大学课件《微积分》极小值原理

函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。

3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点

(2)求 f ( x) 0 的点和不可导点。 (3)检查 f ( x) 在驻点和不可导点左右的正负
号，由此判断极值点。 (4)求极值。
5
信息学院 罗捍东
例1：求函数 f (x) x3(x 5)2 的极值.
解：f (x) 3x2 (x 5)2 2x3(x 5) x2 (x 5)(5x 15)
又
Q
C
(
x)

6400 x3
,于是C(80)

0,
所以当产量x＝80时，平均成本最低为C(80)＝84。
21
信息学院 罗捍东
一般地设总成本函数为C= C(x), x为产量。 则平均成本函数为: C(x) C(x)
x 要使平均成本函数最低，则应有：
C(x)


C(x) x

M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
10
信息学院 罗捍东
考研题欣赏
（2005年3，4）设 f x x sin x cos x
下列命题中正确的是。
（A）f 0是极大值， f 2 是极小值。 （B）f 0是极小值， f 2是极大值。 （C）f 0是极大值， f 2 也是极大值。
f ( x)
不存 在
0

f (x)
极大
值

极小 值

由表可知，f (x)在x＝0处取极大值 f (0)=0，
f (x)在x＝1处取极小值 f (1)=－3。
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信息学院 罗捍东
定理3(二阶充分条件)：设 f (x)在 x0处具有二 阶导数,且f / (x0)=0, f // (x0)≠0,那末 (1)当f // (x0)＜0时, 函数在x0处取得极大值； (2) 当f // (x0)＞0时, 函数在x0处取得极小值。

故极小值条件为(存在最优控制的充分条件)
Q(t), S 0, R(t) 0
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在某些情况下，S矩阵的某些元素大到足 以引起计算上的困难，在此情况下，用 逆Riccati方程求解。
令
P(t)P1(t) I
（11）
P (t)P1(t) P(t)P 1(t) 0
（12）
P(T ) 0
P limP(t,0,T ) T
41
PI调节器
Min J 1

[
xT
(t
)Qx(t
)

u
T
(t
)
R
u(t
)

u
T
(t
)
Su
(t
)]dt
u(t)
2 t0
x(t) Ax(t) Bu(t)
s.t.
x(t0
)

x0
u *(t) K1x(t) K2u *(t)
Min J 1

[
xT
(t
)Q(t
)
x(t
)

u
T
(t
)
R(t
)u(t
)]dt
u(t)
2 t0
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
s.t.
x(t0
)

x0
上述问题有解的条件：系统完全可控
u *(t) R1(t)BT (t)P (t)x(t)
38
P (t) P(t,0, ) limP(t,0,T ) T
如果 u 是最优控制律
对应于边界条件有
H[x(t), u(t), (t), t] H[x(t), v(t), (t), t], v

§ 7. 3 极小值原理极小值原理是前苏联数学家庞特里亚金首提. 是变分法的延伸和推广,亦称极大值原理是解决控制和状态受约束最优控制问题的有力工具. 极小值原理的一种表述及其应用(不证) 1. 极小值原理 定理7.3 设==00()[(),(),],()xt f x t u t t x t x ， 指标=+⎰0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T ，约束∈()()u t U 容许控制集，Hamilton 函数=+(,,,)[,,][,,]TH x u λt F x u t λf x u t ，则*()u t 是最优控制的必要条件是:*()u t 和相应的*()x t , *()λt 满足系统方程，∂=∂H x λ； (7.16)伴随方程，∂=-∂H λx； (7.17) 极值条件，******≤∈[,,,][,,,],,H x u λt H x u λt u u U ；(7.18)边界条件，∂=∂()()x T SλT x 。

(7.19)对(7.12)~(7.15’)，改变的只是极值条件和边界条件。

说明：1) 只有*()u t 才能使Hamilton 函数为全局最小(故名)若无控制约束, 则有∂∂=/0H u .2)边值条件自然含=00()x t x →确定状态和伴随向量. 3)非充要条件。

对线性系统，条件是充要的。

4)解题步骤类似§2中用变分法<1> 作Hamilton 函数→极值条件→待定u (t )； <2> 若伴随方程中无x ，则求出λ；<3>若待定最优控制中不含x →即已求得()u t ；(否则就要解规范方程组)，<4>求出,x J **(若要计算)。

2. 自由终端状态的最优控制举例例 7.5 求状态方程为==,(0)1xu x ， 指标为=⎰1min ()d J x t t ，控制约束为()[1,1]u t ∈-，的最优控制。