一道高考题解法及引申
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一道高考题的解法探究及引申
(2009年江西)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa⊥平面abcd,pa=ad=4,ab=2.以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m.
(1)求证:平面abm⊥平面pcd;
(2)求直线pc与平面abm所成的角;
(3)求点o到平面abm的距离.
解:方法一:(1)依题设,m在以bd为直径的球面上,则bm⊥pd. 因为pa⊥平面abcd,则pa⊥ab,又ab⊥ad,所以ab⊥平面pad,则ab⊥pd,因此有pd⊥平面abm,所以平面abm⊥平面pcd.
(2)设平面abm与pc交于点n,因为ab∥cd,所以ab∥平面pcd,则ab∥mn∥cd.
由(1)知,pd⊥平面abm,则mn是pn在平面abm上的射影,所以∠pnm就是pc与平面abm所成的角,且∠pnm=∠pcd,tan∠pnm=tan∠pcd=■=2■所求角为arctan2■.
(3)因为o是bd的中点,则o点到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的一半,由(1)知,pd⊥平面abm于m,则|dm|就是d点到平面abm距离.
因为在rt△pad中,pa=ad=4,pd⊥am,所以m为pd中点,dm=2■,则o点到平面abm的距离等于■.
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则
a(0,0,0),p(0,0,4),b(2,0,0,),c(2,4,0),d(0,4,0),m(0,2,2).
设平面abm的一个法向量■=(x,y,z),由■⊥■■⊥■可
得:2x=02y+2z=0,令z=-1,则y=1,即■=(0,1,-1).设所求角为α,则sinα=■=■,所求角的大小为arcsin■.
(3)设所求距离为h,由o(1,2,0),
■=(1,2,0),得:h=■=■.
方法一利用传统的解法,采用“作图、证明、解三角形”的老“三步曲”方法解题,在第(2)问中寻找直线pc与平面abm所成的角时技巧性强,能力要求高,方法二通过引入空间向量后,把几何问题代数化,巧妙地使线面角问题为线线角问题,从而降低了此题的解题
难度。
2008年的江西高考文、理第20题也有类似之处。
(2008年江西文、理20)如图,正三棱锥o-abc的三条侧棱oa、ob、oc两两垂直,且长度均为2.e、f分别是ab、ac的中点,h是ef的中点,过ef的平面与侧棱oa、ob、oc或其延长线分别相交于a1、b1、c1,已知oa1=■.
(1)求证:b1c1⊥面oah;(2)求二面角 o=a1b1-c1的大小.
解:方法一:(1)依题设,ef是△abc的中位线,所以ef∥bc,则ef ∥平面obc,所以ef∥b1c1.
又h是ef的中点,所以ah⊥ef,则 ah⊥b1c1.
因为oa⊥ob,oa⊥oc,所以oa⊥面obc,则oa⊥b1c1,因此b1c1⊥面oah.
(2)作on⊥a1b1于n,连c1n.因为oc1⊥平面oa1b1,根据三垂线定理知,c1n⊥a1b1,∠onc1就是二面角o-a1b1-c1的平面角.作em ⊥ob1于m,则em∥oa,则m是ob的中点,则em=om=1.
设ob1=x,由■=■,得■=■,解得x=3,在rt△oa1b1中,a1b1=■=■■,则on=■=■.所以tan∠onc1=■=■,故二面角o-a1b1-c1为arctan■.
方法二:以直线oa、oc、ob分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,o-xyz则
a(2,0,0),b(0,0,2),c(0,2,0,)e(1,0,1)f(1,1,0),h(1,■,■)
所以■=(-1,■,■),■=(1,■,■),■=(0,2,-2)
■·■=0,■·■=0
bc⊥平面oah
由ef∥bc得b1c1∥bc,故:b1c1⊥平面oah
(2)由已知a1(■,0,0),设b1(0,0,z)则■=(-■,0,1),■
=(-1,0,z-1)
由■与■共线得:存在λ∈r有■=λ■得-■=-λ1=λ(z-1)■
z=3,∴b1(0,0,3)
同理:c1(0,3,0)
∴■=(-■,0,3),■=(-■,3,0)
设■=(x1,y1,z1)是平面a1b1c1的一个法向量,则-■x+3z=0-■x+3y=0令x=2得y=x=1
∴■(2,1,1)又■=(0,1,0)是平面oa1b1的一个法量.
∴cos(■,■)=■=■
所以二面角的大小为arccos■
同样的我们可以发现方法一中寻求二面角o-a1b1-c1的平面角是一大难点,需要作辅助线,并且计算ob1的长度对空间立体感要求很高。
而方法二引入两平面的法向量,使求二面角问题转化为求两法向量夹角问题,大大简化了计算程序,给人耳目一新的感觉。
立体几何是历年高考中必考的重点、难点问题之一。
空间向量的应用将有利于培养学生的空间想象能力,启发学生的数学思维,提高学生的学习兴趣,让学生轻松、快活地学习。
作者单位:江西省新余市第一中学。
