高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修

1.2.2 组合问题导学一、组合概念的理解与应用活动与探究1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？迁移与应用1．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为__________．2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．二、与组合数有关的计算与证明活动与探究21．计算：(1)3C 38－2C 25＋C 88；(2)C 98100＋C 199200；(3)C 16＋C 26＋C 37．2．证明：m C m n ＝n C m －1n －1．迁移与应用1．计算：C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝__________．2．若C x 15＝C 2x －615，则x ＝__________． 3．证明下列各等式：(1)C mn ＝n mC m －1n －1；(2)C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1；(3)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2＋…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：C m n ＝C n －m n 主要应用于简化运算．性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．三、简单组合问题活动与探究3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？迁移与应用1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．四、有限制条件的组合问题活动与探究41．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )A ．4种B ．36种C ．40种D ．92种迁移与应用1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．7202．(2013辽宁大连模拟)有8名男生和5名女生，从中任选6人． (1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？ (3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配． 答案：课前·预习导学 【预习导引】 1．组合预习交流1 提示：联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．2．(1)组合数 C mn (2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ n ！m ！(n －m )！预习交流2 (1)提示：C (2)提示：D3．C n －m n C m n ＋C m －1n预习交流3 提示：(1)C 220 (2)C 39 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C 45＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A 25＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C 49＝126种．迁移与应用 1．20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．2．解：单循环赛，指双方只赛一场， 因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国； 中国——朝鲜；日本——韩国； 日本——朝鲜；韩国——朝鲜．活动与探究2 1．思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．解：(1)3C 38－2C 25＋C 88＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149．(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150．(3)C 16＋C 26＋C 37＝C 27＋C 37＝C 38＝8×7×63×2×1＝56．2．思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．证明：左边＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n (n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1＝右边， ∴m C m n ＝n C m －1n －1．迁移与应用 1．165 解析：∵C 22＝C 33＝1，∴原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 311＝11×10×93×2＝165．2．6或7 解析：由已知x ＝2x －6或x ＋2x －6＝15，∴x ＝6或x ＝7．3．证明：(1)右边＝n m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！[m ·(m －1)！](n －m )！＝n ！m ！(n －m )！ ＝C mn ＝左边， ∴原式成立．(2)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！ ＝C mn ＝左边， ∴原式成立．(3)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1 ＝C 3n ＋4＋C 4n ＋4＋…＋C m －1n ＋m －1 …＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．活动与探究3 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45．(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21种．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．迁移与应用 1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C 26＝15种取法，另一类是2个黑球有C 24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．活动与探究4 1．思路分析：两类选修课选3门，依据A 类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．A 解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C 13·C 24＋C 23·C 14＝30种选法．2．思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C 33·C 34＝4种选法．第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C 12(C 23C 34＋C 33C 24)＝2(3×4＋6)＝36种选法． ∴共有40种选法．迁移与应用 1．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C 12C 35A 44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C 25(A 44－A 22A 33)＝10(24－12)＝120种选法． ∴共有480＋120＝600种选法．2．解：(1)是无限制条件的组合问题．适合题意的选法有C 613＝1 716种． (2)是有限制条件的组合问题．第1步，选出女生，有C 35种；第2步，选出男生，有C 38种．由分步乘法计数原理，适合题意的选法有C 35·C 38＝560种． (3)是有限制条件的组合问题．至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况．第1类没有女生，有C 68种；第2类1名女生，有C 58·C 15种；第3类2名女生，有C 48·C 25种；第4类3名女生，有C 38·C 35种． 由分类加法计数原理，适合题意的选法共有 C 68＋C 58·C 15＋C 48·C 25＋C 38·C 35＝1 568种． (4)是有限制条件的组合与排列问题．第1步，选出适合题意的6名学生，有C 25·C 48种；第2步，给这6名学生安排6种不同的工作，有A 66种．由分步乘法计数原理，适合题意的分工方法共有C 25·C 48·A 66＝504 000种． (5)是有限制条件的组合问题． 用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法．而由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，C 613－C 68＝1 716－28＝1 688种．当堂检测1．2973100100101(C C )A +÷的值为( )A ．6B ．101C ．16 D ．1101答案：C 解析：329732333331011001001011001001011011011013333A 11(C C )A(CC )ACAA A A 6÷=+÷=÷=÷==+． 2．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅ C ．510C D ．3264A A ⋅答案：A 解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有3264C C ⋅种． 3．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．答案：34 解析：(间接法)共有4474C C 34-=种不同的选法．4．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有__________种．答案：15 解析：当选用信息量为4的网线时有25C 种；当选用信息量为3的网线时有112222(C C +C )种，共有21125222C +C C C 15+=种．5．计算： (1)383321C C nnnn -++；解：由题意知，原式中的自然数n 必须满足不等式组3380,2130, n n n n ≥-≥⎧⎨+≥≥⎩①②由①，得380,338,n n n -≥⎧⎨≥-⎩解此不等式组得192≤n ≤38；由②，得30,213,n n n ≥⎧⎨+≥⎩解此不等式组得0≤n ≤212．又∵n ∈N *，∴n ＝10，38328303213031C +C C +C 466n n n n -+∴==．(2)33132171312112C +C +C C nn n nn n n n ---++++…+．答案：由原式知，n 需满足0≤3n ≤13＋n 且0≤17－n ≤2n ，即满足不等式组*0313,0172,,n n n n n ⎧≤≤+⎪≤-≤⎨⎪∈⎩N即130,21717,3*.n n n ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎪⎩N ∴可得n ＝6，∴原式＝1817161111111918171219181712C +C +C C C +C +C C 124+=+=…+…+．。

