D 在AB 边上，将纸片沿CD 翻折后，点B 恰好落在x 轴上的点B′处．若OC=9，OC=3，则折痕CD 所在直线的解CB 5析式为．第9题图第10 题图10.如图，直线y =-3x +2 3 与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，D 是y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，则直线CD 的解析式为11.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A' 的坐标为；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m，n)，则它关于直线l 的对称点P′的坐标为；应用：若已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q，使点Q到B，C 两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为．12. 如图，已知直线 l 1： y = 2 x + 8 与直线 l 2：y =-2x +16 相交于点 3 3C ，直线 l 1，l 2 与 x 轴分别交于点 A ，B ，长方形D EFG 的顶点 D ，E 分别在 l 1，l 2 上，顶点F ，G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合，则 S 长方形DEFG : S △ A BC = ．【参考答案】课前预习1. 小明的说法正确，验证过程略y = 3x - 2 ，y=-2x + 2知识点睛1. 竖直高度，水平宽度2. ①∥；②-1，⊥3. ①利用函数表达式或线段长转坐标②待定系数法或k，b 的几何意义③坐标转线段长或k，b 的几何意义精讲精练1.232.453. y =-4.3x + 35. (1+ ，0)6. y = 3x+137. ⊥，-18. y =3x +7 4 49. y =-1x + 9 310. y = 3x - 2311. (1，3)；(n，m)；( -13 ，13) 5 512. 8:9。

一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。

在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。

函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。

数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。

在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。

当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。

当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。

当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。

讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。

当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。

另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。

最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。

题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。

要求求出AC的解析式。

的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。

在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。

2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。

我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。

学生做题前请先回答以下问题问题1：若一次函数表达式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），k是______，表示___________，可以用几何中的坡度来解释.坡面的____________与____________的比叫坡度或坡比.问题2：b表示____________________________.问题3：一次函数与几何综合解题思路中，求直线表达式的思路有哪些？一次函数与几何综合（一）（K，b的几何意义）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义2.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，，则点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义3.如图，直线AP的解析式为，且点P的坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标是( )A.（5，0）B.（6，0）C.（7，0）D.（8，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义4.如图，已知一条直线经过A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向左平移，与x轴、y 轴分别交于点C，点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转5.已知点，B（0，0），，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE的函数表达式是( )A. B.y=x-2C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转6.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，则直线CD的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转7.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD：AD=5：3，CD=，把△OCD 沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重合，则CD所在直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转8.如图，在平面直角坐标系中放入一张长方形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：做完本套试题，在求解一次函数表达式的时候你有什么感触？简单列举一下！。

学生做题前请先回答以下问题问题1：若两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为_____．问题2：一次函数与几何综合解题思路：①要求坐标，__________________________________；②要求函数表达式，__________________________________；③要研究几何图形，__________________________________．一次函数与几何综合（一）（函数、坐标、几何三通道）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.一次函数y=ax+2和y=3x-b的图象关于直线y=x对称，则( )A.，b=-6B.，b=6C.a=3，b=6D.a=3，b=-6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合2.如图，点A的坐标为(-1，0)，点B在直线y=x-3上运动，则线段AB最短为( )A. B.4 C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义3.已知，如图，在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(8，0)，C(0，8)，E为△ABC中AC边上一动点(不和A，C重合)，以E为一顶点作长方形EFGH，使G，H在x轴上，F在BC上，EF交y轴于D点．若长方形EFGH为正方形，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合4.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(-6，4)，E为AB的中点，过点D(-8，0)和点E的直线分别与BC，y轴交于点F，G．函数y=mx-2的图象经过点F且与x轴交于点P，交y轴于点Q，则点F 的坐标和m值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合5.如图，已知直线与直线相交于点F，分别交x轴于点E，G，长方形ABCD顶点C，D分别在直线上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G 重合，则长方形ABCD的面积为( )A.12B.18C.24D.32答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转6.如图，直线分别与x轴、y轴交于P，两点，直线经过点P 且与y轴交于点，过点作平行于x轴的直线交于点，再过点作平行于y轴的直线交于点，…，依此规律作下去，则的长为( )A.8B.10C.16D.32答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b分别交x轴、y轴于A，B两点，在x轴上有一个动点P(在A点的右侧)，连接PB，并作等腰Rt△BPQ，其中∠BPQ=90°，连接QA并延长交y轴于K点．若点A(6，0)，则点K的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转。

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－k=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。

