九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2九年级数学上册的图象和性质教案

a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
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第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标1．正确理解抛物线的有关概念.2．会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.3．掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用．二、教学重难点重点：正确理解抛物线的有关概念.难点：会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]问题1：1.二次函数的定义？一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.问题2:一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状？如何画一个二次函数的图象？【新知探究】（一）二次函数y=ax2的图象先画二次函数y=x2 的图象.[课件展示]1.列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x, y）3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．二次函数y=x2的图象类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上.我们把它叫做抛物线.[思考]画出函数y=-x2的图象.x…-3-2-10123…y=x2…-9-4-10-1-4-9…（二）二次函数y=ax2的性质[讨论交流]1.利用你前面学习的函数图象的性质，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.[归纳总结]（1）y＝x2是一条抛物线;（2）图象开口向上;（3）图象关于y轴对称;（4）顶点（0 ，0）;（5）图象有最低点．[讨论交流]2.说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.[归纳总结]（1）y＝-x2是一条抛物线;（2）图象开口向下;（3）图象关于y轴对称;（4）顶点（0 ，0 ）;（5）图象有最高点．[归纳总结]二次函数y=ax2 的图象性质：（1）y＝ax2是一条抛物线;（2）顶点都在原点;（3）图像关于y轴对称;（4）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．[深入思考]观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？[思考]问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？[归纳总结]对于抛物线y = ax 2 （a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.[思考]问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？[归纳总结]对于抛物线y = ax 2 （a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.x2,y=2x2的图象．例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=12解：分别列表，再画出它们的图象，如图x…-4-3-2-101234…y=1x2…8 4.520.500.52 4.58…2x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2…8 4.520.500.52 4.58…x2,y=x2 , y=2x2开口大小与a的大小有什么关系？[思考]二次函数y=12当a>0时，a越大，开口越小.x2,y=−2x2的图象．[思考]在同一直角坐标系中，画出函数y=−12x…-4-3-2-101234…x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…y=−12x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=−2x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…x2,y=−x2 , y=−2x2开口大小与a的大小有什么关系？[思考]二次函数y=−12当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.[课件展示]y=ax2 (a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标(0 ,0)(0 ,0)对称轴y轴y轴增减性当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.最值x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小；|a|越小,抛物线的开口就越大.例2 已知y =(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.解: 依题意有:{m+1>0,①m2+m=2.②解②得m1=－2, m2=1；由①得m>－1.∴m=1.此时,二次函数解析式为: y=2x2.例3 已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标.解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；【课堂小结】二次函数y=ax2的图象及性质y=ax2 (a≠0)a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标(0 ,0)(0 ,0)对称轴y轴y轴增减性当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.最值x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小；|a|越小,抛物线的开口就越大.【课堂训练】1.函数y=2 x 2的图象的开口向上，对称是y轴，顶点是（0,0）；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.2.函数y=-3x 2的图象的开口向下，对称轴是y轴，顶点（0,0）；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 增大 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 减小 . 3.已知 y =(k +2)x k2+k−4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则k = 2 .4.若抛物线 y =a x 2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.（1）a 的值是 2 ；对称轴是 y 轴 ，开口 向上 ；（2）顶点坐标是 （0,0） ，顶点是抛物线上的最 小 值 ，抛物线在x 轴的 上 方（除顶点外）；(3) 若A （ x 1, y 1),B (x 2, y 2)在这条抛物线上，且x 1< x 2<0, 则y 1 > y 2. [拓广探索]5.已知：如图，直线y ＝3x ＋4与抛物线y ＝x 2交于A 、B 两点，求出A 、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得{y =3x +4,y =x 2.解得{x =4,y =16,或{x =−1,y =1,所以此两函数的交点坐标为A (4，16)和B (－1，1)． ∵直线y ＝3x ＋4与y 轴相交于点C (0，4)，即CO ＝4. ∴S △ACO ＝12·CO ·4＝8，S △BOC ＝ 12 ×4×1＝2， ∴S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC ＝10. 【布置作业】【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.。

4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
探究二
1 2 2 y 2 x y x 1、在同一直角坐标系中，画出函数 ， 2 的图象，这两个函数的图象与函数 y = x 2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？
2、当 a＞0 时，二次函数y = ax 2 的图象有什么特点？ 【归纳】一般的，当a>0时，抛物线 y ax 的开口向 上，对称轴是Y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低 点，a越大，抛物线的开口越小。
2
探究三
类比 a＞0 时的研究过程，探究当 a＜0 时，二次 函数 y = ax 2 的图象特征． 1、用几何画板在同一直角坐标系中，画出a<0的几 个二次函数的图函数二次函数 y = ax 2 的图象特征．
2 y ax 【归纳】一般的，当a<0时，抛物线 的开口向
（2） y 3x ； 开口向下、y 轴、原点．
1 2 （3） y x ； 开口向上、y 轴、原点． 3 1 2 （4） y x ．开口向下、y 轴、原点． 3
3．巩固练习
1 2 2、二次函数 y 2 x 的图象是一条 抛物线 ，当x<0
时，y 随 x 的增大而 减 小 ；当x>0时，y 随 x 的增大
人教版九年级
上册
22.1
二次函数的图象和性质 （第2课时）
（一）复习引入-----学习导图
图象的形状 图象的形状
图象的位置
一 次 函 数
类比
二 次 函 数
y ax 2 (a 0)
图象的位置

(2)抛物线y=x2-2与抛物线y=x2有什么关系?
学生独立练习
……
1、
2、
……
1、
2、
……
板书设计
见对媒体课件
参考书目及
推荐资料
人教版九年级下教科书
教学反思
学情分析
学生普遍对二次函数的学习感到有一定的难度
学法指导
自主，合作，探究
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
效果预测（可能出现的问题）
补救措y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴侧,y随着x的增大而增大；在对称轴侧,
y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外)
二次函数y=ax2+k图象和性质
课题
二次函数y=ax2+k图象和性质
课时
1
课型
新授课
修改意见
教学目标
能做出二次函数y=ax2和y=ax2+k的图像，并能够比较它们的异同，理解a
与k对二次函数图像的影响。能说出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
.
教学重点
二次函数y=ax2+k的图像及性质
教学难点
二次函数y=ax2+k的图像及性质的应用和平移规律
2、函数y=8x2的图象的开口，对称
轴是，顶点是；在
对称轴的左侧，y随x的增大而，在
对称轴的右侧，y随x的增大而；
3、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴
是，顶点是；在对
称轴的左侧，y随x的增大而，在对称
轴的右侧，y随x的增大而
二、温故知新
1.回顾y=ax2 (a≠0)的开口方向，顶点坐标，对称轴，