广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二上学期数学测试题4

高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。

2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．103.已知数列,则是它的第（ ）项.A.19B.20C.21D.224.已知ABC ∆中，05,3,120a b C ===，则sin A 的值为（ ） A 、1435 B 、1435- C 、1433 D 、1433- 5.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ,则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±236.设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>8.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 9.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3210.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy( )A ．有最大值eB ．有最小值e 12.在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题： ①ππ64B <<；②a b∈；③22a b bc =+.其中正确的个数是 （ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-+=，则角C 的大小为 ．14.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且c o s c o s c Cb B-=，则B 的大小为_________． 16.设,x y R ∈，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是_________. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分） 17.（本题10分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.18.（本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19.（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+- （1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．20.（本题12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n a }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的最小正整数n ．21.（本题12分）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积为B ac S cos 23=． （1）求角B 的大小（2）已知4c aa c+=,求sinAsinC 的值22.（本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）答案一、选择题1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.A8.C9.D 10.A 11.D 12.C二、填空题13．34π 14.①②④ 15.4π三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 5分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞ 10分 18.【解析】 （1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+ 当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 12分 19.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 5分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 7分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 20.【解析】（1）当1n =时，111121a a a +=⇒=； 当2n ≥时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即112(1)n n a a -+=+（2n ≥），且112a +=，故{}1n a +为等比数列1221n n n n a a +=⇒=-（*n N ∈）. 5分（2）(21)2n n n b n n n =-⋅=⋅-设231222322n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯… ①23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… ②①-②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴1(1)22n n K n +=-⨯+， ∴1(1)(1)222n n n n T n ++=-⨯+-， 21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数8n =. 12分21.【解析】（1）在三角形ABC中B ac S sin 21=,由已知B ac S cos 23=可得B ac B ac cos 23sin 21=∴=∴为三角形内角，B 3tan B 0﹤B ﹤π∴ 3B π= 5分 （2）4cos 2222=+=+=+acB ac b ac c a c a a c ac b B 332=∴=π由正弦定理可得 C A B sin sin 3sin 2= 41sin sin 3=∴=C A B π12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN︒＝()sin 120AM θ︒-．因为MN ＝2,所以AM ＝sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³3sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。