第一章 1.2 1.2。

1 第2课时1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ A ）A．36 B．30C．40 D．60[解析］奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4。

故奇数有错误!A 错误!＝36个．2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ D ）A．144 B．120C．72 D．24［解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A错误!＝24种不同坐法,故选D．3．（2020·江西省樟树中学）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（ D ）A．12 B．24C．36 D．48[解析］设6种产品分别为a，b,c，d,e，f，画出图形如下图所示,根据题意,安全的分组方法有{ab，cf，de}，｛ab，cd,ef｝,｛ac，be,df｝,{ac，bf，de｝,｛ad，ef，bc},｛ad,eb，cf｝，｛ae，dc，bf}，{ae，df,bc}，共8种,每一种分组方法安排到3个仓库，有A3，3种方法,故总的方法种数有8×A错误!＝48种，故选D．4．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1，2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析］可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列,共有A错误!种排法；第二步：再将4，6插空排列，共有2A错误!种排法;第三步：将1，2放入3，5，4，6形成的空中，共有A错误!种排法；由分步乘法计数原理得,共有A222A错误!A错误!＝40种不同的排法．。

第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式Am n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！－！(n，m∈N*，m≤n)An n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]不同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.](1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A13种，其余6人全排列，有A66种．由分步乘法计数原理得A13A66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A16种，余下的6个位置全排列有A66种，但应剔除乙在最右边的排法数A15A55种．则符合条件的排法共有A16A66－A15A55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A55种排法，共有A33A55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A33A44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A77＝N ×A 3，∴N ＝A77A33＝840种．(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A33A44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解](1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A7＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A7种；共有：A88＋7×7×A7＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A4·A5＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A5＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A6＝345 600种．1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

1.2.2组合与组合数公式教学目标：组合、组合数的概念；理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．教学过程： 1、复习、引入：1．复习排列的有关内容： 2．提出问题：1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引出课题：组合．．问题． 2、新授：组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 练习 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：问题 2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题， 关键是看是否与顺序有关．）那么又如何计算m n C 呢？组合数公式的推导：⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =．⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C mn -= ),,(n m N m n ≤∈*且巩固练习：1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C2．求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C 3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值．例题讲评例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？学生练习：（课本99练习）课堂小结：解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．课后作业：课后反思：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。