【例1】 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。

【考点】一次函数与几何综合，坐标与面积 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】【解析】由题意，∵20A （，），AC x ⊥轴 ∴将2x =分别代入3y x y x ==、得，()()2226B C ，，， ∴624BC =-=∴1142422OBC S BC OA ∆=⋅⋅=⨯⨯=【答案】4【例2】 求一次函数32y x =+的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【考点】一次函数与几何综合，坐标与面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】在函数32y x =+中，令0x =，则2y =，因此图象交y 轴于点(0,2)例题精讲一次函数与几何综合令0y =，则320x +=，解得23x =-，因此图象交x 轴于点2(,0)3-∴函数32y x =+与两坐标轴围成的三角形面积1222233S ∆=⨯⨯=【答案】23【例3】 已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式。

【考点】一次函数与几何综合，坐标与面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】由题意，得(30)A -，，(03)B ，设直线l 的解析式为k y x =，设(,3)C m m +∵直线l 把AOB △的面积分为2:1的两部分 ∴AOC AOB S :S 1:32:3∆∆=或当AOC AOB S :S 1:3∆∆=时，即AOC AOB 11S :S 3(m 3):(33)(m 3):31:322∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴2m =-∴C -21（，），12k =-，12k =-，此时直线l 的解析式为12y x =- 当AOC AOB S :S 2:3∆∆=时，即AOC AOB 11S :S 3(m 3):(33)(m 3):32:322∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴1m =-∴C -12（，），2k =-，2k =-，此时直线l 的解析式为2y x =- ∴直线l 的解析式为1-2y x =或2y x =-【答案】12y x =-或2y x =-【例4】 如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为12345，，，，．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =，()1y a x =+，()2y a x =+相交，其中0a >，则图中阴影部分的面积是_________．xx【考点】一次函数与几何综合，坐标与面积【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009浙江省绍兴市中考 【答案】12.5【例5】 已知正比例函数y x =。

知识总结
经典例题1
2
如图，在平面直角坐标系中，
D.
题型：一次函数与动点问题
3
如图，在直角坐标系中有线段轴的距离分别为和，点到
的周长最短时，则这个值
D. 1
如图，点
2
在直角坐标系中，点
的最小值，
1
在直角坐标系中，有点
函数
>平面直角坐标系>坐标系综合>题型：坐标系中的平移
在平面直角坐标系中，
两点的坐标分别为2若点的坐标为，当
时，(1)若点
的坐标分别为
、
，则当
(2)(1)(2)
如图，过点作关于轴的对称点，连接
则
与轴的交点即为点的位置，
∵点的坐标为，∴点的坐标为，
设直线
的解析式为，则
，
解得，即直线
的解析式为
，
∵点的坐标为，且点在直线
∴
．
(1)
知识总结
经典例题
1
在平面直角坐标系中，已知
2
已知直线：
1
如图，2
已知直线
1
在直角坐标系中点
2
在平面直角坐标系中，点
题型：坐标与距离
D.
交轴于，交轴于，连接
的值最小，根据对称的性质，，
，，，
，
．
所在的直线为轴、轴，建立如图所示
函数>一次函数>一次函数基础>题型：一次函数图象与性质平面直角坐标系中，点的坐标是，点在直线上，且
题型：一次函数与动点问题
经过原点，与线段交于点，且把
点的坐标．
1
在平面直角坐标系中有两点
2
如图，已知。