2014-2015学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）不等式4x2﹣4x+1＞0的解集是（）A．{x|x}B．{x|x≠}C．R D．∅2．（5分）设函数f（x）=1﹣e x的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P的切线方程为（）A．y=﹣x+1B．y=x+1C．y=﹣x D．y=x3．（5分）双曲线﹣=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成三角形的周长等于（）A．42B．36C．28D．264．（5分）等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C，则（）A．A+B=C B．A+C=2B C．2A+C=3B D．3A+C=3B 5．（5分）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分条件D．△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac6．（5分）在△ABC中，若cosA=，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．（5分）某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论错误的是（）A．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1DC的距离之和为2，∠CPC1=60°，则点P到直线CC1的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．（5分）一个质量为4kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为s（t）=t+t2，且物体的动能E k=mv2（其中m（说为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5s时的动能为J．明：1J=1kg•（m/s）2）11．（5分）等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记Ⅱn=a1×a2×…×a n（即II n 表示数列{a n}的前n项之积），则Ⅱ9、Ⅱ10、Ⅱ11、Ⅱ12中值为正数的是．12．（5分）已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．13．（5分）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹是，它的方程是．14．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、P 分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且+≥18恒成立，则正实数a的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A和B两个建筑物的距离，在河一侧取C、D两点，如图所示，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得∠BAC=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=ɛ．（1）试求A、C之间的距离及B、C之间的距离．（2）若a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，ɛ=75°，求河对岸建筑物A、B之间的距离？16．（13分）为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．17．（13分）设正项等比数列{a n}，已知a2=2，a3a4a5=29．（1）求首项a1和公比q的值；（2）若数列{b n}满足b n=[lga1+lga2+…lga n﹣1+lg（ka n）]，问是否存在正数k，使数列{b n}为等差数列？若存在，求k的值．若不存在，说明理由．18．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．19．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2014-2015学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）不等式4x2﹣4x+1＞0的解集是（）A．{x|x}B．{x|x≠}C．R D．∅【解答】解：∵不等式4x2﹣4x+1＞0可化为（2x﹣1）2＞0，即2x﹣1≠0，解得x≠，∴原不等式的解集是{x|x≠}．故选：B．2．（5分）设函数f（x）=1﹣e x的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P的切线方程为（）A．y=﹣x+1B．y=x+1C．y=﹣x D．y=x【解答】解：∵函数f（x）=1﹣e x的图象与x轴相交于点P，∴P（0，0），∵f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1，∴曲线在点P的切线方程为y=﹣x．故选：C．3．（5分）双曲线﹣=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成三角形的周长等于（）A．42B．36C．28D．26【解答】解：双曲线﹣=1的a=8，b=6，则c==10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故选：A．4．（5分）等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C，则（）A．A+B=C B．A+C=2B C．2A+C=3B D．3A+C=3B【解答】解：∵等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C，∴A，B﹣A，C﹣B仍然成等差数列，∴2（B﹣A）=C﹣B+A，化为3A+C=3B，故选：D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．∀x∈R，x2＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分条件D．△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac【解答】解：A．取x=0，则x2=0，因此不正确；B．∀x0∈R，x02﹣x0+1=+＞0，因此不正确；C．“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，反之不成立，例如取c=0，因此“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，不正确；D．a2+b2+c2=ab+bc+ac⇔（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0⇔a=b=c⇔△ABC为等边三角形，正确．故选：D．6．（5分）在△ABC中，若cosA=，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理：（1）余弦定理：cosA=（2）把（1）（2）代入cosA=，得到：=化简得：（a+b）（b﹣a）=0∴a=b此△ABC一定是等腰三角形．故选：C．7．（5分）某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论错误的是（）A．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）【解答】解：设M（x，y），则k AM=，k MB=则由题意可得，•=k故y2=k（x2﹣25）若k=﹣1，则可化为y2+x2=25，表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；若k＜﹣1，则可化为，表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；﹣1＜k＜0时，则可化为，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）；k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点），故选：D．8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1DC的距离之和为2，∠CPC1=60°，则点P到直线CC1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：在面BCC1B1内到直线D1C1、DC的距离即为P到点C1，C的距离，故有面BCC1B1内的点P到直线C1、C的距离之和为2，由椭圆的定义即知点P的轨迹是椭圆的一部分．