1.2.1任意角的三角函数错题集

1．2．1任意角的三角函数（一）1．已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（ ）A ．－55B ．－ 5C ．552D ．252．α是第四象限角，那么以下数值中必然是正值的是（ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cot α3．已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是（ ）A ．25B ．－25C ．0D ．与a 的取值有关4．α是第二象限角，P （x , 5 ）为其终边上一点，且cos α=42x ，那么sin α的值为（） A ．410B ．46C ．42D ．－4105．函数x x y cos sin -+=的概念域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈6．若θ是第三象限角，且02cos <θ，那么2θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，那么角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ８．已知sin αtan α≥0，那么α的取值集合为 ．９．角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，那么sin α+cos α=______．１０．已知角θ的终边在直线y = 33x 上，那么sin θ= ；θtan = ． １１．已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 ．１２．设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，那么角θ的范围是 ．3 角的正弦、余弦和正切值．1３．求41．2．1任意角的三角函数（一） 1—7、ABAA BBB 八、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα。

• 第二课时
1. 设α是一个任意角，它的终边上一点 P的坐标为（x，y），它与原点的距离 为r，则角α的三角函数是怎样定义的？
sin y , cos x , tan y
r
r
x
2. 三角函数在各象限的函数值符号 分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3、三角函数的定义域：
的三角函数，如图，设是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点p( x, y), 那么
（1）y叫做的正弦, 记作sin ,即sin y
（2）x叫做的余弦, 记作cos ,即cos x
（3）y 叫做的正切, 记作tan ,即tan y
x
x
它们统称为三角函数，可看成自变量 为实数的函数.
的终边上的点的坐标来表示锐角三角 函数吗？
二、新知探究
1. 如 图 ， 设 锐 角的 顶 点 与 原 点O重 合 ， 始 边
与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限，在的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的
距离r a2 b2 0,过P作x轴的垂线，垂足为M，
则 线 段OM的 长 度 为a， 线 段MP 的 长 度 为b.
【例1】求 5 的正弦、余弦和正切值.
3
【例2】已知角的终边经过点P0(3, 4),求角
的正弦、余弦和正切值
[推广3]一般地，设角 终边上任意一点的
坐标为( x, y), 它与原点的距离为r, 则
sin
y ,
cos x ,
tan
y
r
r
x
探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将
我们有
sin MP b，cos OM a

