向量的线性运算练习题

初中数学向量的线性运算经典测试题及解析一、选择题1．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，即a c b +=-r r r故选D ．5．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-rrrra b a bD ．()()++=++r r r r r r a b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.6．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．7．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大8．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．13．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．若2a b c +=rr，3a b c -=r r，而且c r ≠0，a r 与rb 是（ ）A ．a r 与rb 是相等向量B ．a r 与rb 是平行向量C ．a r 与rb 方向相同，长度不等D ．a r 与rb 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．16．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.17．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．18．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确， D 、因为5a b =rr，所以||5||a b =r r；故该选项说法正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．19．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b ⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +r rB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可．【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心，∴23AO AD =，∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．。

5.1平面向量的概念及线性运算练习题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．→＝0 ＋PA→＝0＋PB→＝0 ＋PB→＋PC→＝0＋PC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋PC→＝0.∴PA答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析 由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |＝________.解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB→与BA →为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM→＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14， ∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM→，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB→＝λ(OA →－OB →)． 即OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP→＝mOA →＋nOB →. 故mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。

向量的线性运算技巧及练习题一、选择题1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C【解析】【分析】 根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形.故答案为：C.【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．下列等式正确的是（ ）A ．AB +BC ＝CB +BA B ．AB ﹣BC ＝ACC ．AB +BC +CD ＝DAD ．AB +BC ﹣AC ＝【答案】D【解析】【分析】根据三角形法则即可判断.【详解】∵AB BC AC +=，∴0AB BC AC AC AC +-=-= ，故选D ．【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.4．在矩形ABCD 中，如果ABBC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ）A ．2B ．4 C1 D1【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．下列命题：①若a b =，b c =，则c a =；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0．其中真命题的个数是（ ）【答案】C【解析】【分析】 根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】①若a b =，b c =，则c a =，正确；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，正确；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0，正确．综上所述，真命题的个数是3个．故选C ．6．下列说法正确的是（ ）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =【答案】C【解析】【分析】 根据平面向量的性质依次判断即可.【详解】①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-，正确；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-，正确；③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =，错误，当m=0时不成立；④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =，正确；故选C.【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．8．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-= C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.9．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD 中，与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+=- + =， 故选A ．【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量.10．已知非零向量a 、b 、c ，在下列条件中，不能判定a //b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．2a c =，3b c =C ．5a b =-D ．||2||a b =【答案】D【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断．详解：A ．∵a ∥c b ，∥c ，∴a b ，故本选项，不符合题意；B ．∵a =2c b ，=3c ，∴a b ，故本选项，不符合题意；C ．∵a =﹣5b ，∴a b ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a |=2|b |，不能判断a b ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a bB ．a b =C ．72BD = D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．13．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.14．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =B ．AC BD = C ．AO OD = D ．BO OD =- 【答案】C 【解析】【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．A. AB CD =-，故该选项错误；B. AC BD =，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =，故该选项正确；D. BO OD =，故该选项错误；故选：C ．【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 15．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =- B ．AB BA =C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键. 17．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ） A ．a ∥bB ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b 【答案】C【解析】【分析】【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =，∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误， 故选C.18．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ） A ．2a b =-B ．a c =，3b c =C ．2a b c +=，a b c -=-D ．2a b =【答案】D【解析】【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C【解析】【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可.【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确.故选C.【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。

向量的概念1．下列说法中，正确的是( )A ．长度相等的两个向量一定是相等的向量B ．当且仅当两个向量所在的直线恰为同一条直线时，这两个向量为共线向量C ．零向量没有方向D ．零向量的方向是任意的2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同始点且共线的向量，其终点必相同3．如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，则向量AD u u u r ，AE u u u r ，EC uuu r ，DE u u u r ，CB u u u r ，DB u u u r 中共线的向量有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 4．如下图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB u u u r 与DC u u u r 的关系是( )A ．AB u u u r ＝DC u u u r B ．|AB u u u r |＝|DC u u u r | C ．AB u u u r ＞DC u u u rD ．AB u u u r ＜DC u u u r 5．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与OA u u u r 相等的向量个数为m ，与OAu u u r 的模相等的向量个数为n ，则m ，n 的值分别是( )A ．3,23B ．3,11C ．3,24D ．以上都不正确6．下列说法中，正确的是__________．(填序号)①相等的向量的始点必相同；②平行向量就是共线向量；③若|a |＞|b |，则a ＞b ；④质量、能量、功都是向量；⑤若a ∥b ，则a ，b 的方向相同或相反．7．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED u u u r 相等的向量为__________； (2)若|AB u u u r |＝3，则向量EC uuu r 的模等于__________． 8．已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地向南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地向西南方向飞行到达丁地，则丁地在甲地的__________方向，丁地距甲地的距离为__________ km.9．判断下列说法是否正确，并简要说明理由． (1)MN u u u u r 与PQ uuu r 是共线向量，则P ，Q ，M ，N 四点共线；(2)共线的向量，若表示它们的有向线段的始点不同，则终点一定不同；(3)两个向量相等，则它们的始点和终点都相同； (4)|AB u u u r |＝|BA u u u r |.10．如图，A 1，A 2，A 3，…，A 8是e O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，A 3，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为始点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？参考答案1．解析：相等的向量不仅长度相等，而且方向相同，故选项A 错误；共线向量所在的直线可以相互平行，也可以是同一条直线，故选项B 错误；零向量的方向是任意的，故选项C 错误；选项D 正确．答案：D2．解析：很明显，选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．答案：D 3．解析：共线向量有AD u u u r 与DB u u u r ，AE u u u r 与EC uuu r ，DE u u u r 与CB u u u r .答案：C4．解析：|AB u u u r |与|DC u u u r |表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 答案：B 5．解析：(1)与OA u u u r 相等的向量有EF u u u r ，DO u u u r ，CB u u u r ，故m ＝3. (2)与OA u u u r 的模相等的向量有两类：一类是以O 为始点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点，以O 为终点的向量，有2×6－1＝11(个)；另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量，共有2×6＝12(个)，故n ＝11＋12＝23.答案：A6．答案：②⑤ 7．答案：(1) AB u u u r ，DC u u u r (2)68．解析：如图，A ，B ，C ，D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地．由题意知，△ABC 是正三角形，∴AC ＝2 000 km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝，∴△ACD 是直角三角形．∴AD ＝，∠CAD ＝45°.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地答案：东南 9．分析：根据共线向量、相等向量及向量的模的概念进行判断． 解：(1)不正确.MN u u u u r 与PQ uuu r 是共线向量，则直线MN 与PQ 可能重合，也可能平行，则P ，Q ，M ，N 四点不一定共线． (2)不正确．共线的向量始点不同，但终点却可能相同．如图中的AC u u u r 和BC uuu r 共线，它们始点不同，但终点相同．(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量，和始点、终点的位置无关． (4)正确.AB u u u r 与BA u u u r 的长度均为线段AB 的长度．10．解：由于A 1，A 2，A 3，…，A 8是e O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2A 3…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与e O 的半径不相等．所以模等于半径的向量只可能是i OA u u u r 与i AO u u u r (i ＝1,2，…，8)两类．一类是i OA u u u r (i ＝1,2，…，8)，共8个；另一类是i AO u u u r (i ＝1,2，…，8)，也有8个．两类合计16个．e O 倍，所以考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数．以A 1，A 2，A 3，…，A 8为顶点的e O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。