以CC1所在的直线为x轴，线段CC1的中心为坐标原点，建立直角坐标系，则C（﹣1，0），C1（1，0），∴c=1，a=，b=1．设P（x，y），得椭圆的方程为：+y2=1．∵∠CPC 1=60°，∴=1×tan30°=，设点P到直线CC1的距离为h，则=，解得h=，∴点P到直线CC1的距离为．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣3．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z 越小由题意可得，当y=﹣2x+z经过点C时，z最小由，可得A（﹣1，﹣1），此时z=﹣3故答案为：﹣3．10．（5分）一个质量为4kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为s（t）=t+t2，且物体的动能E k=mv2（其中m（说为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5s时的动能为242J．明：1J=1kg•（m/s）2）【解答】解：函数s（t）=t+t2，得导数v=s′（t）=1+2t，则物体开始运动后第5s时的瞬时速度v=s′（5）=1+2×5=11，则此时的动能，E k=mv2=，故答案为：242；11．（5分）等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记Ⅱn=a1×a2×…×a n（即II n 表示数列{a n}的前n项之积），则Ⅱ9、Ⅱ10、Ⅱ11、Ⅱ12中值为正数的是Ⅱ9，Ⅱ12．【解答】解：∵a1=512，公比q=﹣，∴奇数项为正数，偶数项为负数，则Ⅱ9，有5故奇数项，4个偶数项，则Ⅱ9＞0，Ⅱ10，有5故奇数项，5个偶数项，则Ⅱ10＜0，Ⅱ11，有6故奇数项，5个偶数项，则Ⅱ11＜0，Ⅱ12，有6故奇数项，6个偶数项，则Ⅱ12＞0，故答案为：Ⅱ9，Ⅱ1212．（5分）已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是120°．【解答】解：=（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），cos＜，＞===﹣，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°13．（5分）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹是椭圆，它的方程是+=1．【解答】解：依题意知，点M（x，y）到两定点F1（0，﹣3），F2（0，3）的距离之和为定值10＞6，即|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∴点M的轨迹是以F1（0，﹣3），F2（0，3）为焦点，长轴长为10的椭圆，即2a=10，2c=6，焦点在y轴，∴b2=a2﹣c2=25﹣9=16，∴椭圆的方程为：+=1．故答案为：椭圆，+=1．14．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、P 分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且+≥18恒成立，则正实数a的最小值为4．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴V P=××3×2×1=1=+x+y﹣ABC即x+y=，则2x+2y=1+=（+）（2x+2y）=2+2a++≥2+2a+4≥18解得a≥4∴正实数a的最小值为4故答案为：4．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A和B两个建筑物的距离，在河一侧取C、D两点，如图所示，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得∠BAC=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=ɛ．（1）试求A、C之间的距离及B、C之间的距离．（2）若a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，ɛ=75°，求河对岸建筑物A、B之间的距离？【解答】解：（1）在△ADC中，∠ADC=ɛ+γ，∠DAC=180°﹣（β+ɛ+γ），CD=a．由正弦定理，得AC=．…（3分）在△DBC中，∠BDC=γ，∠DBC=180°﹣（α+β+γ），CD=a，．由正弦定理，得BC=…（6分）（2）a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，ɛ=75°时，AC==50，…（8分）BC==50，…（9分）在△ABC中，由余弦定理得AB==25（+），…（10分）．所以，河对岸建筑物A、B的距离为25（+）米．…（13分）16．（13分）为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．【解答】解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=20000，∴广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0）广告的面积当且仅当，即a=200时，取等号，此时b=100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．17．（13分）设正项等比数列{a n}，已知a2=2，a3a4a5=29．（1）求首项a1和公比q的值；（2）若数列{b n}满足b n=[lga1+lga2+…lga n﹣1+lg（ka n）]，问是否存在正数k，使数列{b n}为等差数列？若存在，求k的值．若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵a3a4a5==29，得a4=23=8（a4＞0），∴，q=2．又由a4=a1q3，即8=a1•23，解得a1=1；（2）证明：由（1）知，a n=2n﹣1．b n=[lga1+lga2+…lga n﹣1+lg（ka n）]====，若数列{b n}为等差数列，则==为常数．则lgk=0，k=1．∴存在正数k=1，使数列{b n}为等差数列．18．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．【解答】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F为PA、PB的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．取AO中点M，连OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM 即为所求（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）19．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．【解答】解：（1）因为，所以，（4分）∴b=1，椭圆方程为：（6分）（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x﹣1），代入，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，①，（10分）y1+y2=k（x1+x2﹣2）=设AB的中点为M，则M（），∵|AC|=|BC|∴CM⊥AB即k CM•k AB=﹣1∴∴（1﹣2m）k2=m∴当时，，即存在这样的直线l当，k不存在，即不存在这样的直线l （15分）20．