一次函数与几何综合(一)标模块一一次函数与线段长例1(2017江岸区八下期末)如图，直线l: y=2x+4.(1)①直接写出直线l关于y轴对称的直线l i的解析式：；②直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线12的解析式： ;(2)在(1)的基础上，点M是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交直线l i于点Q、交直线l2于点P,若PM = 2PQ,求M 点的坐标.例2(2017斫口区八下期末)图1中两条经过原点O的射线组成的图形E表示y关于x的函数关系式.(1)直接写出图形E表示的函数解析式；(2)如图2,过直线y=3上一点P(m, 3)作x轴的垂线交图形E于点C,交直线y=- x- 1于点D.①若m>0,试比较PC与PD的大小，并证明你的结论；②若CD <3,求m的取值范围.图图2挑战压轴题(2017黄陂区八下期末第24题)如图，直线l i经过点P(2, 2),分别交x轴、y轴于点A(4, 0)、B.(1)求直线l i的解析式；(2)点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线l2：y=mx+ n交线段AB于点D.①如图1,当点D恰与点P重合时，点Q(t, 0)为x轴上一动点，过点Q作QM，x轴，分别交直线11、12于点M、N,若m= - , MN = 2MQ,求t 的值；2②如图2,若BC=CD,试判断m、n之间的数量关系并说明理由.模块二一次函数与特殊三角形知识导航1.等腰直角三角形一三垂直全等如图，△ ABC中，AB = AC, / BAC=90°,可构造如图所示的三垂直全等模型，“△ ACD^A BAE"，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算.若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标.2.等腰三角形的存在性一两圆一中垂已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为等腰三角形，则分下列情况：(1)若CA = CB,则点C在AB中垂线上(不与AB共线).(2)若AC = AB,则点C在以A为圆心，AB为半径的圆上(不与点B重合).(3)若BA=BC,则点C在以B为圆心，AB为半径的圆上(不与点A重合).3.直角三角形的存在性一两垂一圆已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为直角三角形，则分下列情况：(1)若/ CAB = 90°,则点C在过点A且垂直AB的直线上(不与点A重合).(2)若/ CBA = 90°,则点C在过点B且垂直AB的直线上(不与点B重合).(3)若/ ACB = 90°,则点C在以AB为直径的圆上(不与点A、B重合).八下会把特殊三角形的顶点放在一次函数背景下讨论、计算.例3如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为(4, 3),过点A的直线AD 的解析式为y=2x+3,点P是直线AD上一动点，点Q是线段BC(包才B, C两点)上一动点.若AP = AQ 且AP^AQ,求点P的坐标及直线AQ的解析式；练习如图1,在平面直角坐标系中，A(a, 0), B(0, b),且b= "a -4+”5 +16a 2(1)求直线AB的解析式；(2)如图2,若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且^ ABM是等腰直角三角形，求m.图1 图2例4在平面直角坐标系中，直线y=kx— k经过一定点P.(1)直接写出P点坐标；(2)在y轴上有一点A(0, 2),当k = 2时，将直线y=kx—k向上平移2个单位得到直线1,在直线l上找点C,使得△ ACO为等腰三角形，求点C的坐标.练习3 ........................................... 如图，在平面直角坐标中，一次函数y= — x+ 2的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，在x轴上是3否存在点P,使^ PAB为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.3 ............... ............................ 例5如图，在平面直角坐标系中，直线y=- ^r-x+ 6与x轴、y轴分别交于B、A点，已知点C从点A出3发沿AO以每秒1cm的速度向点O运动，同时点D从点B出发沿BA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DELOB于点E.连接DC,当t为何值时，△ DEC为直角三角形？模块三一次函数与特殊四边形例61如图，已知函数y=- -x+ b的图象与x轴、y轴分别交于点A, B,与函数y=x的图象交于点E,点E的3横坐标为3.⑴求点A的坐标.1(2)在x轴上有一点F(a, 0),过点F作x轴的垂线，分别交函数y=—-x+b和y=x的图象于点C、D.若3以点B, O, C, D为顶点的四边形为平行四边形，求a的值.练习如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,线段AB的中点E的坐标为(2, 1).⑴求k、b的值；(2)P为直线AB上一点，PC^x轴于点C, PD^y轴于点D,若四边形PCOD为正方形，求点P的坐标.例7(2017东湖高新区八下期末)平面直角坐标系中，直线y=ax+b与x轴分别交于点B、C,且a、b满足a= *6-b + J b — 6 +3,不论k为何值，直线l: y=kx—2k都经过x轴上一定点A.(1)a =, b =, 点A 的坐标为;(2)如图1,当k= 1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B、C对应的点M、N恰好在直线l和直线y= 2x—4上.