高中数学必修一第五章三角函数易错题集锦单选题1、将函数f (x )=sin 12x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g (x )=cos 12x 的图象，则φ的最小值是（ ） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π答案：C分析：依据平移然后判断可知12φ=π2+2k π(k ∈Z )，简单判断可知结果.由已知可得sin 12(x +φ)=cos 12x =sin (12x +π2)， ∴12φ=π2+2k π(k ∈Z )，∴φ=π+4k π(k ∈Z )． ∵φ>0，∴φ的最小值是π． 故选：C2、设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2 答案：C分析：由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，即可得到cos (−4π9⋅ω+π6)=0，结合(−4π9,0)是函数f (x )图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到−4π9⋅ω+π6=−π2，即可求得ω=32，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将它代入函数f (x )可得：cos (−4π9⋅ω+π6)=0又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3故选：C小提示：本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3、智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=−sinx D．y=−cosx答案：D分析：设噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)，由题意求出A，ω，φ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式.由噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，可得ω=2πT =2π2π=1，A=1，φ=π2，所以噪声的声波曲线的解析式为y=sin(x+π2)=cosx，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=−cosx.故选D．4、已知函数f(x)=sin(x+π3)．给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.5、《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）A．π2m B．5√24m C．5π8m D．2m答案：B分析：由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．由题得：弓所在的弧长为：l=π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π4=√2×1.25AB =5√24m ． 故选：B6、设函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,0⩽φ⩽π2)的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪{5π12}B ．[0,π4]∪[π3,π2] C ．[0,π6]∪{5π12}D ．[0,π6]∪[π3,π2]答案：D分析：根据周期求出ω=12，结合φ的范围及x ∈[0,5π]，得到5π2⩽φ+5π2⩽3π，把φ+5π2看做一个整体，研究y =sinx −12在[0,3π]的零点，结合f(x)的零点个数，最终列出关于φ的不等式组，求得φ的取值范围 因为T =2πω=4π，所以ω=12.由f(x)=0，得sin(12x +φ)=12.当x ∈[0,5π]时，12x +φ∈[φ,φ+5π2]，又0⩽φ⩽π2，则5π2⩽φ+5π2⩽3π.因为y =sinx −12在[0,3π]上的零点为π6，5π6，13π6，17π6，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，所以{0⩽φ⩽π6,13π6⩽φ+5π2<17π6或{π6<φ⩽π2,17π6⩽φ+5π2,解得φ∈[0,π6]∪[π3,π2]. 故选：D.7、设0<α<π，sinα+cosα=713，则1−tanα1+tanα的值为（ ）A ．177B ．717C ．−177D ．−717 答案：C分析：依题意可知π2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=713，平方得到1+sin2α=49169，∴sin2α=49169−1=−120169=2sinαcosα， 0<α<π， ∴ π2<α<π，∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，∴t 2=1−sin2α=1+120169=289169，t <0∴t =−1713∴ 1−tanα1+tanα=cosα−sinαcosα+sinα=137(cosα−sinα)=137×(−1713)=−177，故选：C ．8、若函数f(x)=sin(ωx +π3)(0<ω<3)的图象向右平移2π3个长度单位后关于点(π2,0)对称，则f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为（ ）A ．1B ．−√22C ．−√32D ．√6−√24答案：C分析：由图像平移过程写出平移后的解析式g(x)=sin(ωx +π3−2ωπ3)，利用正弦函数的对称性求参数ω，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.将f(x)向右平移2π3个长度单位后，得到g(x)=sin[ω(x −2π3)+π3]=sin(ωx +π3−2ωπ3)，∵g(x)关于(π2,0)对称，∴g(π2)=sin(ωπ2+π3−2ωπ3)=sin(π3−ωπ6)=0，∴π3−ωπ6=kπ,k ∈Z ，即ω=2−6k,k ∈Z ，又0<ω<3，则ω=2，即f(x)=sin(2x +π3)，由x ∈[−7π24,π2]知：2x +π3∈[−π4,4π3]，则sin(2x +π3)∈[−√32,1]， ∴f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为−√32. 故选：C. 多选题9、在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P(1,m)(m <0)，则下列各式一定为正的是（ ） A ．sinα+cosαB ．cosα−sinαC ．sinαcosαD ．sinαtanα 答案：BD分析：由三角函数定义确定正负，再由符号法则可选出正确答案.因为角α终边经过点P(1,m)(m <0)，所以α在第四象限，sinα<0,cosα>0,tanα<0， sinα+cosα正负无法判断；cosα−sinα>0；sinαcosα<0；sinαtanα>0，故BD 正确. 故选：BD10、对于①sinθ>0，②sinθ<0，③cosθ>0，④cosθ<0，⑤tanθ>0，⑥tanθ<0，则θ为第二象限角的充要条件为（ ）A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤答案：BC解析：根据θ为第二象限角判断出sinθ、cosθ、tanθ的符号，从而可得出θ为第二象限角的充要条件. 