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h （1），+∞），即（0，+∞），∴当a ＞0时，方程（*）总有解． ∴对任意给定的正实数a ，曲线y=F （x ）上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式24410x x -+>的解集是A ．1{|}2x x > B ．1{|}2x x ≠ C ．R D ．∅2．函数()1xf x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为A ．1y e x =-⋅+B ．1y x =-+C ．y x =-D ．y e x =-⋅3．双曲线2216436y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成的三角形的周长等于A ．42B ．36C ．32D ．26 4．等差数列的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 A ．A B C += B ．2A C B += C ．23A C B += D ．33A C B +=5．下列说法正确的是A ．x R ∀∈，20x > B ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．ABC ∆为等边三角形的充要条件是222a b c ab bc ac ++=++6．在ABC ∆中，若sin cos 2sin CA B =，则ABC ∆一定是（ ）． A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为(5,0)-、(5,0)，直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为49-．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为49-”拓展为“斜率之积为常数(0)k k≠”之后，进行了如下图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论错误的是A．0k>时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）B．10k-<<时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）C．1k<-时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）D．0k<时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，正方形11BCC B所在平面内的动点P到直线11,D C DC的距离之和为160CPC∠=︒，则点P到直线1CC的距离为A．B．CD．二、填空题（本大题共6小题，考每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9．实数x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+的最小值为．10．一个质量为4 kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为2()s t t t=+，且物体的动能212kE mv=（其中m为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5 s时的动能为J．（说明：21=1(/)J kg m sg）11．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则9∏、10∏、11∏、12∏中值为正数的是 ．12． 已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB u u u r 与CA u uu r 的夹角θ的度数是_________．13．如果点(,)M x y 在运动的过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，则点M 的轨迹是 ，其标准方程为 ． 14．如图，在三棱锥P ABC -中， PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =，且118ax y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15．（13分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A 和B 两个建筑物的距离，在河一侧取C 、D 两点，如图所示，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得BCA α∠=，ACD β∠=，CDB γ∠=，BDA δ∠=． （1）试求A 、C 之间的距离及B 、C 之间的距离．（2）若50a =米，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒，求河对岸建筑物A 、B 之间的距离？ 16．（13分）迎新春，某公司要设计如右图所示的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定每个矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm ），能使整个矩形广告面积最小．MCAP17．（13分）设正项等比数列{}n a ，已知22a =，93452a a a =．（1）求首项1a 和公比q 的值；（2）若数列{}n b 满足()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦L ，问是否存在正数k ，使{}n b 成等差数列？若存在，求k 的值．若不存在，说明理由．18．（13分）利用向量方法解决下列问题： 已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．19．（14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的21．（1）求椭圆的方程；（2）已知点(,0)C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得||||AC BC =，并说明理由．20．（14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （1）若)(x f 在1[,1)2x ∈-上的最大值为83，求实数b 的值；（2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案一、选择题： BCAD DCDA 二、填空题：9．–3； 10．242； 11．9∏、12∏； 12．120°；13．椭圆；22+12516y x =（前空2分，后空3分）； 14．4三、解答题：15．解：（1）在ADC ∆中，ADC δγ∠=+，180()DAC βδγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin()sin()sin[180()]sin()a a AC δγδγβδγβδγ++==︒-++++． ……（3分）在DBC ∆中，BDC γ∠=，180()DBC αβγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin sin sin[180()]sin()a a BC γγαβγαβγ==︒-++++． ……（6分）（2）50a =，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒时，50sin(7545)50sin120=sin(307545)sin150AC ⨯︒+︒⨯︒=︒+︒+︒︒， ……（8分）50sin 4550sin 45=sin(75+3045)sin150BC ⨯︒⨯︒=︒︒+︒︒ ……（9分）在ABC ∆中，由余弦定理得AB = ……（10分）25=．