请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2,当k的取值发生变化时，直线l: y=kx—2k绕着点A旋转，当它与直线y=ax+b相交的夹角为450时，求出相应的k的值.图1 图2拓展1平面直角坐标系中，直线li： y= —/x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线12：y=kx+2k与x轴父于点C,与直线l i交于点P.(1)当k=1时，求点P的坐标；(2)如图1,点D为PA的中点，过点D作DE^x轴于点巳交直线12于点F,若DF=2DE,求k的值.(3)如图2,点P在第二象限内，PM^x轴于M,以PM为边向左作正方形PMNQ, NQ的延长线交直线11 于点R,若PR= PC,求点P的坐标.课后作业A基础巩固1.已知点A的坐标是(2, 2),若点P在x轴上，且^ APO是等腰三角形，则点P的坐标为 .1 2.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t(t>0),使它与直线y=x和直线y=-2x+2分别交于点D、E(E在D的上方)，且4 PDE为等腰直角三角形.若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点A, B,且A(—4, 0), &AOB =4.(1)求直线y= kx+ b的解析式；(2)若点P为直线y=kx+b上一点，PC^x轴于C, PD^y轴于D,若四边形PCOD为正方形，求点P坐标.4 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- — x+ 6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，已知点C 从点A 出 3发沿AO 以每秒1cm 的速度向点O 运动，同时点D 从点B 出发沿BA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运 动时间为t 秒(0<t<6),过点D 作DELOB 于点E.(1)①直接写出/ ABO 的度数为②证明在C 、D 运动过程中，四边形 ACED 是平行四边形; 5 . (2017洪山区八下期末)3y=— —x+b 分别与x 轴、y 轴父于点 A 、B,且点A 坐标为(8, 0),点 4C 为AB 的中点.⑴写出点B 的坐标(2)如图1,点P 为直线AB 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，与直线 OC 交于点Q,设点P 的横坐标 为m,线段PQ 的长度为d,求d 与m 的函数解析式(请直接写出自变量 m 的取值范围)；数学故事为什么2187是个幸运的数字尽管不符合常规理解的“幸运”含义，2187这个数字仍有一系列让人吃惊的特征.在纪念马丁 加德纳 100周年诞辰之际，我们来回顾他在 1997年为《数学信使》(MathematicalIntelligencer)写的一篇文章.在这篇文章中，他问他想象中的好友欧文约书亚矩阵博士(Dr. Irving JoshuaMatrix)关于数字2187的问题.欧文 约书亚 矩阵博士是“世界最著名的数字命理学家”，也是在《科学美国人》(Scientific American )"数学游戏”(Mathematical Games)专栏中经常出现的角色；而 2187,则是加德 纳儿时在美国俄克拉荷马州(Okla)塔尔萨(Tulsa)老家的门牌号码.矩阵博士立刻列举了一系列关于 2187的事实，这让加德纳感到非常兴奋： 2187,是3的7次方，它的.三进制写法是 10000000; 9999减去2187等于7812,恰好与其顺序相反；21乘以87等于1827, 27乘以81又刚好等于2187.“每个数字都有数不 尽的独特的特征，”矩阵博士点评说，同时补充道， 2187也是一个幸运数.幸运数是素数的远亲，素数是只能被1和它本身整除的正整数.尽管这两者在很多方面都不同，但它们都可以利用被称为“筛法”的方法得到.希腊数学家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes)设计了一种在正整数序列中寻找素数的方法一一著名的埃拉托斯特尼筛法：首先删除所有除2以外2的倍数，然后删除3的倍数，然后是5, 7, 11等等.这样不断删除到无穷大，就可以得到所有素数.波兰裔美国数学家斯塔尼斯拉夫 乌拉姆(Stanislaw Ulam)在20世纪50年代中期开发出了另一种筛法：同样是从正整数序列开始，先将数列 中的第 2n 个数 （偶数 ）删除，只留下奇数；这样剩下的数列中第二项是 3，因此将新数列的第 3n 个数删除；(2)当 t = 时，四边形ACED 是菱形.如图，在平面直角坐标系中，直线(3)如图2,当点P 在线段 AB 上，在第一象限内有一点 N,使得四边形 OBNP 为菱形，求出N 点坐标.B 综合训练再剩下的新数列中的第三项为7，因此将新数列的第7n 个数删除；再剩下的新数列中的第四项为9，因此将新数列的第9n 个数删除；这样继续下去，最终有一些数永远地逃离了被删除的命运而留下来，这就是为什么乌拉姆把它们称作“幸运数”．幸运数和素数有一些由奇妙的筛法得到的数字的共同特征．比如说，在小于100 的数中，有25 个素数和23 个幸运数，其中有八对孪生素数（之差为 2 的两个素数）以及七对孪生幸运数．关于素数，尚未解决的最有名的问题之一就是哥德巴赫猜想——任一大于2 的偶数，都可表示成两个素数之和．同样另一个未解决的问题是一个相似的命题——任一大于2 的偶数，都可表示成两个幸运数之和．关于2187，还有另一个有趣的事实——如下所示，等号右边的数字之和等于左边与2187 相加的排列不同的数字之和．2187 + 1234=34212187+12345= 145322187 + 123456= 1256432187 + 1234567= 12367542187+ 12345678=123478652187+ 123456789= 123458976。