二次根式知识点归纳及题型总结

二次根式知识点归纳和题型归类

一、知识框图

二、知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质：

1.；

2.；

3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5.商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广：

2．二次根式的加减运算先化简，再运算，

3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x

2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）

（2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ，

则x 的取值范围是 （8）若1

313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．

4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x

6．设m 、n 满足3

29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442

-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是

10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<

二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()

0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0

2.．已知a

3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4

4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=

5. 当-3

6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -

7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a

8、化简2

1)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2

三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以及混合运算法则）

（一）化简与求值

1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2

255m （4）224y x x +

2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，10

1； （2）,533c b a 323c b a ，4c

ab ，a bc a 3.计算下列各题： （1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅⋅ （4）24

182 （5）－545321÷ （6）)(23522c ab c b a -÷

4.计算（1）2505

1122183133++--

5．已知10182

22=++x x x x ，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 6. 211+＋321+＋431+＋ (100991)

（二）先化简，后求值：

1. 直接代入法：已知),57(21+=

x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x x y +

2.变形代入法：

（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值。 ②.已知:x =2323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值

（2）变结论：

①设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。

③.已知12,12+=-=y x ，求xy y x x y y x 33

++++ 。

⑤已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x y y

x +的值 （2）求y

x y x +-的值

五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题

1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5

2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3

3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值

4.若a ，b 为有理数，且8+18+8

1=a+b 2，则b a = .

六．二次根式的比较大小（1）

322005

1和 （2）－5566-和 （3）13151517--和 （4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >>

七．实数范围内因式分解： 1. 9x 2－5y 2 2. 4x 4－4x 2＋1 3. x 4+x 2－6

19. 已知：1110a a +

=+，求221a a

+的值。 20. 已知：,x y 为实数，且113y

x x -+-+，化简：23816y y y ---+。

21. 已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。