所以，河对岸建筑物A 、B的距离为25米． ……（13分）16．解：设矩形栏目的高为cm a ，宽为cm b ，则20000ab =，20000b a ∴=．……（2分）广告的高为20a +，宽为330b +（其中0,0a b >>）广告的面积(20)(330)S a b =++ ……（5分）30(2)606004000030()606003060600120006060072600a b a a=++=++≥⨯=+= ……（7分）……（10分）当且仅当40000a a =，即200a =时，取等号，此时100b =． ……（12分） 故当每个栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使广告的面积最小．……（13分）17．解：（1）Q 39334544()228a a a a a ==⇒==， ……（3分） ∴24242a q q a ==⇒=±，Q 该数列是一个正项等比数列，∴取2q =， ……（5分）由此，解得11a =． ……（6分） （2）假设存在正数k ，使{}n b 成等差数列．由()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦L =()121lg n ka a a n L=(1)211lg 2n n n ka n -⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=()1lg 1a n +- ……（9分）∴1n n b b +-=1lg lg a n +()1[lg 1a n -+-=lg ……（11分） 则{}n b成等差数列的充要条件为lg 0=对任何整数n都成立，即=，得1k =∴ 若{}n b 成等差数列，则1k =． ……（13分）18．（1）证明：过P 作P O ⊥AD 于O ，∵ABCD PAD 平面平面⊥， 且平面PAD I 平面ABCD AD =，于是PO ⊥平面ABCD ，连OG ， 以OG ，OD ，OP 为x 、y 、z 轴建立空间坐标系， ……（2分） ∵PA ＝PD 4==AD ，∴2,32===OA OD OP ， 得)32,0,0(),0,2,0(),0,2,4(),0,2,4(),0,2,0(P D C B A --，)0,0,4(),3,1,2(),3,1,0(G F E --， ……（4分）故(2,0,0)EF =u u u r ，(0,4,0)AD =u u u r ，(0,2,3)PD =-u u u r，∵0,0=⋅=⋅PD EF AD EF ，EF AD ∴⊥u u u r u u u r，即EF AD ⊥，同理EF PD ⊥，而AD PD D =I∴EF ⊥平面PAD ； ……（6分）（2）解：(2,0,0)EF =u u u r ，(4,1,3)EG =u u u r，设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03402,00z y x x ，即n n ， )1,3,0(,1==n 得取z ， ……（10分）平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n ……（11分） 平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：1111cos ,|||2>==⋅n n <n n |n n g ，∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是60︒． ……（13分）19．解：（1）依题意得：2221c e a a c ⎧==⎪⎨⎪+=⎩， 解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ……（4分） 1b ∴=，所求椭圆方程为：2212x y +=； ……（6分）（2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，则直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，0k ≠，则l 的方程为(1)y k x =-，代入2212x y +=，得2222(21)4220k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， ……（10分） 121222(2)21ky y k x x k -∴+=+-=+设AB 的中点为M ，则2222(,)2121k k M k k -++， ||||AC BC =Q ，CM AB ∴⊥，即1CM AB k k •=-，22224220(12)2121k km k m k m k k -∴-+=⇔-=++ ∴当102m ≤<时，k =l 满足条件； 当112m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l 满足条件． ……（14分）20．解：（1）由()32f x x x b=-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， ……（1分）令()0f x '=，得0x =或23x =． ……（2分）……（4分）由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->， 即函数()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为133()288f b -=+=， ∴0b =． ……（5分）（2）由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,x e ∈Q ，ln 1x x ∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，ln 0x x ->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2()ln x xa x x -≤-． ……（6分） 令()22ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈， 求导得，()2(1)[2(1ln )](ln )x x x t x x x -+-'=-， ……（7分）当[]1,x e ∈时，10x -≥，ln 1x ≤，2(1ln )0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． ……（9分） （3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩， 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．Q POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴OP OQ ⋅=u u u r u u u r，∴()()2320t F t t t -++= ()*L ，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解； ②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a =+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．……（14分）1．《数学5》P78例1 改编2．《选修1-1》P86 B组第1题改编3．《选修1-1》P54 A组第1题改编4．《数学5》P68 B组第1（2）小题改编5．《选修1-1》第一章中习题组合改编7．《选修1-1》P35 例3 改编9．《数学5》P91 练习第1（1）小题改编10．《选修1-1》P80 习题A组第3题改编13．《选修1-1》P42 习题A组第1题改编15．《数学5》P12 例2 改编。