若θ为第二象限角，则sinθ>0，cosθ<0，tanθ<0.所以，θ为第二象限角⇔{sinθ>0cosθ<0或{sinθ>0tanθ<0或{cosθ<0tanθ<0.故选：BC.小提示：本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.11、下列结论正确的是（）A．−7π6是第三象限角B．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C．若角α的终边上有一点P(−3,4)，则cosα=−35D．若角α为锐角，则角2α为钝角答案：BC分析：A中，由象限角的定义即可判断；B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C中，根据三角函数的定义即可判断；D中，取α=30°即可判断.选项A中，−7π6=−2π+5π6，是第二象限角，故A错误；选项B中，设该扇形的半径为r，则π3⋅r=π，∴r=3，∴S扇形=12×π3×32=3π2，故B正确；选项C中，r=√(−3)2+42=5，cosα=xr =−35，故C正确；选项D中，取α=30°，则α是锐角，但2α=60°不是钝角，故D错误．故选：BC．填空题12、将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)=sin(x+π6)的图象．若x=0是函数F(x)=f(x)−g(x)的一个零点，则φ的最小值是______.分析：直接利用函数的关系式变换和函数的图象的平移变换的应用求出函数f (x )=g (x +φ)=sin (x +φ+π6)，再利用函数的零点是方程的根和三角函数的性质求出φ的最小值.由题意，可知函数g (x )=sin (x +π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数f (x )的图象，所以f (x )=g (x +φ)=sin (x +φ+π6).因为x =0是函数F (x )=f (x )−g (x )的一个零点，所以F(0)=f(0)−g(0)=0， 即sin (φ+π6)−sin π6=0，所以sin (φ+π6)=12，因此有φ+π6=2k π+π6 (k ∈Z )或φ+π6=2k π+5π6(k ∈Z )，解得φ=2k π (k ∈Z )或φ=2k π+2π3(k ∈Z ).因为φ>0，所以当φ=2k π (k ∈Z )时，φ的最小值是2π； 当φ=2k π+2π3(k ∈Z )时，φ的最小值是2π3.综上，φ的最小值是2π3. 所以答案是：2π3.13、若cos (α−β)=12，cos (α+β)=−35，则tanαtanβ=___________.答案：−11分析：由余弦的和差角公式得cosαcosβ=−120，sinαsinβ=1120，进而得tanαtanβ=−11解：因为cos (α−β)=12，所以cosαcosβ+sinαsinβ=12. 因为cos (α+β)=−35，所以cosαcosβ−sinαsinβ=−35， 所以cosαcosβ=12(12−35)=−120，sinαsinβ=12(12+35)=1120， 所以tanαtanβ=1120−120=−11.所以答案是：−1114、已知角θ的终边经过点M (3m,1−m )，且tanθ=2，则实数m =______．分析：根据三角函数的定义，已知角终边上的点(x,y )，则角的正切值为yx ，可得答案 由三角函数的定义可知tanθ=1−m 3m=2，解得m =17．所以答案是：17 解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 由π4⩽x ⩽π2，有π6⩽2x −π3⩽2π3，所以12≤sin (2x −π3)≤1 ∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f (C )=√3，有sin(2C −π3)=√32， ∵C 为锐角，∴2C −π3=π3，∴C =π3． ∵c =2，∴由余弦定理得：a 2+b 2−ab =4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

三角部分易错题选答案一、选择题：1．错误分析：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案： B 2．错误分析：将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案： B3．准确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+ϑ)的形式，从而 借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|。

4．准确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。

5．准确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。

6．准确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。

7．准确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。

8． 解一：设点，则此点满足解得或 即选A解二：用赋值法， 令同样有说明：此题极易认为答案A 最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C 或D 。

9． 解：由平方相加得若 则又选A 说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。

这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。

10．准确答案：A 错因：不知利用数形结合寻找突破口。

11．准确答案：B 错因：不会利用范围快速解题。

12．准确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。

13．准确答案(D) 错因：难以抓住三角函数的单调性。

14．准确答案A 错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。

15．准确答案A 错因：绝大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。

16．准确答案：C17．准确答案：A18．答案：A 点评：易误选C 。

忽略对题中隐含条件的挖掘。

19．答案：A 点评：易误选C ，忽略A+B 的范围。

20．答案：B 点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择。

21． 正解：Dπαπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π032cos <π 所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα611= 误解：παπα32,32tantan ==,选B 22．正解：B x x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得x y 2cos -=,然后向左平移4π个单位得函数)4(2cos π+-=x y x x f x sin )(2sin ⋅== 可得x x f cos 2)(=误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。